Annales de l’institut Fourier (AIF)

Mustapha, Sami

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
SAMI MUSTAPHA
Multiplicateurs de Mikhlin pour une classe
particulière de groupes non-unimodulaires
Annales de l’institut Fourier, tome 48, no 4 (1998), p. 957-966
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
48, 4 (1998), 957-966
MULTIPLICATEURS DE MIKHLIN
POUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE
DE GROUPES NON-UNIMODULAIRES
par Sami MUSTAPHA
1. Introduction.
Soit G un groupe de Lie réel connexe et X = {Xi^Xs, ...,X^;} un
système de champs de vecteurs invariants à gauche sur G vérifiant la
condition de Hôrmander (cf. [21]). Soit A = —^,X2 le sous-laplacien
associé au système X. On note dg = (S g (resp. : drg) la mesure de Haar
invariante à gauche (resp. : à droite) sur G et 6(g) = d l g / d r g la fonction
module sur G normalisée par 6(e) = 1, où e désigne l'élément identité
de G. Le sous-laplacien A définit un opérateur positif formellement auto-
adjoint sur -^(G, drg) et si m est une fonction borélienne bornée sur [0, oo[,
l'opérateur m(A) défini par
/•oo
m(A) = / m(\)dE^
Jo
ou /.oo
A = / XdEx
Jo
est la décomposition spectrale de A (cf. [22]), est borné sur L2(G,drg).
On cherche des conditions sur m qui permettent d'assurer que l'opéra-
teur m(A) soit aussi borné sur les espaces U" pour 1 < p < oo.
Mots-clés : Groupes de Lie - Multiplicateurs - Sous-laplaciens.
Classification math. : 22E25 - 22E30.
958 SAMI MUSTAPHA
Si le groupe G est à croissance polynomiale du volume (cf. [21]) on
montre qu'il suffit de contrôler un nombre suffisant de dérivées de m pour
assurer la bornitude de m(A) sur les espaces LP (cf. [10], [11], [5], [1]). Les
résultats obtenus sont du type MikhIin-Hôrmander (cf. [15]). Les problèmes
ouverts dans cette direction concernent le nombre optimal de dérivées qu'il
faut pour assurer la bornitude du multiplicateur m. Dans [1] Alexopoulos
donne essentiellement comme nombre D / 2 + 1/2 4- e, e > 0, D désignant la
croissance du volume du groupe. Le résultat [5] de Christ suggère D / 2 + e,
comme dans le cas de M^ Les résultats plus récents de Mùller-Stein et
Hebisch montrent que dans certains cas ce nombre dépend de la dimension
topologique du groupe et non de son indice de croissance du volume fcf
[17], [13]).
Pour un groupe de Lie G la non trivialité de la fonction module 6
entraîne que G est à croissance exponentielle du volume et ne constitue par
conséquent pas un espace de type homogène (cf. [8]). C'est ce qui explique
la difficulté de l'analyse sur de tels groupes.
L'idée généralement admise, dans le contexte de la croissance expo-
nentielle du volume, était qu'il fallait imposer sur m une condition d'ho-
lomorphie pour assurer la bornitude de m(A) sur les espaces 27 (cf. par
exemple Taylor [19], pour le même problème dans le cas des variétés rieman-
niennes à courbure de Ricci minorée). Dans le cas des espaces symétriques
cette condition d'holomorphie est même nécessaire (cf. Anker-Lohoué [3],
Clerc-Stein [7]). Cependant Cowling et al ont obtenu, dans [9], pour un
groupe d'Iwasawa NA associé à un groupe réel semi-simple et pour un
laplacien distingué sur ce groupe, un théorème des multiplicateurs sans
imposer de condition d'holomorphie sur m. Un résultat précédent dans ce
sens a été obtenu par Hebisch dans [12]. L'analyse du laplacien considéré
dans ces deux cas repose sur l'utilisation de l'espace symétrique associé à
NA.
Le même type de résultat a été établi par l'auteur (cf. [18]) et F.
Astengo (cf. [2]) dans le cas des extensions solubles des H-groupes. Il
s'agit d'une classe de groupes de Lie non unimodulaires qui généralisent
les groupes NA associés aux espaces symétriques de rang 1.
Plus récemment Hebisch (cf. [14]) et Christ et Mùller (cf. [6]) ont
donné deux exemples de groupes résolubles à croissance exponentielle du
volume et unimodulaires avec des multiplicateurs différentiables pour le
premier et analytiques pour le second. D'une manière plus précise, Hebisch
montre que pour le groupe produit semi-direct G = M2 X R où l'action
MULTIPLICATEURS DE MIKHLIN 959
est définie par (x,y) —^ (e^e"^), (x, y) e M2, t ç M et pour le
laplacien invariant à gauche sur G, il suffit que m soit à support compact et
appartienne à et appartienne 'erateur m(A) borné sur les espaces LP(G).
Christ et Mùller montrent que pour le produit semi-direct G = H^AR
où Un est le groupe de Heisenberg de dimension 2n + 1 et où l'action
est définie par ( x ^ y ^ z ) —> (e^.e"*?/,^), ( x ^ y ^ z ) ç Hyi, t € M et pour le
laplacien (ou sous-laplacien) invariant à gauche sur G, le mutiplicateur m
doit être analytique.
L'idée de départ de ce travail a été de considérer, en contraste avec
l'exemple de Christ et Mùller, le cas du produit semi-direct G = H^ÀM
où l'action est définie par ( x ^ y ^ z ) —^ (etx^ety^e2tz), ( x . y ^ z ) e H^,
t e R et d'examiner pour ce groupe non-unimodulaire le problème des
multiplicateurs pour le sous-laplacien (pour le laplacien le résultat est
déjà contenu dans le théorème obtenu pour les extensions solubles des H-
groupes). On montre que pour cette action le calcul fonctionnel est alors
différentiable.
C'est cette situation que nous généralisons ci-dessous. Nous obtenons
un théorème des multiplicateurs avec une hypothèse de différentiabilité
pour tous les groupes produits semi-direct d'un groupe niipotent stratifié
et de R et pour les sous-laplaciens invariants à gauche naturels sur ces
groupes.
2. Enoncé des résultats.
Soit Af une algèbre de Lie réelle niipotente stratifiée de rang r et
soit 7V le groupe de Lie simplement connexe qui lui correspond. Rappelons
qu'il existe V^,...Vr^ sous-espaces vectoriels de Af tels que AT se décompose
comme somme directe
M=v^V2e...eVr
avec [Vi, Vj] C Vi-^-, j --= 1,..., r - 1, [Vi, Vr\ = 0 et Vi engendrant l'algèbre
J\f. Pour v = v\ © V2 9 ... (B Vr € M et z ç. R on définit
Qz(v) = ezv\ C e22^ © .... ® erzVr'
On note G le produit semi-direct 7VAR associé à cette action. Etant une
extension résoluble de 7V, le groupe G est lui-même résoluble. On identifie
N à son algèbre de Lie par l'application exponentielle. Le produit de deux
éléments de G est donné par
(u^)(^=(n.9,(H')^+^
960 SAMI MUSTAPHA
ppw tout (n, z), (u ' , z ' ) e G. Soient ci,..., e^ ç ./V, une base de Vi. On note
X^, j = 1,..., m les champs de vecteurs invariants à gauche de J\f définis par
les vecteurs ej et on note Xj, j = 1,..., m les champs de vecteurs invariants
à gauche dans G définis par ces vecteurs, i.e.
ffoe^s} - f(a}
X,f{g) = Hrn̂  J{9e ; Jw, g ç G, / e Go°°(G).
Il est facile de voir que Xj = ezXj. Les champs X^,...,Xm, TT- engendrent
l'algèbre de Lie du groupe G et vérifient par conséquent la condition de
Hôrmander. Notons
( r\1') \ f m, <-»QA — Y2 -^ -L Y2 -L ^ ( ̂  V^ y2 , ô- - Xi+...+^+^J=- e 1,^-+^
\ 3~l /
le sous-laplacien invariant à gauche sur G associé aux champs Xi,...,X^,
9
~9z'
Le groupe G est non unimodulaire et la mesure de Haar invariante à
droite sur G est donnée par (Tg = dndz g = (n, z) où dn est la mesure de
Haar sur N et dz la mesure de Lebesgue sur R.
L'opérateur A possède une extension auto-adjointe positive sur
L^G, drg) et si m est une fonction borélienne bornée sur [0, oo[, l'opérateur
m(A) est borné sur L2(G^drg).
THÉORÈME 1. — Soient G et A comme ci-dessus. Alors, pour toute
fonction m a support compact dans [0,oo[ et appartenant à l'espace de
Sobolev ^^(R), e > 0, l'opérateur m(A) est borné sur LP(G,drg), pour
1 < p < , oo.
Notons (pt le noyau de la chaleur associé au semi-groupe Tt =
e"^, t > 0, i.e. (j)t est donné par
Ttf(x) = f (t>t{y~^x)f{y)dy = / ^/(xy-^d^ f ç Go°(G).
JG JG
Le théorème 1 est une conséquence du théorème suivant :
THÉORÈME 2. — Les notations étant comme plus haut, il existe une
constante G > 0 telle que pour tout t > 0 et pour tout s ç
i>Ws\\L^G^g) ^ C (l + Vt) exp (^-\ (l + l̂ )
\ / \ 4Î / \ t /
,'\ / i«h3/2
« ^T
COROLLAIRE 1. — JJ existe une constante C > 0 teJie que
ll^l+«.l|Li(G,d-g) ^ C(l + Isl)372, S € R.
MULTIPLICATEURS DE MIKHLIN 961
Pour déduire le théorème 1 du corollaire 1, posons /(A) = m(\)ex',
ce qui donne (par la formule d'inversion de Fourier) :
m(A)=(27^)- l/ le-( l-^À/(^)^.
D'où l'on déduit (par le théorème spectral)
m(A)=(27^)-ly>/(Oe-(l-^A^.
Si on désigne par km le noyau associé à m(A), i.e. le noyau défini par
m(A)/(;r)= f kmÇy-'x)/^^ [ km(y~lx}6{y)f(y)dry^ f ç C^(G\
<1 G J G
on peut alors estimer
\\m(^)\\Ll{G,drg)^L^{G,drg)
par
\\km\\L^G^g) < C f \J\Ç)\\\^_^\\^G^g)dÏi
^G/lAOKl+I^^^OC
dès que m ç H2^. Il suffit ensuite de procéder par interpolation et dualité
pour déduire le théorème 1.
Pour voir que l'indice 3/2 est optimal dans le corollaire 1, observons
que dans le cas où G est le produit semi-direct G = H^ÀR le noyau <^ est
donné par (cf. [4]) :
Ç-Z y. / y.2\
<^^ = ( A ^3/2 • i,/ ^ ex? ( - T7 )(47^^)d/2 smh(r) \ 4^/
où g = ( (x ,y ) ' , z ) , (x,y) e R2, z ç R, cosh(r) = cosh(^) + e—^ {x2 +y2).
D'où 2
e"^ r ( r2 \
\^Ws(g)\ = , , . ̂ ^ . . . exp ( - ———— )
(47r(l + z s ) ) 3 / 2 smh(r) \ 4(1 + s2) )
e~z__ r / r2 \
^ (1+|5|)3/2 sinh(r) exp V 'î<^~s2) )
..(l-^2)372 r ___1__ ( _ _r___\
(1 + |5|)3/2 sinh(r) (1 + ^2)3/2 ^P ^ 4(1 + ^2) )
- (l+H)372^^).
Ce qui entraîne que
ll^l+-(^l|Ll(G,^)~(l+|5|)3/2.
962 SAMI MUSTAPHA
3. Preuve du théorème 2.
Notons Z(t) = (n(t),z(t)), t > 0, n(t) <E N , z{t) e M, la diffusion
associée au semi-groupe (Tt)^o- Observons que la projection de la diffusion
92de A sur R est la diffusion de générateur —-^—-> et que z(t) est par
conséquent le brownien unidimensionnel standard. Notons Ht(n) = H(n,t)
la solution fondamentale de l'équation de la chaleur sur N associée au sous-
laplacien •^X'j. Pour calculer le noyau (f)t(g) -==- 4>t(ri,z), g = (n,z) ç G,
il suffit de conditionner sur toutes les trajectoires z(s) démarrant en 0 et
aboutissant en z au temps t et d'effectuer le changement de temps. Ce qui
donne :
Pe[Z(t) e dg] = (t^tWg = (t)t(n,z)dndz
= Po[z(t) e dz}-E \H (n, ( e^^ds) / / z ( t ) = z\ dn,
L \ Jo ) \
où E [ . / / z ( t ) = z} est l'espérance conditionnelle avec z(t) = z. L'idée de
conditionner par les trajectoires z(s) pour exprimer à l'aide d'une espérance
le noyau <f>t(') est issue de [20] où on peut voir le rôle que jouent les
rt
fonctionnelles browniennes / e^ds dans les estimations centrales de (pf
Jo
II s'avère que ces fonctionnelles browniennes jouent un rôle important en
mathématiques financières (cf. [23]). Notons
dt{z,u)du = Pô [ / e^ds e d u / / z ( t ) = z] .
Uo ]
On peut alors écrire
1 /^ ^\ />oc^(n, z) = —== exp - — / Hn(n)at{z, u)du.
V^Trt \ 4t/ JQ
Nous allons maintenant utiliser l'expression de dt(z^u) donnée dans [23].
D'après [23], on a
^exp(-^)a<(^)
= (4^ ̂  ̂ P (- ̂  (1 + e2z)) ̂ P (^)^/n(t)
où ^r(t), r > 0, t > 0 est définie par
^r(t) = exp ( - y ) exp (-r cosh(^/)) sinh(î/) sin (^) dy.
JQ \ 4t / \ Zt /
MULTIPLICATEURS DE MIKHLIN 963
D'OÙ
çz f/K2\ f00 1 / 1 \
^^^T^î^^JJo ^(n)^exP^-2^(l+e2')J^/-Mdn•
Effectuons dans cette intégrale le changement de variable u = vez. On
obtient alors CT^Qr^^^H1>t{n,z)= ---=exp(—) / H^(n)^exp(--cosh(z))^/^t)dvv47r°^ V 4t / Jo î; \ v /
et donc
Mr^= ̂ exp (^) Z ^e2(n)^exp (-^cosh^))i . f^\ r° . .1 / i
x ( / exp ( -^- ) exp ( -- cosh(2/) ) sinh(^) sin ( ^ y } dy } dv.
\Jo \ 4Ï; / \ v / \ z t / /
On peut ainsi écrire
1 /Tr2^ r00 f00 1
^^^ = ~7rT^ [ 47 / / ^e2(n)^2V47T3^ \ 41 / JQ JQ V^
exp ( -- (cosh(^) + cosh(i/)) ) exp ( -y ) sinh(^) sin (^) dydv.
\^ 1) y \. 4t j \ 2àL /
On peut, dans cette formule, complexifier le temps et déduire pour tout
t > 0, s ç R, l'estimation :
^ / ^ \ roo roo
\(f>Ws(n,z)\ ̂ C—==exp / / H^{n)
^/t-\-\s\ \qi\L ' s ) / Jo Jo
^ exp ̂  (cosh(^) + cosh(y))j exp (-4^ ̂ 2))
exp (2(^2) ) e2/d^-
Estimons maintenant la norme Ll{G^drg) de ^Ws- O11 a
H^t+^IlL^G,^^) = \(j)t-}-is{'ri,z)\dndz,
d'où, d'après l'estimation précédente :
ff\^^z)\dndz < ̂ ^^exp (4(,^)
/ . o o / . o o / / . \ 1 / 1 \
/ / / H^Wdn —^ exp -- (cosh(z) + cosh(2/))
Jo Jo \J ) v2 \ v )
exp (-4(^)) exp [W^ eydydvdz'
964 SAMI MUSTAPHA
En utilisant le fait que / Hve' (n)dn = 1 et en intégrant en v on peut alors
estimer le premier membre de l'inégalité ci-dessus par
ex? (iî fey) y00 y00 i / ty2 \
^TH Jo Jo cosh(2) + cosh(y) exp [~ ̂ t2 + s2) )
xexp{w^)evdydz•
Mais r ° ° i r ° ° i
7o cosh(^) + cosh(?/) ~ Jo exp(z) + exp(?/)
et en effectuant le changement de variable ez = n, on voit que
/>00 1 ^°° du C_
Jo exp(z) + exp(y) ~ J^ u(u + ev) - ̂ ( + ̂ '
On a par conséquent
exp(^^) /•oo / ^2 \
ll̂ l̂ (̂ )̂  ^)/^ (l+^ex^-4(ï^))
^ l8!^ ^ ^
xexpl,2(ÏÏTs2)Jdî/•
et donc
(SIni^lAxj--^2ll̂ ll.,.,̂  ^ G6^ ̂ (l + |,| + H) exp ( 4^) dy.
D'où
II^W,HLI(G,^) ^ C (1 + ——) exp (^-} (t + |s|)3/2 .
\ï î / \^ï/
Ce qui achève la preuve du théorème 2.
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Manuscrit reçu le 8 janvier 1998,
accepté le 20 mars 1998.
Sami MUSTAPHA,
Université Pierre et Marie Curie
Institut de Mathématiques
4, place Jussieu
75252 Paris Cedex 05 (France).


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