Annales de l’institut Fourier (AIF)

Kiming, Ian

New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms

Malgrange, Bernard

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L’INSTI
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ANNALES
DE
L’INSTITUT FOURIER
Bernard MALGRANGE
Les premiers travaux d’Yves Colin de Verdière
Tome 57, no 7 (2007), p. 2091-2094.
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
57, 7 (2007) 2091-2094
LES PREMIERS TRAVAUX D’YVES COLIN DE
VERDIÈRE
par Bernard MALGRANGE
J’ai fait la connaissance d’Yves en juin 1964. Il était alors candidat à
l’École normale supérieure, et j’étais l’un des deux examinateurs de mathé-
matiques, l’autre étant Jacques-Louis Lions. J’ai perdu depuis mes cahiers
d’interrogations et je ne me souviens plus des questions que je lui avait
posées ; il m’a dit qu’il s’agissait de continuité des racines d’une équation
algébrique, et que cela lui avait paru difficile. En tout cas, il fut reçu.
Je crois bien que je n’entendis plus parler de lui pendant assez longtemps ;
je me rappelle toutefois avoir demandé à Henri Cartan, qui était alors
directeur des études de mathématiques à Normale, ce qu’il pensait des
recrues de l’année précédente, celles que j’avais examinées. Il me cita Yves
Colin de Verdière parmi les plus prometteuses.
J’en entendis parler à nouveau beaucoup plus tard ; cela devait être en
1972. J’étais alors membre du Comité consultatif des universités. En cette
qualité, j’eus à rapporter sur la candidature d’Yves à la liste d’aptitude
aux fonctions de maître de conférences (on dit aujourd’hui, je crois “liste de
qualification aux fonctions de professeur”). À l’appui de sa demande figurait
sa thèse “Spectre du laplacien et longueurs des géodésiques périodiques”
qui a fait l’objet des deux articles parus en 1973 à Compositio Mathematica.
Inutile de dire que je fus extrêmement impressionné par ce travail, qui est
un véritable tour de force.
J’aimerais en parler un peu aujourd’hui au début de ce colloque, en
faisant mes excuses à l’auditoire : beaucoup de personnes, ici, sont bien
plus compétentes que moi sur ce sujet, et sur les formules de trace en
général. Mais il sera certainement beaucoup question de ce sujet dans ce
colloque, alors autant commencer dès maintenant.
2092 Bernard MALGRANGE
Les résultats d’Yves sont, je crois, historiquement, les premiers résultats
mathématiques de caractère tout à fait général sur le sujet “Spectre du
laplacien et spectre des longueurs”, lisez longueurs des géodésiques pério-
diques. Mais cela ne veut pas dire qu’ils tombaient du ciel sans préavis.
Il y a d’abord l’illustre ancêtre, la formule sommatoire de Poisson :∑
f(n) =
∑
f̂(2πn), f̂ la transformée de Fourier
∫
f(x)e−ixydx. Si l’on
considère les “n” du premier membre comme les racines carrées des valeurs
propres du laplacien d
2
dx2 sur le cercle R/2πZ et les “2πn” du second membre
comme les longueurs des courbes fermées sur le même cercle, cette formule
peut s’interpréter comme une relation de ce type. Il en va de même pour
la formule sommatoire de Poisson sur Rn muni d’un réseau. Mais j’imagine
que, si l’on avait pas eu d’autres exemples, personne n’aurait eu l’idée de
cette interprétation de la formule de Poisson, a priori un peu étrange.
Un résultat plus proche de celui d’Yves est donné par la formule des
traces de Selberg. À partir de cette formule, Huber avait pu montrer ceci :
sur une surface de Riemann compacte de courbure négative constante, le
spectre du laplacien détermine les longueurs des géodésiques périodiques.
Ce résultat est un cas particulier de ceux que prouvera Yves.
D’autre travaux qu’il faut signaler sont ceux de Balian et Bloch ; dans
une série de trois articles, parus en 1970 et 71 aux Annals of Physics, ces
auteurs étudient le spectre d’un problème aux limites dans une cavité, par
exemple le problème de Dirichlet pour le laplacien. Alors que la densité
des valeurs propres était connue depuis longtemps par la formule de Weyl,
ils s’intéressent aux oscillations de cette densité. Ils montrent, par des ar-
guments heuristiques fondés sur l’application de la méthode de la phase
stationnaire, que ces oscillations sont liées à la longueur des géodésiques
fermées après un nombre fini de réflexions sur le bord. D’après Yves, ce
sont ces articles qui lui ont inspiré l’idée de la méthode qu’il emploiera.
Pour être plus ou moins complet, je devrais aussi signaler les travaux de
Gutzwiller, datant de la même époque, et consacrés aux relations entre le
spectre d’un hamiltonien quantique et les longueurs des orbites périodiques
classiques correspondants, travaux eux aussi de nature heuristique. Mais,
pour autant que je sache, Yves n’en avait pas connaissance à l’époque de
sa thèse.
J’en viens maintenant à ses énoncés. Les énoncés généraux qui concernent
toutes les variétés riemanniennes compactes (de classe C∞) sont assez com-
pliqués ; je me contenterai donc ici de donner un énoncé particulier, celui
qui figure dans son premier article. Cet énoncé est le suivant :
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
LES PREMIERS TRAVAUX D’YVES COLIN DE VERDIÈRE 2093
Soit M une variété riemannienne compacte de dimension
2, de courbure < 0. Soit {λk, k ∈ N} le spectre de son lapla-
cien. Soit d’autre part L l’ensemble des classes d’homotopie
libre de M ; pour a ∈ L, soit La la longueur de l’unique
géodésique périodique de la classe a.
Alors, on a∑
k∈N
eλk/z =
( z
4π
)
vol M +
( z
4π
)1/2 ∑
a∈L\id
ua e
− z4 L
2
a + 0+(1)
où les ua sont des réels > 0, et 0t(z) est une fonction de z
définie et bornée dans les demi-plans Rez > ζ0 > 0.
Cette formule est évidemment à rapprocher du cas particulier de la for-
mule de Poisson qu’on obtient en prenant f = e−x
2/z ; cette formule clas-
sique dans la théorie des fonctions thêta, s’écrit∑
n∈Z
e−n
2/z =
√
πz
∑
n∈Z
e−π
2n2z.
Comme le remarque Yves, dans les hypothèses précédentes, le spectre du
laplacien détermine donc le spectre des longueurs. Dans le cas général, ceci
reste vrai sous des hypothèses de généricité.
La démonstration, qu’il n’est évidemment pas question de donner ici, re-
pose sur une formule de trace. On part d’une “solution fondamentale com-
plexe ” de l’équation de la chaleur, E(x, y, t), définie pour x, y ∈ M et t
complexe avec Ret > 0, holomorphe en t, et vérifiant ∂E∂t +∆E = 0, plus une
condition aux limites convenable pour t → 0. Si {ϕk} est une base ortho-
normée des fonctions propres de ∆, on a E(x, y, z) =
∑
ϕk(x)ϕk(y)e−λkt,
d’où
∑
e−λkt =
∫
M
E(x, x, t)dx (dx la forme de volume de M).
Tout le travail consiste à étudier E(x, y, t) et à estimer l’intégrale, ce
qui se fait par application de la phase stationnaire. Dans le cas général, le
principe est analogue. Comme je l’ai déjà dit, les difficultés techniques sont
grandes, et ce travail est un vrai tour de force.
Quelque temps après le travail d’Yves, deux autres articles sont parus sur
le même sujet, dus respectivement à Chazarain et à Duistermaat-Guillemin.
Si le premier a été directement influencé par Yves, pour le second, je ne
connais pas la réponse ; il faudrait demander aux auteurs(1) .
Ces articles utilisent, au lieu de l’équation de la chaleur, l’équation des
ondes, ou plus exactement l’équation ∂∂t − i
√
∆ ; ils utilisent le fait que le
propagateur de cette équation est un opérateur intégral de Fourier au sens
(1) D’après Yves, le travail de Duistermaat et Guillemin est effectivement indépendant et
motivé par les travaux de Hörmander sur la fonction spectrale d’un opérateur elliptique
TOME 57 (2007), FASCICULE 7
2094 Bernard MALGRANGE
de Hörmander, ce qui les conduit au résultat suivant : si comme ci-dessus,
λk est la suite des valeurs propres du laplacien d’une variété riemannienne
compacte M , alors la distribution T =
∑
e±i t
√
λk a son support singulier
contenu dans le spectre des longueurs. De plus, sous certaines hypothèses
de régularité, au voisinage d’un point singulier, T est une distribution du
type considéré par Hörmander, dont Duistermaat et Guillemin déterminent
le symbole principal.
Ici encore la formule de Poisson donne un exemple ; il suffit pour cela de
l’écrire sous la forme suivante
∑
eint = 2π
∑
δ(t− 2πk).
Récemment, Yves a esquissé une méthode pour passer de l’une à l’autre
de ces formules, qui semblaient a priori n’être qu’analogiques. Je vais es-
sayer d’indiquer rapidement ce que je crois en avoir compris, en espérant
qu’il rédigera les détails un jour prochain. Il se place dans le contexte de
l’analyse semi-classique des opérateurs de Schrödinger. Cette méthode uti-
lise une variante de la théorie usuelle des opérateurs pseudo-différentiels
et des opérateurs intégraux de Fourier, variante avec un petit paramètre h
censé représenter la constante de Planck. Dans ce contexte, il s’agit d’étu-
dier la h-transformée de Fourier de la distribution
∑
δ(E − Ek), Ek les
valeurs propres (dépendant de h) de l’opérateur considéré. Ici il s’agit de
h2∆ (dans le cas d’Yves), de h
√
∆ dans le cas de Duistermaat-Guillemin.
Explicitement, si {λk} est la suite des valeurs propres de ∆, dans le pre-
mier cas on aura la distribution
∑
eithλk , dans le second la distribution
(indépendante de h)
∑
eit
√
λk .
L’idée est alors la suivante : on passe de l’un à l’autre par la h-transformée
de Fourier de l’image directe des distributions f? : D′(R+) → D′(R+), avec
f(E) = E2 ; pour cela, on montre que l’opérateur ainsi obtenu est un h-
opérateur intégral de Fourier. Je n’en dirai pas plus sur ce sujet(2) .
Juste une remarque pour terminer : depuis la retraite d’Yves, nous parta-
geons le même bureau. J’ai pu ainsi constater que son activité de recherche
ne s’est nullement ralentie. Je lui souhaite qu’il en aille encore de même
pendant longtemps.
Bernard MALGRANGE
Université Joseph Fourier
Institut Fourier
100 rue des Maths - BP 74
38402 Saint Martin d’Hères cedex (France)
bernard.malgrange@ujf-grenoble.fr
(2) Voir l’article de Yves dans ce volume
ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER


Les premiers travaux d’Yves Colin de Verdière

Braverman, Maxim

Kappeler, Thomas

Comparison of the refined analytic and the Burghelea-Haller torsions

Fournais, Soeren

Helffer, Bernard

Strong diamagnetism for general domains and application

Biquard, Olivier

Sur les variétés CR de dimension 3 et les twisteurs

Wold, Erlend Fornæss

Embedding subsets  of tori Properly into $\mathbb{C}^2$

Marklof, Jens

Spectral theta series of operators with periodic bicharacteristic flow

Colliot-Thélène, Jean-Louis

Suresh, Venapally

Quelques questions d’approximation faible pour les tores algébriques

Bony, Jean-François

Bruneau, Vincent

Raikov, Georgi

Resonances and Spectral Shift Function near the Landau levels

Colbois, Bruno

Vernicos, Constantin

Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée

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Les premiers travaux d’Yves Colin de Verdière

Comparison of the refined analytic and the Burghelea-Haller torsions

Strong diamagnetism for general domains and application

Sur les variétés CR de dimension 3 et les twisteurs

Embedding subsets of tori Properly into $\mathbb{C}^2$

Spectral theta series of operators with periodic bicharacteristic flow

Quelques questions d’approximation faible pour les tores algébriques

Resonances and Spectral Shift Function near the Landau levels

Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée

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