Annales de l’institut Fourier (AIF)

Aluffi, Paoli

Faber, Carel

Plane curves with small linear orbits, I

Mathieu, Olivier

Classification of irreducible weight modules

Voisin, Claire

On the Hilbert scheme of points of an almost complex fourfold

Boutabaa, Abdelbaki

Escassut, Alain

Applications of the $p$-adic Nevanlinna theory to functional equations

Bessières, Laurent

Sur le volume minimal des variétés ouvertes

Ma, Xiaonan

Submersions and equivariant Quillen metrics

Tenenbaum, Gérald

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
GÉRALD TENENBAUM
Sur un problème extrémal en arithmétique
Annales de l’institut Fourier, tome 50, no 1 (2000), p. 317-319
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
50, 1 (2000), 317-319
CORRIGENDUM
SUR UN PROBLÈME EXTRÉMAL EN ARITHMÉTIQUE
par Gérald TENENBAUM
Article paru dans le tome 37 (1987), fascicule 2, pp. 1-18
La preuve du lemme 3 est inexacte car la formule (18)* ne découle
pas de ce qui précède. On peut rectifier la démonstration du théorème 3 en
remplaçant le lemme 3 par l'énoncé suivant.
LEMME 3'. — Soit ci > 0. Pour chaque e e]0,1[, il existe un entier
M)(CI^) tel que, pour tout entier N > 7Vo(ci,^) satisfaisant à
(16) c^(7v) >x/(\ogx)cl^l-£
avec x := P^~(N), et pour tout nombre réel i9 tel que
(0.1) (loga;)01-^2 ^ |^| ^ exp^loga:)3/2-5},
oïl ait
(17) ^ll^logpll^^TV)3/^)2.
p\N
Avant d'établir ce résultat, montrons comment il peut être utilisé
pour prouver le théorème 3.
Page 17, on remplace la minoration de (^(7V,i9) pour î9 e (^4) par
(toujours avec x := P^TV))
y(N^) ̂  ̂  | ̂ logp|2 ^ ^(TV)3/^)2.
p\N
* Ici et dans toute la suite, les numéros d'équation simples renvoient à ceux de l'article
original, ceux du présent corrigendum étant de la forme (0-n).
318 GÉRALD TENENBAUM
Cela implique
|J4| ^ 2exp {(loga;)3/2 - ̂ (AT)3/^)2} « exp {- ̂ (N)3/^)2},
puisque w(NY/x2 » ^/(loga;)301 d'après l'hypothèse (Wl). De (26), on
obtient alors l'estimation requise74 ̂ (^y
Démonstration du lemme 3'. — Soit S^(-ï9) la somme à minorer. On
a, pour chaque entier K ^ 2,
(0-2) ^) ̂  ^{^(Tv)-r^(^)}
avec
T^,i9):= ^ l.
p^x
\\^\ogp^l/K
On majore TK^X,^) en notant que
, ^ /7rsin7rjf?/\2 7r2 v-^ / |A;|\
1 ̂  (ïKs^) = 4K ̂  (1 - V) cos(27^^) (11^11 ^ 1/^)-
II suit
(0.3) ^^(^)^{7^(-^+ sup |7r(^27r^)|l
4 l A i^fc<x >1
où l'on a posé
7r(^r) :=^p^T.
p^a;
Le lemme 2 fournit facilement par sommation (TAbel que
(0.4) 7^^T)=7^(x)-^h+o(^}}+0(xe-^^£/2)
1 + zr {- \ log x ) ) v /
uniformément pour x ^ 2, |r| ^ e^^^)372"". Choisissons
^ := [À7r(^)/^(7V)] + 1,
où A est une constante numérique que nous préciserons plus loin. Comme
uj{N) ^ 7r(.r), on a
(0.5) \7r{x)/uj(N) < K ^ (A + l)7r(:r)/o;(AO < (loga:)^-^
En reportant dans (0.3) et en tenant compte de la condition (0.1), on voit
que
3
TK(X,^)^ {l+o(i)}_^(AT)
ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER
SUR UN PROBLÈME EXTRÉMAL EN ARITHMÉTIQUE 319
lorsque x —> oo. En reportant dans (0-2), il suit
^(lÏWÎ1-^1)}.
On obtient le résultat indiqué en choisissant À :== jpr2 et en remarquant
que, pour cette valeur,
1 r TT2-! 1 ^_
(A+l) 2 ! 4AJ 3(A+1)2 > 67<
Nous saisissons l'occasion pour mentionner également une coquille
dans l'énoncé du théorème 4, où il faut lire d < z(l -\- exp-j^logA;)^}) à
l'antépénultième ligne.
Gérald TENENBAUM,
Institut Elie Cartan
Université Henri Poincaré—Nancy 1
BP 239
54506 Vandœuvre Cedex (France).
tenenb@ciril.fr
TOME 50 (2000), FASCICULE 1


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Lempert, László

Approximation of holomorphic functions of infinitely many variables II

Hacon, Christopher

Remarks on Seshadri constants of vector bundles

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