Annales de l’institut Fourier (AIF)

Abdelghani, Leila Ben

Espace des représentations du groupe d'un noeud classique dans un groupe de Lie

Danila, Gentiana

Sections du fibré déterminant sur l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif

Noda, Takeo

Projectively Anosov flows with differentiable (un)stable foliations

Cossart, Vincent

Galindo, Carlos

Piltant, Olivier

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
VINCENT COSSART
CARLOS GALINDO
OLIVIER PILTANT
Un exemple effectif de gradué non noethérien
associé à une valuation divisorielle
Annales de l’institut Fourier, tome 50, no 1 (2000), p. 105-112
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
50, 1 (2000), 105-112
UN EXEMPLE EFFECTIF DE GRADUE
NON NOETHÉRIEN
ASSOCIÉ À UNE VALUATION DIVISORIELLE
par V. COSSART, C. GALINDO(*) et 0. PILTANT
Introduction.
En dimension 2, le gradué d'un anneau local régulier associé à une
valuation divisorielle est noethérien [Gô], cor. 3.11, [Li], prop. 3.11 ou [S],
th. 8.6. L'étude d'un tel gradué nécessite la théorie des idéaux complets
[Z]. En dimension supérieure, il existe une théorie des idéaux complets à
supports finis [L]. Cette note prouve que la structure du gradué associé à
une valuation divisorielle à support fini, c'est-à-dire une valuation associée
à un diviseur exceptionnel obtenu après une suite finie d'éclatements de
points fermés, est loin d'être connue.
Notations et construction de la valuation.
On éclate XQ = SpecR le long de son idéal maximal, soit X\ la
variété obtenue. Dans le diviseur exceptionnel E\ := Proj k[x, y^ z}^ soit la
cubique C d'équation x2z + xy2 + y3 et on note Mi le point fermé de E\ de
coordonnées homogènes (1 : 0 : 0). Mi est un point lisse de C. On définit
alors la suite d'éclatements :
Xo <— Xi ^— • • • .— Xn, 10 < n,
(*) Le deuxième auteur remercie l'Université de Versailles-Saint-Quentin et plus parti-
culièrement PU.F.R. de Versailles pour son invitation d'un mois en 1998 sur un support
de professeur. C'est durant cette visite que cet article a été écrit.
Mots-clés : (finitely supported) Divisorial valuations — Effective — Graded algebra
(relative to a valuation).
Classification math. : 14B05 - 13F30.
106 V. COSSART, C. GALINDO ET 0. PILTANT
où Xi <— X^+i est l'éclatement centré en le point fermé M^ exceptionnel
pour Xi <— JQ+i, sur le transformé strict de la cubique C dans Xi,
1 < i <^ n — 1. Soit Wn-i l'idéal maximal définissant M^_i, on prend
pour v la valuation CTn-i-adique de C^-i^.i. C'est-à-dire que, si on
désigne par En le diviseur exceptionnel de Xn-i <— Xn, ^=ord^.
Calcul du gradué.
Posons Ri = Ox^Mi, 1 < i < n - 1. On a :
J?l = Â:[ai,6i,Ci](^^ci)
où a i = ^ , 6 i= |^ , ci^+d^+d^et
Rn-l = k[an-l,bn-l^Cn-l}(arz-i,b^-i,Crz-i)
OÙ dn-1 = -^ = j^ bn-1 = 6l, Cn-1 = -^.
On en déduit : ^(ai) == n - 1, î/(6i) = 1, î/(ci) = n - 1. Soit
P = PI + • • • + P^ e OK,^, 2:)/c[^ 2/, ^]
avec Pi e A;[a;, ^, z\ homogène de degré i, 1 < i < m = deg(P).
P = aiPi(l, b^ ci - 6i2 - &i3) + . • . + a^P^(l, &i, ci - &i2 - &i3)
= ûiÇi(^i, ci) + • • • + a^Qm^, ci)
où Qj(&i,ci) = P^(l, 61, ci - 6i2 - 6i3), l^j^m.
P=a,-l^:2Ql(^_l,^:2c,-l)+•..+(a,_l%:2)mQ^(^_l,6^:2c,-l).
De ces calculs fastidieux, il ressort que la valeur d'un polynôme P ç
k [ x , y , z ] est la plus petite valeur de ses composantes homogènes : il suffit
de faire le développement de P dans A;[ai,6i,ci] et d'affecter à ai le poids
n - 1, à 61 le poids 1 et à ci le poids n - 1 [S], cor. 8.5, th. 8.6. Dans le
langage de Spivakovsky, v est monomiale en ai,6i,ci.
Plus précisément, en posant la = {r e R \ z/(r) > a}, l'anneau
gî^(R) = ©^a/^a+i qui est le "petit gradué" de R associé à v est une
sous A;[Ai]-algèbre de gr^(Ri) = A;[Ai, Bi, Ci] où Ai est la forme initiale de
ai dans gr^i), B^ celle de 61 et Ci celle de ci, gï^R) = ®Ja/^+i est
bigradué', il est gradué par les valeurs des a du semi-groupe de v et par les
degrés en Ai, un élément A^Çf^i^i) est la forme initiale d'un polynôme
homogène de degré m de k [ x ^ y , z } .
PROPOSITION 1. — Pour tout m G N- {0}, Je k-espace vectoriel des
éléments de la forme A^Q^i.d) de gr^(R) C gr^Ri) = À;[Ai,Bi,Gi]
ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER
GRADUÉ NON NOETHÉRIEN ASSOCIÉ À UNE VALUATION DIVISORIELLE 107
est engendré par les monômes A^B^C\ avec (1) m ̂  3b et (2) a = 0 ou
a < 3(m - 3b) - 1.
Prouvons d'abord trois lemmes et nous reprendrons ensuite la preuve
de la proposition 1.
LEMME 1. — Avec les hypothèses et notations de la proposition 1,
si P est un polynôme homogène de degré m et si P n'est pas divisible par
C = x ' 2 z + xy2 + y3, alors
col(^i,P^l,6i,^ <3rn-l,
où col(ci,r) est la colongueur de Pidéal (ci,r) C k[b^,c^^.
Preuve.— On a P = a^l,^) = <Ç(6i,ci), où Q est
un polynôme de degré total <, 3m. Comme ci ne divise pas Q, on a
œl(ci,Ç(6i,ci)) =col(ci,Ç(6i,0)) ^col^i,^) = 3m.
Supposons le lemme faux, alors, pour un P, col(P(l, 61, £), Ci) = 3m,
P(Ui^) = A^modci^i, A e k\ Donc : P(l^,^)x= XÇ^ +
Eo^j^m-i^)'7^ où P] ^ ^[^i] est de degré au plus m-j. En substituant
^ d-^-^, on a : P(l,6i, ^) = ̂ (-ir^+m^-^+^modci^,
où P ' e k[b^ est de degré ^ 3m - 2, comme m 7^ 0, on a une contradiction.
Rappelons que la caractéristique de k est nulle.
LEMME 2. — Pour tout j, 0 < j < 3m-l, il existe un polynôme
P3^ € k[x, y , z] homogène de degré m tel que
^,^1(1,61, -) = 7j,yn^imodciJ?i,
avec 7^ e A;[6i] et 7j,m(0) 7^ 0.
Preuve. — Prouvons ce lemme par récurrence sur m. Dans le cas
m = 1, il suffit de prendre ?o,i = x, Pi,i = y , P^i = z.
Passons au cas m > 2. On peut poser Po,^ = x^, P^ = x^^y et,
par récurrence sur m, pour 2 ^ j < 3m - 2, P^ = ^P^-2,m-i. Il n'y a
plus qu'à construire P^m-i.m-
Soit P l'unique combinaison linéaire P = ̂  + Em^Sm-^^^m,
a^ e À; telle que : multo[P(l, &i, ^)] modci^i > 3m-l. On'aP = y^ modz
et donc a;2^ + xy2 + î/3 ne divise pas P.
Par le lemme 1, on peut prendre P^m-i^m = P '
LEMME 3. — Dans le lemme 2 ci-dessus, on peut prendre Pj^ ç
k[x, y , z] de façon que in^P^) = 7^ (0)5^.
TOME 50 (2000), FASCICULE 1
108 V. COSSART, C. GALINDO ET 0. PILTANT
Preuve. — En effet, si ce n'est pas le cas, in^(P^) =Ar{tY^ \a,bB^C^
[S], th. 8.6, avec 96 + a < (n - 1)6 + a <, v{B{) = j <; 3m - 1 et donc
a < 3(m - 36) - 1 (la première inégalité est une conséquence de 10 < n,
c'est la première fois que nous utilisons cette hypothèse). On remplace alors
P^m par P^-E Âa^^+^+^S^m-a^O^P^rn-s^ une récurrence
simple sur u{P^rn) prouve l'assertion.
Preuve de ia proposition 1. — Montrons que le ^-espace vectoriel des
éléments de la forme
A-QOBi.Ci) - A^ ^ \a^C^ X^b^k
a^b^m
de gï^(R) C gr^(-Ri) = Â;[Ai,Bi,<7i] est inclus dans le Â;-espace vectoriel
engendré par les monômes A^B^C^ a < 3(m - 3b) - 1 ou a = 0, 3b = m.
Soit P <E k[x,y,z] homogène de degré m. P = a^P(l,b^ ^) = a^Ç(6i,ci),
où Q est un polynôme de degré total ^ 3m. Si ci ne divise pas Q, on a
in,(P) = Amin,(P(l, 61, ^)) =A^^ \a,bB^ avec 96+a ^ (n- l)6+a =
z/(P) < 3m — 1. Si ci divise Q, on se ramène au cas précédent en divisant
P par la plus grande puissance possible de C.
Montrons l'inclusion inverse. Dans le cas m=l, on remarque que
m^(x) = Ai, m^(y) = Ai^i, in^(z) = Ai^. Dans le cas m ^ 2, si
a <^ 3(m—36)—l ou a = 0, 3b = 772, on a
A^B^ = in^rn-sbW-1?^^^).
PROPOSITION 2. — Le système Ai, Ai^i, A^Gi, Ai^, A^B^
A^Bf, Af^i11,.... A^P^-1,... est un système mimmai de g-enerateurs
de la k-algèbre gr^(R) C gr^(J?i) = A; [Ai, Bi, Ci]. EJI particulier, gT^(R)
n'est pas noethérien.
Preuve. — Prouvons que ce système est générateur.
Dans le cas où a > 3, définissons a' e N et q e N - {0} par :
a = (3q - 1) + a', 0 ^ a' ^ 2. On a alors
A^C? = (A^Ci^A^39-1^-9-3^),
la condition a < 3(m - 3&) - 1 est équivalente à a' ^ 3(m - q - 3b). On se
ramène donc à étudier les cas a = 0,1, 2. Dans le cas a = 0, on a m — 36 ^ 0
et
A^Cf = (A^i)^-36,
qui est engendré par le système de générateurs de l'énoncé.
ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER
GRADUÉ NON NOETHÉRIEN ASSOCIÉ À UNE VALUATION DIVISORIELLE 109
Dans les cas a = 1 ou a = 2, on a
A^Cf = (AlB^A^i)^-36-1,
en remarquant que la condition a <: 3 (m — 36) — 1 implique 0 < m — 36.
Montrons que le système est minimal. On se convainc qu'il suffit de
montrer que, pour tout p > 0, le monôme A^B^' n'est pas dans la k-
algèbre engendrée par les monômes
Ai.AiBi.Afd.A^B^-1, m<p.
Mais tout élément de l'algèbre ainsi engendrée est un polynôme P =
Ep/^c^p-i^eN^^fC? et donc ne P^ être A^B^"1.
PROPOSITION 3. — La série de Poincaré de gr^(J?) est une fraction
rationnelle.
Preuve. — Notons gr^(J?)o; la composante homogène de degré a ç N
de gï^(R) pour sa graduation définie par le groupe de valeurs de v et
da la dimension du À:-espace vectoriel gr^(J?)o;. On définit 7 et a par :
7 = n — 1 > 9 et a = 47 = 4n — 4. Il y a une injection naturelle des k-
espaces vectoriels gï^(R)a —> gr^(J?)a+a qui consiste à multiplier par A^(7i,
c'est-à-dire par m^(x2z 4- xy2 + y3). On définit €a par : da+a = da + Ça.
Posons a = aq + r, 0 ^ r < a — 1, g, r € N. On vérifie que
e ^ ^ ç + 1 si 0 ^ r ^ 7 - l ,
ou 7+3 < r ^ 27- 1,
ou 2(7+3) < r ^ 37- 1,
ou 3(7+3) ^ r < 47- 1,
e^ = q + 2 sinon.
On en déduit aisément la rationalité de la série de Poincaré ̂ açN^^'
Remarquons que l'inégalité 3(7 + 3) < r < 47 — 1 n'a de sens que pour
7> 10.
Remarque 1. — Dans le cas où 1 ̂  n < 9, gr^(jR) = ©^a/^a+i est
noethérien.
Donnons une esquisse de preuve. Notons Sn le transformé strict dans
Xn du plan projectif P2 qui est le diviseur exceptionnel de X\ —> Xo,
comme n < 9, Sn est obtenu à partir de P2 par au plus 8 éclatements de
points fermés, Sn est une surface de Del Pezzo dégénérée^ on peut déduire
de [D], [GP] et [Z] que : Panneau des sections de Sn, 1 ̂  n <^ 9
® H\L)
LePic (5n)
TOME 50 (2000), FASCICULE 1
110 V. COSSART, C. GALINDO ET 0. PILTANT
est noethérien.
Il s'agit d'un résultat non publié de L. Gruson. Donnons quelques
indications de preuve.
1.1. — On remarque d'abord que tout diviseur effectif C e Pic(Sn)
se décompose en C = C' (g) C" avec C!' sans courbe base et /i°(£') = 1. On
prend pour £,' le fibre correspondant à la composante fixe de C, le fibre C"
a au plus des points bases : il est numériquement effectif. Le premier point
à prouver est que C," est sans point base.
• On montre ensuite que le semi-groupe NEF des fibres numérique-
ment effectifs est engendré par les cubiques spéciales, les coniques spéciales
(passant par x^ 1 ̂  i < 4.) , les droites générales et les droites passant par
x\. On obtient ce résultat par une récurrence décroissante sur mi-h- • -+m^,
en tensorisant par les duaux des générateurs proposés et en se fondant sur
le fait que si un fibre C est numériquement effectif, sa suite de multiplicités
(^,mi, • • • ,rr^_i) vérifie mi > m^ > • ' • ^ rrin-i et 6 > mi + 7722 + m^
[GP], p. 412 ou [H], p. 405-406.
• On remarque que le diviseur associé à une section décomposée
réduite d'un fibre numériquement effectif C est connexe. En effet, soit il
s'agit de l'image inverse d'une droite ou d'une conique, soit ce diviseur
contient une cubique qui rencontre toutes les sections des fibres générateurs
de NEF.
• Soit D un tel diviseur, on a donc H°(OD) = k^ de la suite exacte
de cohomologie :
H°(OsJ = k -^ H\OD) = k -^ H\Os^-D)) —> H\OsJ = 0
associée à la suite exacte :
0 -^ Os^-D) -^ Os^ —. OD -^ 0,
on déduit que H^C) = H^OS^Ç-D)) = 0.
• Remarquons que tout fibre numériquement effectif C est engendré
par ses sections globales : c'est clair pour les générateurs et donc pour tous
les autres.
1.2. — D'après [Z], théorème 4.2, p. 571, l'anneau
S := 9 H°(L)
Lç Pic (5'n), L engendré par ses sections globales
est noethérien.
ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER
GRADUÉ NON NOETHÉRIEN ASSOCIÉ À UNE VALUATION DIVISORIELLE 111
• Sachant que les fibres C avec h°(jC) == 1 sont engendrés par les fibres
correspondant aux composantes du diviseur exceptionnel de Sni Panneau
des sections de Sn, 1 < n <. 9
S := 9 H°(L)
LçPic(6'n)
est noethérien.
1.3. Fin de la preuve de la remarque 1. — Notons TT l'application
Sn —^ P2. L'image de l'application
If°(7r,(7r*(0p2(m)) 0 Os^-a^ - • . • - a,<)))
——H°(0^(m))=k[x^^}m
induite par l'isomorphisme
^°(7r,(7r*((9p2(m)))) ^ H\0^(m)} = k[x^z}^
est l'ensemble des polynômes homogènes de degré m et de valuation Ei-
adique supérieure ou égale à a^, 2 ^ 2 < n, où £'2 U • • • U En est le diviseur
exceptionnel réduit de Xn —^ X]_ et E[ == ^ H X^, 2 < i < n . Donc
l'image de
(3) ^°(7r*(0p2(m)) ̂  0(-a2^ - • • • - a,E,))
771,02 ;'" »0n— 1 .̂ •T .̂
——^^^[^^^Im = Â;[a;^,2;]
m
est l'idéal Za^ = {P ç Â;[a;,^/,2;]|^(P) > a^}. On a donc une surjection
naturelle
9 H°(L)-^^I^.
LePic (5n) anGN
II suffit alors de remarquer que gr^(J?) est un quotient de Q^ ç^îa^-
Remarque 2. — II existe d'autres exemples de valuations divi-
sorielles sur des anneaux locaux normaux dont les gradués ne sont pas
noethériens, dans [CS], ex. 6, p. 557, on trouvera un anneau dont le gradué
associé a une fonction de Hilbert dont le comportement à l'infini implique
la non-noetherianité. L'originalité de l'exemple construit ici est, outre son
effectivité et sa simplicité, que la valuation utilisée est divisorielle à support
fini au sens de [L].
Remarque 3. — Le cône caractéristique de la surface 6'io n'est pas
polyhédral rationnel [CGS]. C'est en étudiant l'anneau des sections de 5'io
(cf. remarque 1, 1.2 (1)) que nous est venu l'idée de cet exemple.
TOME 50 (2000), FASCICULE 1
112 V. COSSART, C. GALINDO ET 0. PILTANT
BIBLIOGRAPHIE
[CGS] A. CAMPILLO, G. GONZÂLEZ-SPRINBERG, On Characteristic cônes, clusters and
chains of infmitely near points, Singularities (Oberwolfach 1996) Progr. Math.,
162, Birkhàuser, Basel (1998), 173-189.
[CS] D. CUTKOSKY, V. SRINIVAS, On a problem of Zariski on dimensions of linear
Systems, Ann. Math., 137 (1993), 531-559.
[D] M. DEMAZURE, Exposés sur les surfaces de Del Pezzo, Lect. Notes Math., 777
(1976), 21-70.
[Gô] H. GÔHNER, Semifactoriality and Muhly's condition (N) in two dimensional local
rings, Jour. of Algebra, 34 (1975), 403-429.
[GP] L. GRUSON, G. PESKINE, Genre des courbes de l'espace projectif (II), Ann. Scient.
Éc. Norm. Sup., 4e série, 15 (1982), 401-429.
[H] R. HARTSHORNE, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer-
Verlag (1977).
[L] J. LIPMAN, On complète ideals in regular local rings, Algebraic Geometry and
Commutative Algebra in honor of M. Nagata (1988), 203-231.
[S] M. SPIVAKOVSKY, Valuations in function fieids of surfaces, Amer. Jour. Math., 112
(1990), 107-156.
[Z] 0. ZARISKI, Thé theorem of Riemann-Roch for high multiples of an effective divisor
on an algebraic surface, Ann. Math., 76 n°3 (November 1962), 560-615.
Manuscrit reçu le 27 mai 1999,
accepté le 8 septembre 1999.
V. COSSART,
Université de Versailles
Laboratoire E.P. 1755
45, avenue des États-Unis
78035 Versailles Cedex (France).
cossart@math.uvsq.fr
C. GALINDO,
Universidad Jaume 1
Depto. de Matematicas
Campus Riu Sec
12071 Castellôn (Spain)
galindo@mat.uji.es
0. PILTANT,
Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques
91128 Palaiseau Cedex (France).
piltant@math.polytechnique.fr
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Kaliman, Shulim

Zaidenberg, Mikhail

Miyanishi's characterization of the affine 3-space does not hold in higher dimensions

Gorelik, Maria

On the ghost centre of Lie superalgebras

Lassalle, Michel

Quelques valeurs prises par les polynômes de Macdonald décalés

Novikov, Dmitri

Yakovenko, Sergei

Trajectories of polynomial vector fields and ascending chains of polynomial ideals

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