Annales de l’institut Fourier (AIF)

Nikolaev, Igor

The Poincaré-Bendixson theorem and arational foliations on the sphere

Lebeau, Édouard

Applications harmoniques entre graphes finis et un théorème de superrigidité

Kosmann-Schwarzbach, Yvette

From Poisson algebras to Gerstenhaber algebras

Ortega, J. M.

Fàbrega, Joan

Pointwise multipliers and corona type decomposition in $BMOA$

Koufany, Khalid

Ørsted, Bent

Function spaces on the Olśhanskiĭsemigroup and the Gel'fand-Gindikin program

Kraus, Alain

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
ALAIN KRAUS
Sur les modules des points de 7-torsion d’une
famille de courbes elliptiques
Annales de l’institut Fourier, tome 46, no 4 (1996), p. 899-907
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
46, 4 (1996), 899-907
SUR LES MODULES DES POINTS DE 7-TORSION
D^UNE FAMILLE DE COURBES ELLIPTIQUES
par Alain KRAUS
Introduction.
Cet article concerne la question suivante posée par B. Mazur dans [7],
p. 133 :
Soit Q une clôture algébrique de Q. Existe-t-il un entier n >, 7,
deux courbes elliptiques E et E/ définies sur Q, non isogènes sur Q, tels
que Jes groupes des points de n-torsion de E et E' soient isomorphes
comme Gai (Q/Q) -modules et symplectiquement, i.e. de façon compatible
aux accouplements de Weil ?
Comme le suggère B. Mazur, cette question peut être reformulée en
termes d'existence de points rationnels sur Q, de tordues galoisiennes de la
courbe modulaire Y(n), qui est de genre > 3 pour n > 7, et qui n'a donc
qu'un nombre fini de points rationnels (cf. loc. cit.).
Avec J. Oesterlé, on explicite dans [6] des exemples de couples de
courbes elliptiques sur Q répondant positivement à cette question si n = 7.
Une étude de surfaces modulaires liées à la courbe Y(n), a récemment
été faite par E. Kani et W. Schanz ([4]), permettant de prouver l'existence
d'une infinité de tels couples pour n = 7. Par ailleurs, B. Mazur a déterminé
des exemples pour n == 11 et n = 13 ([8]). Il semble que G. Frey en a aussi
trouvé pour n = 11,13 et 17. Dans un travail récent avec E. Halberstadt,
nous en avons explicité pour n = 10 et 22.
Mots-clés : Courbes elliptiques - Points de torsion - Représentations de Galois.
Classification math. : 11G.
900 ALAIN KRAUS
Des exemples de couples de courbes elliptiques sur Q, non Q-isogènes,
dont les modules des points de n-torsion soient isomorphes, ont aussi été
trouvés pour n = 8 (cf. [2], preprint, p. 22, dans lequel il y a aussi des
exemples pour n = 7). N. Eikies a récemment démontré l'existence d'une
infinité de tels couples pour n = 7. Par ailleurs, il se trouve dans [3] un
exemple pour n = 14.
Dans ce travail, on se préoccupe toujours du cas où n = 7. Etant
donné une courbe elliptique E définie sur Q, on notera E^ le sous-groupe
des points de 7-torsion de -K(Q); ET est un espace vectoriel de dimension 2
sur Z/7Z. L'action du groupe Gal(Q/Q) sur £"7, définit une représentation
continue
^E : Gal(Q/Q) — Aut(^7).
Le déterminant de (pE est le caractère cyclotomique ^, donnant l'action de
Gal(Q/Q) sur le sous-groupe des racines 7-ièmes de l'unité de Q (cf. [Il],
1.11).
On s'intéresse ici aux courbes elliptiques E définies sur Q, dont
la représentation ^E possède un quotient isomorphe à Z/7Z. Un tel
homomorphisme est représentable matriciellement sous la forme (^ ^) (cf.
loc. cit.). Les courbes elliptiques E ayant cette propriété sont décrites par
une famille infinie à un paramètre de courbes elliptiques E(t)\ E(t} possède
un modèle de Weierstrass à coefficients dans Z[t] (cf. §1). En décrivant
le corps des points de 7-torsion de E(t) (§2), on explicite une infinité
de triplets de courbes elliptiques sur Q, qui répondent positivement à la
question posée par B. Mazur. Plus précisément, le résultat que l'on a en
vue est le suivant :
Soit n un entier relatif de valeur absolue >3. Posons dn = l/(l+n+n2).
Alors, les courbes elliptiques sur Q, E{dn), E^dn) et E{{n + l)2^)
sont mutuellement non isogènes sur Q. Les représentations de Gal(Q/Q)
définies par les groupes des points de 7-torsion de E(dn) E^dn) et
E{(n + l)2^) sont symplectiquement isomorphes.
J'ai bénéficié au cours de ce travail de conversations avec J. Oesterlé
et P. Satgé que je remercie ici.
1. Là courbe elliptique E(t).
Considérons un corps K de caractéristique 0. Soient t un élément de
K de W(t) la cubique affine d'équation :
W(t) : y2 + az(t)xy + a^y = x3 + a^(t}x2 + a^(t)x + ae(t),
MODULES DE 7-TORSION 901
avec :
a i ( t )= l+ t - ^ 2 , a^t)=a^t)=t2-t\
a^t) = 5t(l -t)(t2 -1 + l)(t3 + 2t2 - 5t + 1),
a^t) = t(l - t)(t9 + 9t8 - 37t7 + 70^6 - 132t5 + 2m4 - 182t3
+76^-18^+1).
Les invariants standard c^(t} et A(^) associés à Ty(t) sont (cf. [13], 1) :
c^t) = (t2 -1 + l)(t6 + 229t5 + 270^4 - 1695^3 + 1430^2 - 235t + 1),
A(^) = t(t - l)(t3 - 8t2 + 5t + 1)7.
Si A(^) n'est pas nul, IV(t) représente une courbe elliptique E(t)
définie sur K.
Soit K une clôture algébrique de K. On note ^7 le sous-groupe des
racines 7-ièmes de l'unité de K.
LEMME 1. — Soit t un élément de K tel que A(^) ne soit pas nui
II existe un homomorphisme injectif ^7 —^ E(t)7 qui est compatible aux
actions de Gol(K/K).
Démonstration. — Considérons la cubique affine d'équation :
y2 + (1 +1 - t^XY + (t2 - t^Y = X3 + (t2 - t^X2.
Son discriminant est t7^ -1)7^3 - 8t2 +5^+1) (cf. [13], 1) ; elle représente
ainsi une courbe elliptique Et sur K. Le point (0,0) est d'ordre 7 (cf. par
exemple [12], p. 354).
En utilisant l'algorithme de J. Velu décrit dans [14], on constate que
E(t) est liée à Et par une isogénie de degré 7. Par ailleurs, le déterminant de
la représentation donnant l'action de GQL\(K/K) sur le groupe des points de
7-torsion de Et, est le caractère cyclotomique \ (cf. [Il], 1.11). On déduit
de là qu'il existe un sous-groupe d'ordre 7 de E(t)(K) sur lequel Gol(K/K)
opère via \. D'où le lemme.
Remarque. — Inversement, si E une courbe elliptique définie sur K
possédant une injection galoisienne de ^7 dans £"7, il existe t dans K (non
unique) tel que A(^) ne soit pas nul, et que E soit isomorphe sur K à E(t)',
nous n'aurons pas besoin de cette remarque.
902 ALAIN KRAUS
2. Le corps des points de 7-torsion de E(t).
On considère toujours dans ce paragraphe un corps K de carac-
téristique 0. Soit K une clôture algébrique de K. Etant donné un élément a
de K, on désigne par a1/7 une racine 7-ième de a dans K. Soit t un élément
de K tel que A(t) soit non nul. L'objet du §2 est de décrire l'extension
K{E(t)-î) de K obtenue par adjonction des coordonnées des points de E(t)7.
On a le résultat suivant :
THÉORÈME 1. — Soit t un élément de K. Supposons que t(t — 1)
(t3 — 8t2 + 5t + 1) ne soit pas nul. Alors, on a régalité
K{E(t)r)=K(a^(t(t-l)2)1/7).
Démonstration. — Considérons le corps L = Q(T) des fractions ra-
tionnelles à coefficients dans Q en l'indéterminée T. La cubique W(T)
représente la courbe elliptique E(T) sur L (cf. §1). D'après le lemme
1, E(T)7 possède un sous-Gal(L/L)-module isomorphe à ^7. Par ail-
leurs, L(/^7) est contenu dans L(£'(T)7), et l'action par conjugaison de
Gal(L(/A7)/L) sur Gal(L(2^(T)7)/L(/A7)) est donnée par le caractère don-
nant l'action de Gal(I//L) sur ^7. En utilisant la théorie de Kummer (cf.
[l], p. 90), on déduit alors que LÇEÇT)^) peut s'écrire sous la forme
L(E(^)7)=L(^,d(T)l/7),
où d(T) est un élément de Z[T] sans puissance 7-ième. Par ailleurs, la courbe
elliptique E(T) a mauvaise réduction de type multiplicatif en les places T,
T — 1 et F3 — 8T2 + 5T -(-1, et bonne réduction en dehors de ces places
(cf. §1). D'après le critère de Néron-Ogg-Shafarevich (cf. par exemple [12],
p. 184, th. 7.1), il existe donc des entiers a, b et c, bien définis modulo 7,
et un nombre rationnel a, tels que l'on ait
d(T) = aT^r - l^T3 - 8T2 + 5T + 1)°.
Posons g(T) = T3 - 8T2 + 5T + 1. L'exposant de g(T) dans A(T) est 7.
D'après la théorie de Tate, l'extension L(E(T)^)/L est donc non ramifiée
en la place g(T) (cf. loc. cit., p. 355, §14), et l'on peut supposer que l'on a
c = 0. En utilisant un argument de réduction, on déduit de là l'égalité
^(E(t)7)=^(^7,(^a^-l)b) l /7).
Un argument de spécialisation, permet alors de vérifier que l'on peut
prendre a = 1, a = 1 et b = 2. D'où le théorème 1.
MODULES DE 7-TORSION 903
3. Le résultat principal.
Soit n un entier relatif dont la valeur absolue est > 3. On pose
_ 1
^-TTTTT^'
Les discriminants des cubiques W(an), WÇr^an) et W{(n+1)2^) ne sont
pas nuls (cf. §1). Ces cubiques représentent donc respectivement les courbes
elliptiques £'(0^), EÇn^an) et E((n 4-l)2^) définies sur Q.
Nous allons maintenant démontrer le résultat annoncé dans l'introduc-
tion :
THÉORÈME 2. — Les courbes elliptiques E(an\ EÇr^dn) et
E{(n + Y^dn) sont mutuellement non isogènes sur Q. Les représentations
de Gal(Q/Q) définies par les groupes des points de 7-torsion de E(dn),
EÇn^an) et E{(n + l)2^) sont symplectiquement isomorphes.
3.1. Lemme préliminaire.
Considérons deux courbes elliptiques E et E/ définies sur Q. Soient A
et A' les discriminants minimaux de E et E/ respectivement. Etant donné
un nombre premier p, on note ^p(A) (resp. ^p(A')) l'exposant de p dans A
(resp. dans A'). Notons (p et (?' les représentations de Gal(Q/Q) dans £7
et E^. Prouvons alors le lemme suivant :
LEMME 2. — Supposons les conditions suivantes réalisées :
(i) les représentations y? et ( p ' sont isomorphes;
(ii) le groupe £7 possède un sous-module isomorphe à UT;
(iii) ii existe un nombre premier p distinct de 7 tel que 7 ne divise pas
^(A).
Alors, 7 ne divise pas ^(A'), et si les réductions modulo 7 de
Vp(A) et ^p(A') diffèrent multiplicativement par un carré dans Z/7Z, les
représentations (p et y/ sont symplectiquement isomorphes.
Démonstration. — II résulte des conditions (ii) et (iii) que E a en p
réduction de type multiplicatif (cf. par exemple [5], p. 361, lemme 2). Par
ailleurs, la condition (i) et le fait que 7 ne divise pas ^p(A), impliquent
que E/ a aussi en p réduction de type multiplicatif. La proposition 2 de [6]
entraîne alors le résultat.
904 ALAIN KRAUS
3.2. La courbe elliptique E(a/b).
Soit t un élément de Q distinct de 0 et 1; A(t) n'est pas nul. On se
propose ici d'expliciter un modèle entier de la courbe elliptique E(t).
Posons pour cela t = a/6, où a et & sont deux entiers premiers
entre eux. Rappelons que x et y désignent les fonctions coordonnées de
Weierstrass de E(t} dans le modèle W(t). En effectuant le changement de
variables
f X == b^x
\Y=b^
on constate que la courbe elliptique E(a/b) admet un modèle de Weierstrass
ïV(a, b) de la forme :
lV(a, b) : Y2 + AiXV + A^Y == X3 + A^X2 + A^X + Aç,
avec :
Ai = b2 + a& - a2, Â2 = a2^ - a), Ag = a2^ - a),
A4 = 5a6(6 - a) (a2 - ab + ̂ (a3 + 2a2& - 5ab2 + &3),
Ae = a&(& - a)(a9 + Qa^b - 37a7b2 + 70a6b3 - 132a5&4 4- 211a4&5
- 182a366 + TGa2^ - 18a&8 + &9).
Le discriminant A(a,&) associé à ce modèle est (cf. [13], 1) :
A(a, b) = ab(a - b){a3 - Sc^b + 5a&2 + 63)7.
On utilisera l'énoncé suivant (cf. [9], p. 30, prop. 11.3.1) :
LEMME 3. — L'équation W(a,&) est minimale en tout nombre
premier distinct de 7.
En effet, l'invariant standard 04(0,6) associé à W(a,b) est :
C4(a, &) = (a2 - ab + ̂ (a6 + 229a5& + 270a462 - ̂ ôa3;)3
+1430a264-235a65+&6).
Les entiers a et 6 étant par hypothèse premiers entre eux, on vérifie alors
que 7 est le seul diviseur premier commun possible à 04(0,6) et A(a,6).
3.3. Démonstration du théorème 2.
Signalons d'abord l'idée qui nous a permis de trouver l'énoncé du
théorème 2. Elle repose sur la remarque suivante, qui est une application
directe du théorème 1 : soient u et v sont des nombres rationnels distincts
MODULES DE 7-TORSION 905
de 0 et 1. Si l'on a u(u -1)2 = v(v - l)2, les Gal(Q/Q)-modules des points
de 7-torsion des courbes elliptiques E(u) et E(v) sur Q, sont isomorphes.
^
Etant donné u dans Q distinct de 0 et 1, on a ainsi été amené à
déterminer les racines rationnelles du polynôme r(T — l)2 — u(u — l)2. On
a le lemme suivant :
LEMME 4. — Soie u un nombre rationnel autre que 0 eti. Supposons
que u(4 - 3u) soit le carré dans Q d'un élément a. Alors, v = (2 - u + a ) / 2
et w = (2 - u — a ) / 2 sont distincts de 0 eu 1, et les courbes elliptiques E(u),
E(v) et E(w) sur Q, ont leurs Gal(Q/Q)-moduies des points de 7-torsion
isomorphes.
Démonstration. — Le fait que v et w soient distincts de 0 et 1
se vérifie directement. Par ailleurs, les racines du polynôme T(T — l)2—
u{u — l)2 sont IA, v et w. Les corps des points de 7-torsion de E(u), E(v)
et E(w) sont donc égaux, ce qui entraîne l'assertion.
Démontrons maintenant le théorème 2. Rappelons que n désigne un
entier relatif dont la valeur absolue est > 3.
a) Les représentations de Gal(Q/Q) définies par les groupes des points
de 7-torsion de E{dn), EÇr^On) et E{(n-{-l)2^) sont isomorphes; en effet,
cela résulte du lemme 4 appliqué avec u = dn (avec les notations de ce
lemme, avec a = (2n + !)/(! + n + n2), on a v = (n -h l)2^ et w = n2^).
b) Démontrons que les courbes elliptiques E(dn), EÇr^cin) et
£'((n+ l)2^^) sont mutuellement non isogènes sur Q. Il suffit pour cela de
prouver que leurs conducteurs sont distincts (pour la définition du conduc-
teur d'une courbe elliptique, voir par exemple [12], p. 361).
Considérons les discriminants des modèles entiers 1V(l , l+n+n2) ,
W(n2^ 1 -h n + n2) et W((n + l)2,1 + n + n2) représentant respectivement
E{dn), E^dn) et ^((n-h l)2^) (cf. 3.2); on a les égalités (cf. loc. cit.) :
A(l, 1 + n + n2) = -n(n + 1)(1 + n + n^aÇn)7\
où a(n) = n6 + 3n5 + lin4 + 17n3 + 13n2 + 5n - 1,
A(n2,1 + n + n2) = n2^ + 1)(1 + n + n2)/?^)7,
où /3(n) = n6 - 5n5 - 13n4 - 17n3 - lin2 - 3n - 1, et
A((n + l)2,1 + n + n2) = -n(n + l)2^ + n + n2)^)7,
où 6(n) = n6 + lin5 + 27n4 + 35n3 + 27n2 + lin + 1.
906 ALAIN KRAUS
Prouvons que les trois ensembles formés des diviseurs premiers dis-
tincts de 7, respectivement de a(n), f3{n) et <$(n), sont deux à deux distincts.
Les deux entiers a(n)(3(n)6{n) et n(n + 1)(1 -h n + n2) étant premiers en-
tre eux, l'assertion de l'alinéa b) résultera alors du lemme 3. Démontrons
pour cela que les entiers a(n), f3(n} et 6(n) vérifient les deux propriétés
suivantes :
(i) ils ne sont pas divisibles par 2 ;
(ii) ils ne sont pas des puissances 7-ièmes.
L'assertion (i) se vérifie directement. Prouvons que l'on a
(1) T3!^), T3!^), et 7^6{n).
Si n ^ lmod7 et n ^ -2mod7, 7 ne divise pas a(n). Supposons
n = lmod7 ou n = -2mod7. On a alors a(n} = 72mod73, et en
particulier 73 ne divise pas a(n).
Si n ^ lmod7 et n ^ 3mod7, 7 ne divise pas /î(n). Si l'on a
n = lmod7 ou n = 3mod7, alors f3(n) = -72mod73, et dans ce cas
T3!^).
Si n ^ 3mod7 et n ^ —2mod7, 7 ne divise pas <$(n). Si l'on a
n = 3mod7 ou n = —2mod7, alors 6(n) =. —72mod73. D'où l'assertion
(1).
Or puisque \n\ est > 3, on a les inégalités \a(n)\ > 72, \{S(n}\ > 72 et
\8{n)\ > 72. Cela démontre l'assertion (ii).
Par ailleurs, le résultant de deux quelconques des polynômes a, (3 et
6 est ^^^ Par suite, un diviseur premier commun à a(n) et /3(n) est
nécessairement 2 ou 7. Les entiers a{n) et <^(n), ainsi que /3(n) et <5(n),
possèdent la même propriété. Les assertions (i) et (ii) entraînent alors le
résultat annoncé.
c) Démontrons maintenant que les représentations de Gal(Q/Q)
définies par les points de 7-torsion de E(a,n)^ E^dn) et E((n + l)2^)
sont symplectiquement isomorphes.
c.l) Supposons d'abord que 7 ne divise pas 1 + n + n2. Le fait que
n soit distinct de —1 et 0, implique que 1 + n + n2 n'est pas la puissance
7-ième d'un entier (cf. [10], 1). Notre assertion dans ce cas, résulte alors du
lemme 2.
c.2) Supposons que 7 divise 1 + n + n2. Alors, 7 ne divise pas n. Si
n n'est pas la puissance 7-ième d'un entier, le lemme 2 entraîne encore
MODULES DE 7-TORSION 907
le résultat ; sinon, n + 1 n'est pas la puissance 7-ième (Tun entier, et le
même argument en ce qui concerne l'entier n + 1 prouve dans ce cas notre
assertion. Cela démontre le théorème 2.
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[10] T. NAGELL, Des équations indéterminées x2 + x + 1 = y ' " ' et x2 -h x + 1 = 3yn,
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Manuscrit reçu le 6 novembre 1995,
accepté le 8 mars 1996.
Alain KRAUS,
Université de Paris VI
Institut de Mathématiques
Case 247
4, place Jussieu
75252 Paris Cedex 05 (France).
kraus@mathp6.jussieu.fr


Sur les modules des points de 7-torsion d'une famille de courbes elliptiques

Lemaire, Bertrand

Intégrales orbitales sur $GL(N)$ et corps locaux proches

Cathelineau, Jean-Louis

Remarques sur les différentielles des polylogarithmes uniformes

Iosevich, Alex

Sawyer, Eric

Sharp $L^p-L^q$ estimates for a class of averaging operators

Ulmer, Douglas L.

Slopes of modular forms and congruences

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