Annales de l’institut Fourier (AIF)

López, R. García

Némethi, A.

Hodge numbers attached to a polynomial map

Gâtel, Yannick

Yafaev, Dimitri

On solutions of the Schrödinger equation with radiation conditions at infinity: the long-range case

Moroianu, Andrei

Kähler manifolds with small eigenvalues of the Dirac operator and a conjecture of Lichnerowicz

Eyssidieux, Philippe

Systèmes linéaires adjoints $L^2$

Ceccherini-Silberstein, Tullio G.

Machi, Antonio

Scarabotti, Fabio

Amenable groups and cellular automata

Camion, Paul

Courteau, Bernard

Montpetit, André

Metric coset schemes revisited

Delzant, Thomas

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
THOMAS DELZANT
Sur l’accessibilité acylindrique des groupes
de présentation finie
Annales de l’institut Fourier, tome 49, no 4 (1999), p. 1215-1224
<http://www.numdam.org/item?id=AIF_1999__49_4_1215_0>
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
49, 4 (1999), 1215-1224
SUR FACCESSIBILITE ACYLINDRIQUE DES
GROUPES DE PRÉSENTATION FINIE
par Thomas DELZANT
Introduction.
Soient G un groupe, et r un G- arbre, c'est-à-dire un arbre muni d'une
action de G sans inversion d'arêtes. Le problème d'accessibilité est celui de
donner une borne a priori au nombre de sommets de r / G . Ce problème a
été étudié par de nombreux auteurs : outre le célèbre théorème de Grushko
sur les produit libres, citons les travaux de M. Dunwoody [Du], M. Bestvina
et M. Feighn [BF], Z. Sela [S] et l'auteur [Del], [DP].
Dans cet article, nous présentons une preuve topologique du théorème
« d'accessibilité acylindrique » de Sela [S], valable pour les groupes de pré-
sentation finie, ce qui nous permet d'en donner une version quantitative et
d'étendre son résultat à une nouvelle classe d'arbres.
DÉFINITION. — Soient C une famille de sous-groupes de G stable par
conjugaison et passage au sous-groupe, et k un entier. Nous dirons que
le G-arbre r est (k^C)-acylindrique si le stabilisateur de tout segment de
longueur k de r est un élément de C.
Cette définition généralise celle de Z. Sela qui avait étudié le cas où la
famille C est réduite au groupe trivial. Nous étudierons plusieurs exemples ;
le cas particulier ou C est la famille des sous-groupes finis d'ordre donné
du groupe G est particulièrement intéressante, car elle satisfait aussi une
propriété de «super-accessibilité» ; on l'étudié au paragraphe 3.
Mots-clés : Accessibilité - Groupe opérant dans un arbre.
Classification math. : 20E06.
1216 THOMAS DELZANT
Nous dirons que le groupe G ne se scinde pas au-dessus d'un groupe
de C si G n'est ni un amalgame non trivial G = A *c B avec C -^ A et
C ^ B, ni une HNN extension G = A*c avec G ç C. D'autre part, on dit
que le G-arbre r est minimal si il ne contient pas de sous-arbre G-invariant.
Si G est de présentation finie, soit P = < ^ i , . . . , ̂ n; Jî i , . . . , Rk) une
présentation de G sans relation de longueur 1 ; notons T = T( P ) la somme
^(|^| — 2); T mesure donc la complexité de la présentation P de G,
et si T est triangulaire, c'est-à-dire composée uniquement de relations
de longueur 3, c'est le nombre de ces relations. On note T(G) la borne
inférieure des T(P), où P décrit les présentations de G. Cet invariant
étudié dans [Del], intervient de façon très naturelle dans les problèmes liés
aux actions de groupes dans des arbres et les espaces hyperboliques [De2].
THÉORÈME 1. — Soient G un groupe de présentation finie et C une
famille de sous-groupes. On suppose que G ne se scinde pas au-dessus de C ;
si T est un G-arbre minimal (A;, C)-acylindrique^ alors le nombre de sommets
de r / G n'excède pas 12kT.
Remerciements. — Je remercie P. Papasoglu qui m'a posé le problème
d'étendre le résultat de Sela au cadre relatif, ainsi que L. Potyagailo et
Z. Sela pour d'utiles conversations.
1. La lamination duale à r.
On fixe un groupe G de présentation finie et un arbre r muni d'une
action sans inversion du groupe G. Nous étudions dans ce paragraphe le
feuilletage transversalement mesuré dual à l'action du groupe G sur r ; si
la méthode suivie est classique, le lemme 1.5 qui interprète la condition
d'acylindricité sur ce feuilletage est l'observation la plus originale de cet
article.
Comme le groupe G est de présentation finie, il admet une présentation
dont toutes les relations sont de longueur 2 ou 3. À partir de celle-ci, on
construit le complexe II de groupe fondamental G ayant un seul sommet,
noté «o? autant d'arêtes que de générateurs, dont les faces sont des triangles
représentant les relations triangulaires ghk = 1 et des digones représentant
des relations gh = 1, ou g2 = 1. Nous noterons TT : P —^ II le revêtement
universel de II, et XQ un point base de P relevant SQ.
ACCESSIBILITÉ DES GROUPES DE PRÉSENTATION FINIE 1217
1.1. Construction d^une application p : P —> T.
Fixant un point base po dans r, qu'il est commode de choisir au milieu
d'une arête^ on construit d'abord une application équivariante p : P —> r
en trois étapes.
On pose d'abord p(g - xo) == g -po. Puis on étend p au 1-squelette de P
de façon affine : on envoie l'arête a = [x, y] sur le segment [p(x)^ p(y)} C T,
par une application affine. On étend enfin p au 2-squelette de II par
l'application dessinée à la figure 1. Cette construction de p est équivariante.
—— : feuille de A • : milieu des arêtes
Figure 1
Notons que la restriction de p à une arête [ x ^ y ] de P est injective,
sauf si p(x) = p(y).
Nous noterons P ' le CW-complexe ayant même espace topologique
sous-jacent que P, mais dont les sommets sont les points des arêtes de P dont
l'image par p est le milieu d'une arête de r, et les arêtes les sous-segments
des arêtes de P compris entre deux tels sommets. On note II' = P'/G.
1.2. Définition de A et A.
La lamination A est le graphe tracé dans P dont les composantes
connexes sont les composantes connexes des images réciproques par p des
milieux des arêtes de T (figure 1). Autrement dit, on joint dans chaque face
de P ' les sommets ayant même image par p ; cette image est le milieu d'une
arête de r. Notons que A est une lamination mesurée co-orientée par le
choix d'une orientation de chaque arête de r / G . L'équivariance de p montre
que A est l'image réciproque d'une lamination A tracée dans II.
1218 THOMAS DELZANT
1.3. L'arbre r comme résolution de r.
La construction utilisée ici est essentiellement celle de [D-D],
prop. VI.4.3, p. 230. On considère le graphe abstrait r dont les sommets
sont les composantes connexes de P ' \ A, et les arêtes les composantes
connexes de A.
Notons que les composantes connexes de A séparent P en deux
composantes exactement : en effet celles-ci séparent P localement, et P
est simplement connexe. Il en résulte que t est un arbre, car c'est un
graphe connexe dont toutes les arêtes séparent. De plus f est doté d'une
application équivariante p : r —» r. Utilisant la terminologie de M. Bestvina
et M. Feighn [BF], on dit que t est une résolution de r.
1.4. Définition de Ajç.
L'entier k considéré ici est celui intervenant dans la définition de
(fc, C)-acylindricité.
On définit un graphe Ajç C A par son intersection avec chaque face
de IL Soit A = [x, y , z\ l'une des faces de II ; Ajç Ç} A est obtenu à partir
de la lamination A Ç} A en y supprimant les feuilles dont l'image par p est
située à une distance inférieure à k — 1 de p(x), p{y), p(z) ou du centre de
ce triangle dans r. La figure 2 illustre le cas k = 3.
— Afe --- A -A fc
Figure 2
1.5. LEMME. — Si C est une courbe fermée tracée dans A/ç et g un
représentant de C dans G == 7ri(II), alors g fixe un segment de k-arêtes
consécutives dans r. Mieux, si A^ est une composante connexe de A^,
limage de TTi(A^) dans G fixe un segment de longueur k dans r.
Dans ce cas, et si de plus le G-arbre r est (k,C)-acylindrique, l'image
de TTi(A^) dans G est un groupe de C.
ACCESSIBILITÉ DES GROUPES DE PRÉSENTATION FINIE 1219
Démonstration. — Avant de commencer la preuve, remarquons que
pour k = 1, Afc = A, et le lemme dit qu'un élément de G représenté par
une courbe fermée tracée dans A fixe une arête de r, ce qui résulte de
l'équivariance de p.
Soit Ci une telle courbe, basée en un point x\ du 1-squelette de II',
situé sur une feuille de A^ ; dans cette démonstration, il est commode de
choisir a-i comme point base pour calculer le groupe fondamental G de II.
Soit x\ un sommet de P ' relevant x\ ; son image par p est le milieu d'une
arête y-^. L'action de G sur r est p équivariante pour l'action naturelle de G
sur P ' obtenue par relèvement des chemins.
Notons x^ l'un quelconque des deux sommets voisins de x\ sur une
même arête A de II. Dans chaque triangle A, C\ passe à une distance >_ 1
des sommets et des feuilles de A\A^. On peut donc fabriquer une courbe €2,
passant en 3:2, en poussant Ci à une distance 1 en suivant l'holonomie de la
lamination A ; on voit que €2 reste dans A^-i, et on peut donc repéter cette
opération k — 1 fois, pour obtenir k — 1 sommets consécutifs a:i, x ^ ^ . . . , a^
de l'arête A et A; courbes Q, 1 < i < k tracée dans A et parallèles à Ci.
Notons ^1,^2, - "Uk-i les segments [a^,^+i] de cette arête; on voit
que les courbes 7^ = u~[1 ' • • i^_\ • C^-i.^-i • • • u^ sont toutes homotopes.
Le choix effectué d'un point x^ de P' relevant rri, détermine des
points Xi extrémités des relevés de Z4_i....iti qui sont k sommets de P '
situés successivement sur une même arête de P : leurs images par p sont les
milieux de k arêtes formant un segment de longueur k de T.
Comme la courbe Ci est tracée dans A, sa relevée d'origine xi est
tracée dans A, et son image par p est le milieu d'une arête de r : ainsi, dans
cet arbre, g fixe non seulement l'arête de milieu p(x\) mais un segment
constitué des ^-arêtes successives dont les milieux sont les p(xi). On a
utilisé ici le fait que sur l'arête A de P, l'application p est injective. D
2. Démonstration du théorème 1.
On construit d'abord un CW-complexe Pjç en écrasant dans P ' toutes
les feuilles de A^ en un point (figure 3) puis en supprimant tous les digones
obtenus. Notons que cette construction est invariante par l'action de G.
Ainsi, Pfc est muni d'une action de ce groupe, et on a une application
continue équivariante e : P —> Pjç. Les images réciproques des sommets
de Pfc par e sont les composantes de A^. En particulier les stabilisateurs des
1220 THOMAS DELZANT
sommets de Pk sous l'action de G sont des sous-groupes de C. D'autre part,
les fibres de l'application e sont connexes et P est simplement connexe;
donc Pjç est simplement connexe.
Figure 3
Nous noterons Hk le quotient de Pk par G ; il est commode de penser
à Hk comme à un orbièdre developpable de groupe fondamental G et de
revêtement universel Pk (voir [Ha] pour la théorie des orbièdres).
Ce polyèdre lïk est constitué de plusieurs arêtes et sommets, mais il
est facile de contrôler le nombre et la combinatoire de ses faces :
2.1. LEMME. — Le nombres de faces de Iï.k ^st majoré par 4T ; celles-ci
sont des n-gones avec n < 12(k — 1).
Démonstration. — Chaque face de II donne naissance à au plus quatre
faces; en général celles-ci sont des 2(k — 1) ou 6(k — l)-gones, mais certains
cas dégénérés peuvent donner des 12(fc — l)—gones. D
Nous dirons qu'une arête de Iï.k est libre si elle n'est adjacente à aucune
face. Notons Yk l'ensemble des arêtes libres de Hki et Xk l'ensemble des
composantes connexes du complémentaire Hk — Yk ; si s C Xj^, on note IIjt
la composante connexe de îlk ~ Vk qu'il représente : c'est un sous-orbièdre
de IIfc. On note alors G s C G le groupe fondamental de cet orbièdre 11̂  :
c'est aussi le sous-groupe de G stabilisateur de la composante connexe de
P \ (ir o e)~lY se projetant sur 11̂ .
On peut alors former un graphe de groupe (au sens de Serre [Se]) dont
l'ensemble des sommets est X^, l'ensemble des arêtes VA;, où l'on marque
ACCESSIBILITÉ DES GROUPES DE PRÉSENTATION FINIE 1221
chaque sommet s par le groupe G s, et chaque arête y par son stabilisateur
dans IIfc. Par construction, le groupe fondamental de ce graphe de groupe
est le groupe G. Notons que les stabilisateurs des arêtes de ce graphe sont
des sous-groupes de C.
Jusqu'à présent, nous n'avions pas encore utilisé le fait que G ne se
scinde pas comme amalgame ou HNN au-dessus d'un sous-groupe de C.
Il est important de noter que, sous cette hypothèse, le groupe G est égal
au stabilisateur d'un des sommets du graphe de groupe Xk. On a en
particulier :
2.2. LEMME. — Si G ne se scinde pas comme amalgame ou fflVN
au-dessus d'un groupe de C, le graphe sous-jacent à Xk est un arbre, et
pour Uun des sommets s de ce graphe Xjç, G s = G.
Par construction l'application p induit une application p : Pjç —> r
dont la restriction au 1-squelette de Pjç est simpliciale. Considérant ce
1-squelette comme graphe, on voit que p(P^) est un sous-arbre G-invariant
de T ; c'est donc r, car par hypothèse r est minimal (ne contient donc pas
de sous-arbre G-invariant). On en déduit une majoration du nombre des
sommets de r/G :
Le nombre de sommets de r/G n'excède pas celui de îljç.
En comptant le nombre de sommets de ce polyèdre, on a donc
le résultat promis dans l'introduction : dans chaque triangle, il y a au
plus 6 (A; — 1)T feuilles de Ajç chacune étant adjacente à deux sommets
de IIfc au plus; donc en tout le nombre de sommets de ce polyèdre est
majoré par 12(fc — 1)T :
2.3. THÉORÈME. — Soient G un groupe de présentation finie et C une
famille de sous-groupes. On suppose que G ne se scinde pas au-dessus de C ;
si T est un G-arbre minimal (A:, C)-acylindrique, alors le nombre de sommets
de r / G n'excède pas 12(k - 1)T.
3. Exemples.
Dans le cas ou C est la famille, notée <Ï>^, des sous-groupes de G finis
et d'ordre inférieur à un entier n, on peut préciser le résultat principal, en
généralisant le théorème de super-accessibililté acylindrique de Sela. Si r
1222 THOMAS DELZANT
est un G-arbre et 0 un automorphisme de G, nous noterons r0 l'arbre r
muni de l'action de G composée avec 0.
3.1. THÉORÈME. — Soie G un groupe de présentation finie', on suppose
que G n'est ni un amalgame ni une HNN extension au-dessus d'un groupe
d'ordre inférieur à n. Il existe une famille finie r\,...., Tjv(n,fe) de G-arbres tels
que pour tout G-arbre (fc, <ï>^)-acyiiûdrique, il existe un automorphisme 0
de G et une application G-équivariante r0 —> r.
Partant d'un polyèdre II comme au paragraphe précédent, d'un G-
arbre Â:—acylindrique minimal r dont les stabilisateurs d'arêtes sont finis,
on construit l'orbièdre 11̂ . L'image de A dans îljç est aussi une lamination,
et l'arbre r est encore l'arbre dual à cette lamination, car les composantes
connexes de P—A sont celles de Pfe-e(A), où e est l'application d'écrasement
du paragraphe 2.
L'orbièdre Tlk est donc un polyèdre de dimension 2, dont le nombre
de sommets faces et arêtes est borné, et dont les sommets faces et arêtes
sont marqués par un groupe fini (leur stabilisateur) qui est un groupe
d'ordre inférieur à n. L'ensemble des orbièdres munis d'une lamination
ayant toutes ces contraintes combinatoires est évidemment fini. Nous les
noterons f 2 i , . . . , ̂ -M(n,k)' Notant Gz == TT^Ç^Îi) le groupe fondamental au
sens de la théorie des orbièdres, et r^ le G^-arbre dual à la lamination de f^,
on voit que l'on obtient l'action de G sur f en composant l'isomorphisme
de G et Gi avec l'action de Gi sur r^. Ce qui est le résultat promis.
Remarque. — Le cas ou n = 0 est le théorème de super-accessibilité
acylindrique 2.2 de Sela [S].
Une application. — Le théorème 3.1 permet d'étendre les résultats
de [S], §4, au cas des groupes ayant de la torsion. On dit qu'un groupe
est virtuellement cyclique si il est fini ou contient Z comme sous-groupe
d'indice fini.
Soit G un groupe dans lequel tout sous-groupe virtuellement cyclique
infini est contenu dans un unique sous-groupe virtuellement cyclique
maximal égal à son normalisateur, et dans lequel l'ordre des sous-groupes
finis est borné par un entier n ; c'est le cas par exemple si G est hyperbolique
au sens de Gromov. Supposons que G est de présentation finie et ne se
décompose pas comme amalgame ou HNN au-dessus d'un groupe fini.
On a alors :
ACCESSIBILITÉ DES GROUPES DE PRÉSENTATION FINIE 1223
3.2. THÉORÈME. — A âutomorphisme près de G, il existe seulement un
nombre fini de G-arbres minimaux à stabilisateurs d7 arêtes virtuellement
cycliques.
Démonstration. — Le raisonnement présenté (succinctement) est celui
de [S]. On note d'abord que l'arbre de Serre de tout scindement de G
comme amalgame ou HNN au-dessus d'un groupe virtuellement cyclique
est (3, <I>n)-acylindrique : en effet, si par exemple G = A^cB le stabilisateur
de trois arêtes consécutives est de la forme aCa~1 Ç}CÇ}bCb~1 = C\ avec
a ç. A \ G, b e B \ C. Ce groupe est normalisé par a, 6, et donc par ab dont
aucune puissance n'est dans A, B et donc C\ : il est donc fini.
Rappelons alors le fait fondamental suivant (Bestvina-Feighn [BF]) :
Soit p : T —> T une résolution ; il existe une suite de Stallings foids
T = TO -^ Ti -^ Ï2 -^ • • • -^ Tn = T.
Chacun de ces Stallings foids soit diminue strictement la combinatoire de
Ti/G (le nombre de sommets ou d'arêtes), soit augmente strictement le
stabilisateur d'au moins une arête. On note E le nombre d'arêtes de TQ
et pour chaque arête e^, i = 1,...,^, Ni l'indice du stabilisateur Ge,
dans Gp(e^) ; on a n <^ ̂  Ni.
i
L'arbre T s'obtient donc avec au plus n < ̂  Ni Stallings foids à partir
i
de l'un des arbres Ti fournis par le théorème précédent. Par hypothèse,
et comme G ne se scinde pas au-dessus d'un groupe fini, les stabilisateurs
des arêtes de Ti sont virtuellement cyliques, et contenus dans ceux de T.
En particulier, le stabilisateur de chaque arête est d'indice fini dans le
sous-groupe élémentaire maximal qui le contient; donc à chaque étape,
il y a au plus un nombre fini de façon de faire le Stalling fold (il faut
choisir une arête e et augmenter son stabilisateur, ce qui revient à choisir
un sous-groupe coincé entre Gg et Ge). On a donc le résultat.
BIBLIOGRAPHIE
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on trees, Inv. Math., 103 (1991), 449-469.
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Crelle J., 470 (1996), 153-180.
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[De2] T. DELZANT, L'image d'un groupe dans un groupe hyperbolique, Com. Math.
Helv., 70 (1995), 267-284.
[DP] T. DELZANT, L. POTYAGAÏLO, Accessibilité hiérarchique des groupes de
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[DD] W. DICKS, M.J. DUNWOODY, Group acting on graphs, Cambridge Studies in
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[Du] M.J. DUNWOODY, Thé accessibility of finitely presented groups, Inv. Math., 81
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[Ha] A. HAEFLIGER, Complex of groups and orbihedra, in 'Group theory from a
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[S] Z. SELA, Acylindrical accessibility, Inv. Math., 129 (1997), 527-565.
[Se] J.-P. SERRE, SL2, arbres et amalgames, Astérisque, 46 (1977).
Manuscrit reçu le 25 septembre 1998,
accepté le 18 décembre 1998.
Thomas DELZANT,
Université Louis Pasteur
Département de mathématiques
7 rue René Descartes
67084 Strasbourg Cedex (France).
delzant@math.u-strasbg.fr


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