Annales de l’institut Fourier (AIF)

Asano, Masahiro

A generalization of the reciprocity law of multiple Dedekind sums

Ørsted, Bent

Vargas, Jorge

A Cauchy Problem for Elliptic Invariant Differential Operators and Continuity of a generalized Berezin transform

Movasati, Hossein

Mixed Hodge structure of affine hypersurfaces

Guàrdia, Jordi

Jacobian Nullwerte, periods and symmetric equations for hyperelliptic curves

Wang, Xue Ping

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L’INSTI
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ANNALES
DE
L’INSTITUT FOURIER
Xue Ping WANG
Corrigendum to: Asymptotic expansion in time of the Schrödinger group on
conical manifolds
Tome 57, no 6 (2007), p. 2081-2082.
<http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_6_2081_0>
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cedram
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
57, 6 (2007) 2081-2082
CORRIGENDUM TO:
ASYMPTOTIC EXPANSION IN TIME OF THE
SCHRÖDINGER GROUP ON CONICAL MANIFOLDS
Vol. 56 (2006), no 6, p. 1903–1945
by Xue Ping WANG
Abstract. — We correct an error in the normalizing constant of resonant
states.
Résumé. — On corrige une erreur dans la constante de normalization des états
résonnants.
In the paper [1], there is an error in the normalization of resonant states
used in Theorem 4.6. The formula (4.28) on page 1925
|cςj |1/2
4ς2j
〈
V u
(l)
j ,−|x|
−n−22 +ςjϕ
(l′)
j
〉
= δll′ , 1 6 l, l′ 6 mj , 1 6 j 6 κ0,
is to be corrected as
(1) |cςj |1/2
〈
V u
(l)
j ,−|x|
−n−22 +ςjϕ
(l′)
j
〉
= δll′ , 1 6 l, l′ 6 mj , 1 6 j 6 κ0.
This error arises from a mistake in (4.32) of [1] for
Πr(z) = T (T −1D1(z)−1(T −1)∗)T ∗ :
Πr(z) =
κ0∑
j=1
(zςj )
−1
mj∑
l=1
4ς2j
cςj
〈
·, ψ(l)j
〉
ψ
(l)
j .
In fact, by the expression of D1(z) given in Proposition 4.4 of [1]
D1(z) =
 (c
′
ς1zς1)Im1 0
. . .
0 (c′ς1zςκ0 )Imκ0

Keywords: Resolvent expansion, threshold resonance.
Math. classification: 35P25, 47A40, 81U10.
2082 Xue Ping WANG
with c′ν = 4ν2cν , one can calculate that the correct formula for Πr(z) is
(2) Πr(z) =
κ0∑
j=1
(zςj )
−1
mj∑
l=1
1
4ς2j cςj
〈
·, ψ(l)j
〉
ψ
(l)
j .
The choice of u(l)j is then to be modified as
(3) u(l)j =
1
2ςj |cςj |1/2
ψ
(l)
j .
From the equation
〈
V ψ
(l)
j ,− 12ςj |y|
−n−22 +ςjϕ
(l′)
j
〉
= δll′ , one sees that u
(l)
j
satisfies the normalization condition (1). By (2), the leading term of con-
tribution of resonant states to the singularity of R(z) at z = 0 is
Πr(z) =
κ0∑
j=1
(
zςj
)−1
eiπςj
mj∑
l=1
〈
·, u(l)j
〉
u
(l)
j ,
as stated in Theorem 4.6. The rest of the proof of Theorem 4.6 remains
unchanged.
BIBLIOGRAPHY
[1] X. P. Wang, “Asymptotic expansion in time of the Schrödinger group on conical
manifolds”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006), no. 6, p. 1903-1945.
Xue Ping WANG
Université de Nantes
Laboratoire Jean Leray
UMR 6629 du CNRS
Département de Mathématiques
44322 Nantes Cedex 3 (France)
xue-ping.wang@math.univ-nantes.fr
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER


Corrigendum to: Asymptotic expansion in time of the Schrödinger group on conical manifolds

Sjöstrand, Johannes

Zworski, Maciej

Elementary linear algebra for advanced spectral problems

Lootgieter, Jean-Claude

Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$

Baladi, Viviane

Tsujii, Masato

Anisotropic Hölder and Sobolev spaces for hyperbolic diffeomorphisms

Battikh, Naoufel

AN
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ANNALES
DE
L’INSTITUT FOURIER
Naoufel BATTIKH
Relation entre les conjectures de Farrell-Jones en K-théories algébrique et
hermitienne
Tome 57, no 1 (2007), p. 197-207.
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
57, 1 (2007) 197-207
RELATION ENTRE LES CONJECTURES DE
FARRELL-JONES EN K-THÉORIES ALGÉBRIQUE ET
HERMITIENNE
par Naoufel BATTIKH
Résumé. — On montre que si la conjecture de Farrell-Jones en K-théorie algé-
brique est vérifiée alors celle de la K-théorie hermitienne est équivalente à l’exis-
tence d’un entier p ∈ Z tel que “assembly map” soit un isomorphisme en degré p
et p + 1.
Abstract. — We prove that if the Farrell-Jones conjecture for algebraic K-
theory is true then the same conjecture for hermitian K-theory is equivalent to the
fact that it exists p ∈ Z such that the assembly map is an isomorphism in degrees
p and p + 1.
1. Introduction
Soient A un anneau et G un groupe discret. Dans [6] et pour tout n ∈ Z,
Loday définit un morphisme de groupes
λn : hn (BG,KA) −→ Kn (AG)
couramment appelé “assembly map”. Les groupes d’homologie hn (BG,KA)
étant les groupes d’homotopie πn (BG+ ∧ KA) où KA est le spectre de K-
théorie algébrique de l’anneau A. D’une façon analogue et pour tout n ∈ Z,
on définit pour un anneau hermitien A, un morphisme de groupes
αn : hn (BG,LA) −→ Ln (AG)
où les groupes hn (BG,LA) sont les groupes d’homotopie πn (BG+ ∧ LA)
et LA est le spectre de K-théorie hermitienne associé à A. Dans [3] Farrell
Mots-clés : K-théorie algébrique, K-théorie hermitienne, conjectures de Farrell-Jones.
Classification math. : 19D99.
198 Naoufel BATTIKH
et Jones ont conjecturé que pour A = Z le morphisme λn est un isomor-
phisme pour tout n ∈ Z. Ils ont aussi conjecturé que si A = Z
[
1
2
]
, les
morphismes αn sont des isomorphismes. Dans cet article, on prouve que
si A est un anneau hermitien pour lequel la conjecture de Farrell-Jones est
vérifiée en K-théorie algébrique, celle de la K-théorie hermitienne est alors
équivalente à l’existence d’un entier relatif p, tel que αp et αp+1 soient des
isomorphismes.
2. Les spectres KA et LA
2.1. Définitions
Soit A un anneau. Pour tout n ∈ Z, on pose,
(KA)n =
{
Ω−n
(
K0 (A)×BGL (A)+
)
si n 6 0
K0 (SnA)×BGL (SnA)+ si n > 0
L’espace SnA étant la nième suspension algébrique de A. Loday montre
dans [6] que KA est un Ω-spectre et que pour tout n ∈ Z, on a
πn (KA) = Kn (A) : le nième groupe de K-théorie algébrique de A.
De même si A est un anneau hermitien, on pose pour tout n ∈ Z
(LA)n =
{
Ω−n
(
L0 (A)×BεO (A)+
)
si n 6 0
L0 (SnA)×BεO (SnA)+ si n > 0
où ε est un élément du centre de A tel que εε̄ = 1. Loday montre dans [6]
que LA est un Ω-spectre et que pour tout n ∈ Z,
πn (LA) =ε Ln (A) : le nième groupe de K-théorie hermitienne de A.
2.2. La structure multiplicative des spectres KA et LA
Si A et B sont deux anneaux, un isomorphisme
ϕ : Ap ⊗Bq −→ (A⊗B)pq
de A⊗B−modules permet par le produit tensoriel des matrices de définir
un morphisme de groupes
GLp (A)×GLq (B) −→ GLpq (A⊗B)
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
RELATION ENTRE LES CONJECTURES DE FARRELL-JONES 199
et donc une application continue
γ : BGL (A)+ ×BGL (B)+ −→ BGL (A⊗B)+
bien définie à homotopie faible près (cf. [6] pour plus de détails). D’autre
part, le produit tensoriel des modules définit un produit
K0 (A)×K0 (B) −→ K0 (A⊗B)
et on a alors la proposition suivante :
Proposition 2.1 ([6]). — Pour tous anneaux A et B, l’application
γ : BGL (SnA)+ ∧BGL (SmB)+ −→ BGL
(
Sn+m (A⊗B)
)+
s’étend à un accouplement de spectres
KA ∧ KB −→ KA⊗B
au sens de Whitehead [7].
3. “Assembly map”
3.1. “Assembly map” pour la K-théorie algébrique
Pour tout anneau A, le Ω−spectre KA définit une théorie d’homologie
généralisée de la catégorie des CW-complexes finis dans celles des groupes
abéliens (cf. [7]) et ce en posant, pour tout CW -complexe fini X,
hn (X,KA) = πn (X+ ∧ KA) .
Soient A un anneau et G un groupe discret. L’inclusion
j : G −→ GL (ZG)
induit l’application
j+ : BG −→ BGL (ZG)+
En composant j+ par l’application
BGL (ZG)+ −→ K0 (ZG)×BGL (ZG)+
x 7−→ (0, x)
on obtient l’application
BG −→ (KZG)0
qui nous permet d’énoncer la proposition suivante.
TOME 57 (2007), FASCICULE 1
200 Naoufel BATTIKH
Proposition 3.1 ([6]). — La composée
(KA)n ∧BG+ −→ (KA)n ∧ (KZG)0 −→ (KAG)n
définit un morphisme de spectres.
Ce morphisme de spectres induit par passages aux groupes d’homotopies
“l’assembly map” :
λn : hn (BG,KA) −→ Kn (AG)
3.2. “Assembly map” pour la K-théorie hermitienne
Soient A un anneau hermitien contenant 12 et G un groupe discret. L’an-
neau AG est muni de l’antiinvolution∑
aigi =
∑
aig
−1
i
De façon analogue à la K-théorie et en utilisant l’inclusion
G −→ε O (ZG)
g 7−→ ϕ
(
g 0
0 1
)
ϕ−1 où ϕ =
(
1
2
1
2
1 −1
)
on définit “l’assembly map” pour la K-théorie hermitienne
αn : hn (BG,LA) −→ε Ln (AG)
Ce qui nous permet d’énoncer les conjectures de Farrell et Jones :
Conjecture 3.2 ([2]). — Pour tout groupe G sans torsion les mor–
phismes
λn : hn (BG,KZ) −→ Kn (ZG) et αn : hn (BG,LZ′) −→ε Ln (Z ′G)
sont des isomorphismes pour tout n ∈ Z. (L’anneau Z ′ étant Z
[
1
2
]
).
Remarque 3.3 ([1]). — Cette conjecture de Farrell-Jones est fausse pour
un anneau quelconque puisque si on prend G = C : le groupe cyclique infini,
la formule de Bass-Heller-Swan [3] pour Kn (RC) = Kn
(
R
[
t, t−1
])
induit
que
Kn (RC) ' Kn−1 (R)⊕Kn (R)⊕NKn (R)⊕NKn (R)
où NKn (R) désigne le coker de l’inclusion Kn (R) −→ Kn (R [t]) qui n’est
pas nul en général. D’autre part et puisque S1 est un modèle de BC, on a
hn (BG,KA) ' Kn−1 (R)⊕Kn (R) .
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
RELATION ENTRE LES CONJECTURES DE FARRELL-JONES 201
4. Foncteur hyperbolique et foncteur oubli
4.1. Définition
Soit A un anneau hermitien. On notera P (A) la catégorie dont les objets
sont les A-modules projectifs de type fini et les morphismes sont les isomor-
phismes et on notera εQ (A) la catégorie dont les objets sont les A-modules
projectifs de type fini munis de forme ε-hermitienne et les morphismes sont
les isométries. Le foncteur “hyperbolique”
H : P (A) −→ε Q (A)
est le foncteur qui à tout A-module M associe H (M) = M⊕ tM (tM
étant le dual de M) qu’on munit de la forme ε-hermitienne associée à
l’isomorphisme
Θ : M ⊕t M −→t
(
M ⊕t M
)
't M ⊕M
définie par la matrice suivante (
0 1
ε 0
)
A tout isomorphisme f : M −→ N, on associe l’isométrie
H (f) : H (M) −→ H (N)
définie par la matrice (
f 0
0 tf−1
)
Ce foncteur induit une application
K0 (A) −→ε L0 (A)
D’autre part, on a un morphisme de groupes
GLr (A) −→ε Or,r (A)
défini par la correspondance
M −→
(
M 0
0 tM
−1
)
qui induit après passage aux limites inductives le morphisme
GL (A) −→ε O (A)
d’où l’application
(KA)0 −→ (LA)0
TOME 57 (2007), FASCICULE 1
202 Naoufel BATTIKH
On notera εU (A) la fibre homotopique de cette application. Le foncteur
“oubli”
F : εQ (A) −→ P (A)
est le foncteur induit par les inclusions des objets et des morphismes. Ce
foncteur induit une application
εL0 (A) −→ K0 (A)
D’autre part, l’inclusion naturelle de εOr,r (A) dans GL2r (A) induit, par
passage aux limites inductives le morphisme
εO (A) −→ GL (A)
d’où l’application
(LA)0 −→ (KA)0
On notera εV (A) la fibre homotopique de cette application. Ceci nous
amène à énoncer le théorème suivant qui est dû à Karoubi.
Théorème 4.1 ([5]). — Soit A un anneau hermitien contenant un élé-
ment λ dans son centre vérifiant λ + λ̄ = 1 (cette condition est satisfaite
si 12 ∈ A). Il existe alors une équivalence d’homotopie naturelle entre les
espaces ΩεU (A) et −εV (A) .
Pour tout n > 0 on pose εUn (A) = πn (εU (A)) et εVn (A) = πn (εV (A)) .
Pour n 6 0 on pose, εUn (A) = εU0 (S−nA) et εVn (A) = εV0 (S−nA) .
Pour tout n ∈ Z on aura alors
εUn+1 (A) '−ε Vn (A) .
On aura aussi les longues suites exactes suivantes
· · · −→Kn+1(A)−→ε Vn(A)−→ε Ln(A)−→ Kn(A) −→ε Vn−1(A) −→· · ·
· · ·−→ε Ln+1(A)−→ε Un(A)−→ Kn(A)−→ε Ln(A)−→ε Un−1(A)−→· · ·
5. Relation entre les conjectures de Farrell-Jones
5.1. Les spectres εUA et εVA.
Soit A un anneau hermitien. Pour tout n ∈ Z, on notera (εUA)n la fibre
homotopique de l’application (KA)n −→ (εLA)n induite par le foncteur
hyperbolique. De même on notera (εVA)n la fibre homotopique de l’appli-
cation (εLA)n −→ (KA)n induite par le foncteur oubli et on a le lemme
suivant.
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
RELATION ENTRE LES CONJECTURES DE FARRELL-JONES 203
Lemme 5.1. — Pour tout anneau hermitien contenant 12 les suites d’es-
paces (εUA)∗ et (εVA)∗ sont des Ω−spectres et pour tout n ∈ Z, on a
Ω (εUA)n ' (−εVA)n
Démonstration. —
Les applications S1∧(εUA)n −→ (εUA)n+1 et S1∧(εVA)n −→ (εVA)n+1
sont induites par les diagrammes suivant
S1 ∧ (εUA)n −→ S
1 ∧ (KA)n −→ S
1 ∧ (εLA)ny y
(εUA)n+1 −→ (KA)n+1 −→ (εLA)n+1
S1 ∧ (εVA)n −→ S
1 ∧ (εLA)n −→ S
1 ∧ (KA)ny y
(εVA)n+1 −→ (εLA)n+1 −→ (KA)n+1
Ce qui induit que leur adjointes sont des équivalences d’homotopies. Ensuite
pour tout n ∈ Z, on a
(εVA)n =
{
Ω−n (εV (A)) si n 6 0
εV (SnA) si n > 0
et
(εUA)n =
{
Ω−n (εU (A)) si n 6 0
εU (SnA) si n > 0
d’où le fait que pour tout n ∈ Z,
Ω (εUA)n ' (−εVA)n

Théorème 5.2. — Soit A un anneau hermitien, contenant 12 , pour le-
quel la conjecture de Farrell-Jones est vraie en K-théorie algébrique. Celle
de la K-théorie hermitienne est alors équivalente à l’existence d’un entier
n ∈ Z tel que αn et αn−1 soient des isomorphismes.
Démonstration. — Pour tout n ∈ Z, on a les diagrammes de suites
exactes suivants :
· · · →hn(BG,ε UA)→hn(BG,KA)→hn(BG,ε LA)→hn−1(BG,ε UA)→ · · ·
↓ λn ↓ αn ↓ ↓
· · · → εUn(AG) → Kn(AG) → εLn(AG) → εUn−1(AG) → · · ·
TOME 57 (2007), FASCICULE 1
204 Naoufel BATTIKH
· · · →hn(BG,εVA)→hn(BG,εLA)→hn(BG,KA)→hn−1(BG,εVA)→ · · ·
↓ αn ↓ λn ↓ ↓
· · · → εVn(AG) → εLn(AG) → Kn(AG) → εVn−1(AG) → · · ·
Supposons donc que la conjecture soit vraie en K-théorie algébrique et que
αn−1 et αn soient des isomorphismes. On a alors le diagramme suivant
· · · →hn(BG,εLA)→ hn(BG,KA) →hn−1(BG,εVA) · · ·
o ↓ o ↓ ↓
· · · → εLn(AG) → Kn(AG) → εVn−1(AG) · · ·
→hn−1(BG,εLA)→ hn−1(BG,KA) →
o ↓ o ↓
→ εLn−1(AG) → Kn−1(AG) →
Ce diagramme montre que le morphisme suivant
hn−1 (BG,ε VA) −→ε Vn−1 (AG)
est un isomorphisme. Par conséquent le morphisme
hn (BG,ε UA) −→ε Un (AG)
est aussi un isomorphisme. Du diagramme
→hn+1(BG,KA)→hn+1(BG,ε LA)→hn(BG,ε UA)→hn(BG,εKA)→
o ↓ ↓ o ↓ o ↓
→ Kn+1(AG) → εLn+1(AG) → εUn(AG) → Kn(AG) →
on déduit que le morphisme
hn+1 (BG,ε LA) −→ε Ln+1 (AG)
est surjectif. Considérons alors le diagramme suivant
· · · −→hn+1(BG,εLA)−→hn+1(BG,KA)−→hn(BG,εVA) · · ·
o ↓ o ↓ ↓
· · · −→ εLn+1(AG) −→ Kn+1(AG) −→ εVn(AG) · · ·
−→ hn(BG,εLA) −→ hn(BG,KA) −→
o ↓ o ↓
−→ εLn(AG) −→ Kn(AG) −→
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
RELATION ENTRE LES CONJECTURES DE FARRELL-JONES 205
Ce diagramme montre que le morphisme
hn (BG,ε VA) −→ε Vn (AG)
est un isomorphisme. D’où le morphisme
hn+1 (BG,ε UA) −→ε Un+1 (AG)
est aussi un isomorphisme. Soit enfin, le diagramme suivant
· · · −→hn+1(BG,εUA)−→hn+1(BG,KA)−→hn+1(BG,εLA) · · ·
o ↓ o ↓ ↓
· · · −→ εUn+1(AG) −→ Kn+1(AG) −→ εLn+1(AG) · · ·
−→ hn(BG,εUA) −→ hn(BG,KA) −→
o ↓ o ↓
−→ εUn(AG) −→ Kn(AG) −→
Ce diagramme prouve que le morphisme
αn+1 : hn+1 (BG,ε LA) −→ε Ln+1 (AG)
est un isomorphisme. D’un autre côté, le diagramme suivant
· · · −→hn(BG,KA)−→ hn(BG,εLA) −→hn−1(BG,εUA) · · ·
o ↓ o ↓ ↓
· · · −→ Kn(AG) −→ εLn(AG) −→ εUn−1(AG) · · ·
−→hn−1(BG,KA)−→ hn−1(BG,εLA)−→
o ↓ o ↓
−→ Kn−1(AG) −→ εLn−1(AG) −→
montre que le morphisme
hn−1 (BG,ε UA) −→ε Un−1 (AG)
est un isomorphisme. Ce qui implique que le morphisme
hn−2 (BG,ε VA) −→ε Vn−2 (AG)
l’est aussi. Ensuite le diagramme suivant
→hn−1(BG,KA)→hn−2(BG,εVA)→hn−2(BG,ε LA)→hn−2(BG,KA)→
↓ λn ↓ αn ↓ ↓
→ Kn(AG) → εVn−2(AG) → εLn−2(AG) → Kn−2(AG) →
TOME 57 (2007), FASCICULE 1
206 Naoufel BATTIKH
montre que le morphisme
hn−2 (BG,ε LA) −→ εLn−2 (AG)
est injectif. Considérons alors le diagramme suivant
· · · −→hn−1(BG,KA)−→hn−1(BG,ε LA)−→ hn−2(BG,ε UA) · · ·
o ↓ o ↓ ↓
· · · −→ Kn−1(AG) −→ εLn−1(AG) −→ εUn−2(AG) · · ·
−→ hn−2(BG,KA)−→hn−2(BG,ε LA) −→
o ↓ ↓
−→ Kn−2(AG) −→ εLn−2(AG) −→
On en déduit que le morphisme
hn−2 (BG,ε UA) −→ε Un−2 (AG)
est un isomorphisme. Par conséquent le morphisme
hn−3 (BG,ε VA) −→ε Vn−3 (AG)
l’est aussi. Soit enfin le diagramme suivant
· · · −→hn−1(BG,KA)−→hn−2(BG,εVA)−→hn−2(BG,εLA) · · ·
o ↓ o ↓ ↓
· · · −→ Kn−1(AG) −→ εVn−2(AG) −→ εLn−2(AG) · · ·
−→hn−2(BG,KA)−→ hn−3(BG,εVA) −→
o ↓ o ↓
−→ Kn−2(AG) −→ εVn−3(AG) −→
Ce diagramme montre que le morphisme
αn−2 : hn−2 (BG,ε LA) −→ε Ln−2 (AG)
est un isomorphisme. 
Remarque 5.3. — D’une façon analogue, on peut montrer l’équivalent
du théorème 5.4 pour les conjectures de Novikov [4] en K-théories algé-
brique et hermitienne.
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
RELATION ENTRE LES CONJECTURES DE FARRELL-JONES 207
BIBLIOGRAPHIE
[1] A. Bartels & H. Reich, « On the Farrell-Jones conjectures for higher algebraic
K-theory », Preprintreihe SFB, 2003.
[2] F. T. Farrell & L. Jones, « Isomorphism conjectures in algebraic K-theory », J.
Amer, Math. Soc. 6 (1993), no 2, p. 249-297.
[3] A. H. H. Bass & R. G. Swan, « The whitehead group of polynomial extension »,
Inst. hautes études sci. 22 (1964), p. 61-79.
[4] W. C. Hsiang, Borel’s conjecture, Novikov’s conjecture and the K-theoritic ana-
logue, World scientific book, Singapour, 1989.
[5] M. Karoubi, « Le théorème fondamental de la K-théorie hermitienne », Annals of
mathematics 112 (1980), p. 259-282.
[6] J.-L. Loday, « K-théorie algébrique et représentation de groupes », Ann. Sci. Ecole
Normale Sup. Sér. 4 9 (1976), no 3, p. 309-377.
[7] G. W. Whitehead, « Generalised homology theories », Trans. A. M. S 102 (1962),
p. 227-283.
Manuscrit reçu le 9 novembre 2005,
révisé le 3 mars 2006,
accepté le 23 mars 2006.
Naoufel BATTIKH
Institut préparatoire aux études d’ingénieurs de
Nabeul
Campus universitaire
Merazka, 8000 Nabeul (Tunisie)
naoufelbattikh@yahoo.fr
TOME 57 (2007), FASCICULE 1


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