Annales de l’institut Fourier (AIF)

Hwang, Jun-Muk

Deformation of holomorphic maps onto Fano manifolds  of second and fourth Betti numbers 1

Banica, Teodor

Bichon, Julien

Chenevier, Gaëtan

Graphs having no quantum symmetry

Huber, Roland

A finiteness result for the compactly supported cohomology of rigid analytic varieties, II

Shastry, Sreekar M.

The Drinfeld Modular Jacobian $J_1(n)$ has connected fibers

Blais, François

Moussu, Robert

Sanz, Fernando

Solutions non oscillantes d’une équation différentielle et corps de Hardy

Evain, Laurent

Computing limit linear series with infinitesimal methods

Berger, Marcel

AN
N
A
L
E
S
D
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L’INSTI
T
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F
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ANNALES
DE
L’INSTITUT FOURIER
Marcel BERGER
Yves et Arthur : quelques souvenirs
Tome 57, no 7 (2007), p. 2083-2089.
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
57, 7 (2007) 2083-2089
YVES ET ARTHUR : QUELQUES SOUVENIRS
par Marcel BERGER
Le présent texte se veut sans prétention, tant scientifique qu’historique ;
il survole, et de façon certainement partiale, la partie de la carrière d’Yves
Colin de Verdière à laquelle j’ai été mêlé. C’est pour moi un bien agréable
clin d’oeil vers notre passé. Je me suis permis d’y glisser çà et là quelques
pensées personnelles, dont il est inutile de dire qu’elles n’engagent que moi.
Pour ne pas abuser du suspense j’informe de suite le lecteur non affranchi
que le Arthur dont il est question est le premier prénom d’Arthur Lancelot
Besse, “auteur” de plusieurs ouvrages collectifs, dont les deux principaux
sont “Manifolds all of whose Geodesics are Closed” (Springer 1978) et “Ein-
stein Manifolds” (Springer 1987).
Yves arrive à l’Université Paris VII comme assistant puis comme maître
assistant de 1968 à 1974. Sa formation consiste alors en un DEA d’Ana-
lyse obtenu avec Schwartz et Choquet. Il poursuit son désir de recherche
mathématique, mais alors encore dans une direction imprécise, en lisant
plusieurs textes de probabilités, entre autres des articles de Varadhan, et
du côté géométrique des textes de Smale sur les systèmes dynamiques. Il
est orphelin de bureau au début, car en effet tous les bureaux de mathéma-
tique en ces débuts de cette université étaient à l’Institut Henri Poincaré, et
donc, vu leur nombre epsilonesque, uniquement pour les professeurs. Mais
lorsque les mathématiques descendent de la colline au campus de Jussieu, il
partage alors un bureau avec Jacques Lafontaine. Sa motivation pour venir
en 1971 au séminaire de géométrie riemannienne de l’Université Paris VII
est au moins double : il est à la recherche d’un sujet de thèse d’État, et il
s’occupe en 1971 des TD de mon cours de géométrie différentielle.
2084 Marcel BERGER
En février 1972 Bérard Bergery raconte à Bourbaki le résultat de de
Heinz Huber (un résultat de 1959) : pour une surface compacte à cour-
bure constante négative (de telles surfaces ne sont autres que les formes
hyperboliques compactes) le spectre du laplacien détermine (et réciproque-
ment) le “spectre des longueurs”, c’est-à-dire l’ensemble des longueurs des
géodésiques périodiques. Ceci grâce à l’intermédiaire de Chern qui m’avait
signalé en 1969, ce résultat que j’ignorais complètement (mea culpa). En
outre Léon Green m’avait posé dans une lettre la question de l’isospectra-
lité pour les variétés riemanniennes compactes dès 1962. Étendre le résultat
de Huber en dimensions plus grandes, puis aux variétés riemanniennes gé-
nérales, était donc un challenge évident, mais il fallait vraiment faire du
nouveau. En effet d’une part, même dans le cas de la courbure constante, la
formule de Selberg nécessitait de connaître, outre les longueurs, l’holonomie
le long de ces géodésiques périodiques, holonomie qui est automatiquement
nulle en dimension deux. Enfin, dans la démonstration de Huber, la cour-
bure constante permettait d’avoir une formule explicite pour le noyau de
l’équation de la chaleur (rappelons que les géodésiques sont les bicaracté-
ristiques de l’équation de la chaleur).
Yves comme moi étions donc intéressés pas le sujet, il y avait pas mal de
choses dans l’air : le célèbre article de 1966 “Can you hear the shape of a
drum” de Kac, puis le contre-exemple de Milnor de 1964 à l’isospectralité,
c’est à dire sa découverte de deux tores riemanniens isospectraux mais qui
ne sont pas isométriques.
Intermezzo. En outre j’ai toujours été intéressé par les “questions na-
turelles”, mais voici l’occasion ici au Gromovolâtre que je suis, puisqu’il
est question de “questions naturelles”, de renvoyer à ce que Gromov dit
de telles questions dans “Spaces and Questions”, GAFA 2000, Visions in
Mathematics, Birkhäuser.
Toujours est-il que, je ne sais plus qui me l’avait signalé, mais en tout cas
je me retrouve possesseur d’un tiré à part d’un article de 1971 de Balian et
Bloch qui racontent des choses “analogues” à celles de Huber, mais pour
des domaines convexes à bord du plan et avec le style inimitable, tant pour
les définitions que pour les résultats, d’un grand nombre de physiciens
théoriciens. Je pose ce tiré à part sur la table à l’entrée du séminaire, et
Yves s’en empare de suite.
La suite est fulgurante. En moins de deux ans il casse la question, d’où
un doctorat d’État, et la publication dans Compositio Mathematica d’une
solution quasi-parfaite au problème, c’est à dire qu’il faut montrer que
le spectre du laplacien détermine le spectre des longueurs (i.e. l’ensemble
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
YVES ET ARTHUR : QUELQUES SOUVENIRS 2085
des longueurs des géodésiques périodiques) sur toute variété riemannienne
compacte (de dimension quelconque). Ceci nécessite une hypothèse de gé-
néricité, pour que déjà même la notion de spectre des longueurs ait un sens
(penser par exemple que certaines des géodésiques périodiques peuvent ar-
river en famille continue) . La notion de généricité pour les variétés rieman-
niennes est notion difficile, qui n’a été bien éclaircie que progressivement.
Voici maintenant brièvement ce qu’Yves démontre dans les deux ar-
ticles qui composent sa thèse d’État. Dans le premier il étudie le cas des
surfaces à courbure négative (à cela près quelconque, i.e. pas nécessaire-
ment constante). Ici la courbure négative entraîne que les longueurs des
géodésiques périodiques forment un ensemble discret. Donc la distribution
de Poisson qui leur est associée est raisonnable, et Yves la traite par son
innovation de base, utiliser les résultats dits de “la phase stationnaire”
pour étudier le noyau de l’équation de la chaleur, mais complexifié. C’est
typiquement ici que la lecture de Varadhan a inspiré Yves.
Pour être honnête je dois dire que je n’étais vraiment pas analyste, par
exemple c’était la première fois que j’entendais parler de cette “phase sta-
tionnaire”. La lecture de la thèse d’Yves m’a été très pénible, très difficile,
et je n’ai pas dominé complètement sa démonstration, contrairement à ma
morale qui était que pour le premier article d’un élève de thèse il faut ab-
solument vérifier complètement son travail, car les thèses fausses, ou même
seulement incomplètes, engendrent des drames dont peu se remettent, leur
nom gardant de façon quasi-indélébile ce stigma. Pour plus de détails sur
les démonstrations d’Yves, et les concepts d’analyse qui y entrent, je vous
renvoie au texte de Malgrange de ce fascicule.
Ce qui se passa à la suite de sa thèse ne fut pas sans quelques nuages, et
dans une comparaison avec la houle, Yves n’eut pas du tout le mal de mer
qui pouvait guetter dans ce genre de situations un tout jeune chercheur :
je m’explique. D’abord Yves raconte son résultat à Nice devant Chazarain,
qui lui simplifie les choses avec le langage des distributions, où les choses
deviennent une “formule de Poisson” pour les variétés riemanniennes. Un
peu plus grave est que, lors du symposium d’été d’un mois sur la géométrie
différentielle de l’AMS à Stanford en 1973, et alors que je raconte le contenu
de sa thèse lors d’un cycle de trois conférences sur le spectre, Duistermaat
et Guillemin annoncent dans un exposé qui a lieu à la suite des trois miens,
des résultats nettement plus forts que ceux d’Yves. En fait les choses sont
assez imbriquées, disons en bref d’abord que Duistermaat et Guillemin
travaillaient indépendamment sur le sujet, et que c’est à la suite de mes
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2086 Marcel BERGER
exposés sur les résultats d’Yves qu’ils ont découvert qu’ils travaillaient cha-
cun de leur côté sur un même sujet. Ces travaux, jusqu’alors indépendants,
avaient été pour chacun d’entre eux motivés par l’article d’Hörmander sur
la fonction spectrale. Mais il leur faudra deux bonnes années, soit en 1975,
avant qu’ils ne publient leurs recherches.
Mais comme vous le verrez amplement tout au long de cette semaine Yves
sut très vite élargir, considérablement élargir, son domaine de recherches,
de façon très arborescente comme le montre la liste de ses publications. Ce-
pendant je me risque à quelques mots brefs sur cet élargissement progressif
dans le domaine qu’est la “spectrologie” des variétés riemanniennes.
Une première question naturelle (sic) : peut-on préciser un aller et re-
tour global entre le spectre du laplacien et celui des longueurs, par exemple
associer une ou des valeurs du spectre du laplacien à telle ou telle géodé-
sique périodique ? C’est ce que faisait en 1973 Lazutkin pour les billards
convexes, il lançait la notion de “quasi-mode”. Précisément il montrait
que l’on pouvait à partir de certaines géodésiques périodiques trouver des
approximations des valeurs propres, mais pas de toutes. En 1977, Yves
démontre un résultat analogue pour les variétés riemanniennes.
Puis il s’attaque ensuite au problème, naturel toujours lui aussi, et en-
core béant aujourd’hui, des conditions nécessaires pour pouvoir construire
une variété riemannienne dont le spectre serait un sous-ensemble des réels
donné a priori, c’est à dire une suite de réels croissants (assortis éventuelle-
ment de multiplicités). Yves montre que l’on peut le faire avec un ensemble
fini seulement (mais aussi grand que l’on veut et avec des multiplicités
quelconques). Sauf pour les surfaces, car la méthode consiste à mettre des
résonateurs et ensuite les relier par des câbles, mais qui ne doivent pas
se rencontrer. D’où un problème concernant les graphes des surfaces. Ici
pour ce faire, Yves introduit un nouvel invariant, qu’il appelle “nombre
chromatique”, et ce sera pour lui un départ pour de travaux sur les réseaux
électriques. Toujours pour le spectre proprement dit, Yves fait faire un pro-
grès à la question (toujours ouverte si l’on veut une réponse complète) de
savoir si l’ergodicité du flot géodésique entraîne une bonne distribution des
fonctions propres du laplacien.
Cependant il manque dans cette liste un résultat, et non publié comme
on le verra de suite. Je m’explique, c’est ici que je justifie mon titre, car il
s’agit des relations d’Yves avec Arthur. Signalons cependant qu’Yves quitta
Paris très vite, puisque ce fut dès 1977 date à laquelle quand il fut nommé
professeur à Grenoble.
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
YVES ET ARTHUR : QUELQUES SOUVENIRS 2087
Cependant il collabora, avant de partir, à l’ouvrage d’Arthur Besse,
consacré aux “Variétés à géodésiques toutes périodiques” (Manifolds all
of whose Geodesics are Closed). Que le lecteur ne s’inquiète pas, la littéra-
ture mélange sans complexe pour les géodésiques les vocables “fermée” et
“périodique”. Quelques mots d’abord sur Arthur : l’étude de telles varié-
tés à géodésiques toutes périodiques, condition apparemment extrêmement
forte, mais qui reste fondamentalement ouverte, avait mobilisé pas mal de
séances du séminaire, car il y avait eu des progrès récents à propos de la
question : “les seules variétés ayant cette propriété, ultra forte, sont les
espaces symétriques compacts de rang un” (c’est Élie Cartan qui avait dé-
couvert dès 1928 cette jolie propriété des espaces symétriques compacts
de rang un). Comme ces résultats utilisaient pas mal de techniques venant
d’horizons variés, l’idée vint à Jean-Pierre Bourguignon de suggérer aux as-
sistants du séminaire de rédiger un ouvrage collectif sur ce thème. Pour le
préparer les participants du séminaire organisèrent en 1975 une table ronde
sur le sujet à Besse-en-Chandesse, mais ajoutèrent un deuxième sujet (de
géométrie algébrique) pour obtenir plus facilement la subvention deman-
dée au CNRS . “Table ronde” était alors le nom pour les petits congrès
subventionnés par le CNRS). Les éditions Springer acceptèrent de publier
(en 1978) cet ouvrage collectif, mais nous eûmes du mal à obtenir que les
noms explicites des auteurs ne figurassent pas sur la page de garde.
Dans ce premier ouvrage d’Arthur on trouve en haut à droite de la pre-
mière page de la préface un grimoire qui permet de connaître les institutions
académiques dont étaient membres les auteurs. Depuis la sortie de ce livre
j’ai toujours été surpris qu’aucun collègue ne m’ait jamais demandé, ni ce
que signifiait ce grimoire, ni l’analyse des sigles qui y sont cachés. Ni non
plus de décrypter l’introduction, signée collectivement mais en fait due à
Jean-Pierre. La signature elle aussi est cryptée. En échange les prénoms
Arthur et Lancelot proviennent évidemment des écrits sur les "Chevaliers
de la Table Ronde”. Je révèle aussi ici que, pour la préface de “Einstein
Manifolds” d’Arthur, personne de Besse ne réussit à concocter une préface
satisfaisante et contenant des allusions cryptées.
Mais les auteurs des contributions originales, toujours un peu soixante-
huitards, ne les publièrent pas séparément sous leur nom, malgré ma mise
en garde, et ce qui était au contraire la règle à Bourbaki. Ce n’était pas trop
grave pour leur carrière, car la France d’alors n’était pas encore soumise à
la “rat race”.
TOME 57 (2007), FASCICULE 7
2088 Marcel BERGER
Pour ce qui est de Bourbaki, ce n’est que plus tard que l’on appris que le
premier congrès de Bourbaki avait eu lieu effectivement à Besse-en Chan-
desse (et dans le même hôtel). Ce n’est que encore bien plus tard que Rein-
hold Remmert nous signala l’existence d’un mathématicien suisse appelé
Jean Besse (voir son article dans Comm. Math. Helvetici, “Sur le domaine
d’existence d’une fonction analytique”, volume 10 (1937-38)). D’autre part,
contrairement à ce que pas mal de géomètres différentiels croient, Arthur
n’a jamais voulu jouer le rôle d’un Bourbaki de la géométrie différentielle,
mais au contraire publier des ouvrages rassemblant des structures mathé-
matiques très variées, avec un but final commun.
Voici pour terminer quelques précisions sur contributions originales, et
non publiées ailleurs, par Yves à ce volume d’Arthur. Étant donné que
les symétriques compacts de rang un (siglés CROSSes chez Arthur) jouent
un rôle fondamental dans le sujet, c’était l’occasion de réécrire pas mal
de choses à leur sujet. Yves se chargea d’abord du calcul “exact” de leur
spectre, quelque chose de facile en théorie, mais en pratique les valeurs
explicites de la littérature étaient fausses. Ensuite les CROSSes sont des
variétés riemanniennes dites “harmoniques”, c’est à dire que leur mesure
(canonique) est isotrope. Ce qui est équivalent à la condition classique sur
la valeur moyenne des fonctions sur les sphères métriques. La conjecture de
Lichnerowicz était que les seules variétés harmoniques compactes sont les
CROSSes. La contribution originale d’Yves fut celle-ci : la condition d’har-
monicité, qui est infinitésimale, entraîne celle globale qui dit que le noyau
complet de l’équation de la chaleur est lui aussi isotrope (on parle d’espace
fortement harmonique). Ce résultat joua un rôle clef dans la démonstration
de Szabo en 1990 de la conjecture de Lichnerowicz.
Je signale enfin, pour terminer et comme une introduction aux textes de
Guillemin et de Duistermaat, que ces deux auteurs avaient démontré dans
leur papier cité plus haut de 1975, un résultat sur le spectre des variétés
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
YVES ET ARTHUR : QUELQUES SOUVENIRS 2089
dont toutes les géodésiques sont fermées. Yves, dans l’esprit posthume d’une
collaboration au livre d’Arthur, raffine considérablement leur résultat, dans
un papier de 1979. En voir les détails dans le texte de Victor dans ce même
fascicule.
Marcel BERGER
35 route de Chartres
91440 Bures-sur-Yvette (France)
mberger@ihes.fr
TOME 57 (2007), FASCICULE 7


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Graphs having no quantum symmetry

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Solutions non oscillantes d’une équation différentielle et corps de Hardy

Computing limit linear series with infinitesimal methods

Yves et Arthur : quelques souvenirs

Symplectic torus actions with coisotropic principal orbits

Riesz transforms on connected sums

Non-abelian extensions of infinite-dimensional Lie groups

3,503

3,732