Comptes Rendus Physique

Yilin Ye

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David S. Dean

Thomas Salez

Brownian motion near a soft surface

Gian-Luca Schmid

Manel Bosch Aguilera

Chun Tat Ngai

Maryse Ernzer

Luiz Couto Correa Pinto Filho

Dennis Høj

Ulrik Lund Andersen

Florian Goschin

Philipp Treutlein

Squeezing light with optomechanical and spin-light quantum interfaces

Siebren van der Werf

Tjeerd van Albada

An explanation for Aristarchus’ measurement of the sun’s distance

Jean-Pierre Gauthier

Thanh Nhan Bui

Jacques Fereire

The cat’s-eye phenomenon: a mathematical approach

Xiaoyong Zhang

Carlos A. R. Sá de Melo

Effects of spin–orbit coupling and Rabi fields in Tomonaga–Luttinger liquids: current status and open questions

Gilles Montambaux

Ramanujan, Landau and Casimir, divergent series: a physicist approach

Yann Balland

Franck Pereira dos Santos

Measuring short range stray electric fields with a force quantum sensor

Julien Bok

Comptes Rendus
Physique
Julien Bok
Une incursion en sociologie
Volume 26 (2025), p. 1-5
En ligne depuis le 7 janvier 2025
https://doi.org/10.5802/crphys.224
Cet article est publié sous la licence
Creative Commons Attribution 4.0 International.
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
C EN T R E
MER S ENN E
Les Comptes Rendus. Physique sont membres du
Centre Mersenne pour l’édition scientifique ouverte
www.centre-mersenne.org — e-ISSN : 1878-1535
Comptes Rendus. Physique
2025, Vol. 26, p. 1-5
https://doi.org/10.5802/crphys.224
Histoire des sciences et des idées / History of Sciences and Ideas
Une incursion en sociologie
An incursion into sociologie
Julien Bok a
a Professeur émérite, Université PSL, Paris, France
Courriel : julien.bok@orange.fr
Résumé. A partir d’une remarque de John von Neumann sur la difficulté d’administrer N personnes qui sug-
gère qu’elle provient essentiellement des interactions 2 à 2, nous définissons une fonction « difficulté » d’une
organisation. L’optimisation de cette organisation est obtenue en minimisant cette fonction. On obtient ainsi
différentes structures hiérarchiques selon la discipline qui y règne. Nous présentons également une étude de
la « puissance » d’une organisation hiérarchisée. Nous comparons enfin ces résultats à des études sociolo-
giques d’entreprises existantes. Certaines analogies avec des théories physiques sont soulignées.
Abstract. Based on a remark by John von Neumann about the difficulty of managing N people, which suggests
that it arises essentially from 2-to-2 interactions, we define a “difficulty” function of an organization. The
optimization of this organization is obtained by minimizing this function. This leads to different hierarchical
structures depending on the discipline maintained. We also present a study of the “power” of a hierarchical
organization. Finally, we compare these results with sociological studies of existing companies. Some
analogies to physical theories are highlighted.
Mots-clés. Structures hiérarchiques, Difficulté, Puissance d’une organisation hiérarchisée.
Keywords. Hierarchical structures, Difficulty, Power of a hierarchical organization.
Manuscrit reçu le 24 septembre 2024, accepté le 22 novembre 2024.
Gérard Toulouse a toujours été intéressé par l’organisation des laboratoires et équipes de re-
cherche et par le rôle, souvent trop important, des « patrons ». Nous avions de longues discus-
sions à ce sujet. Il est venu me dire, un jour, avoir lu les mémoires de Stanislas Ulam, responsable
de l’équipe mathématique du projet « Manhattan » et intitulé Adventures of a mathematician et
me l’a fortement conseillé. J’ai lu cet ouvrage et un passage m’a particulièrement impressionné.
Il cite John Von Neumann [1] qui dit : « When I became chairman of the mathematics department
at the University of Colorado, I noticed that the difficulties of administering N people were not
really proportional to N but to N 2. This became my first administrative theorem. »
Le théorème de Von Neumann remarquant que la difficulté d’administrer N personnes varie
comme N 2 suggère que cette difficulté provient des interactions des personnes 2 à 2. En toute ri-
gueur, le nombre de contacts binaires est (1/2)N (N−1), pour les grands nombres la variation sera
en N 2. Cette difficulté limite à notre avis la taille des groupes sociaux, provoque des divisions en
cellules plus petites et la constitution de structures hiérarchiques. Les biologistes ont remarqué
que la forte densité d’individus de la même espèce dans un milieu donné crée une grande inten-
sité des relations et détermine une excitation des activités et une taille maximum des colonies
indépendamment des ressources alimentaires disponibles. De même, la corrélation entre la den-
sité de la population et les formes de la propriété a été notée par les sociologues. H. Janne dans
ISSN (électronique) : 1878-1535 https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/physique/
2 Julien Bok
son ouvrage Le système social [2] cite de nombreux exemples. En particulier, celui de l’occupation
de l’ouest américain par les colons.
La « difficulté » définie comme proportionnelle au nombre d’interactions possibles diminuera
évidemment si on scinde la population en groupes, les individus n’interagissant qu’à l’intérieur
des groupes et les groupes entre eux comme entités globales. On peut ainsi définir une fonction
difficulté D pour une structure hiérarchique quelconque. Nous posons alors en principe que
l’état d’équilibre est obtenu en minimisant la difficulté D . Cette démarche est inspirée des
théories physiques et plus particulièrement de la thermodynamique qui repose sur des principes
variationnels. L’état d’équilibre d’un système d’atomes ou de molécules est obtenu en cherchant
les minima ou les maxima de certaines fonctions thermodynamiques comme l’énergie libre,
l’entropie, etc. Nous avons nommé cette démarche : « Principe de moindre difficulté ».
Ce modèle conduit naturellement à prédire des effets non réversibles (hystérésis), liés au
caractère discret du nombre d’échelons hiérarchique p, lorsque le nombre total d’individus N
varie : la structure d’une organisation dépend de son histoire.
Pour illustrer ce principe, considérons d’abord un ensemble de N sujets. Quand le nombre N
augmente, il se divise en N1 groupes contenant chacun N0 individus (N = N0N1). La difficulté
totale sera alors la somme de deux termes, provenant d’une part des heurts intragroupes et
d’autre part des heurts intergroupes. En supposant, pour simplifier, que ces deux types de heurts
créent la même difficulté, on obtient (en appliquant la loi approchée en N 2) :
D = N 20 ×N1 +N 21 = N 20
N
N0
+
(
N
N0
)2
En minimisant, par rapport à la taille des groupes N0 :
∂D
∂N0
= N −2 N
2
N 30
= 0
on obtient comme valeur à l’équilibre :
N0 = (2N )1/3 = 1,26N 1/3 et D = 1,9N 4/3
On voit que l’introduction d’un échelon hiérarchique fournit la possibilité de réduire la diffi-
culté totale D qui varie en N 4/3 au lieu de N 2. Si nous considérons, par exemple, un laboratoire
de 45 chercheurs, on constate qu’il se divise en équipes plus petites. Les formules précédentes
donnent l’état d’équilibre correspondant à la difficulté minimum : une dizaine d’équipes com-
prenant en moyenne 4,5 individus. De telles structures existent. De nombreux laboratoires de
recherche se divisent en équipes de 4 ou 5 chercheurs.
Nous avons montré dans un article publié dans la Revue française de sociologie [3] que nous
pouvons calculer la difficulté D pour une population N et un nombre d’échelons hiérarchiques
p quelconque (Figure 1). En minimisant D , nous trouvons une très grande richesse de structures
hiérarchiques. Ce modèle mathématique repose évidemment sur des hypothèses très simples
mais très générales ; son application à des systèmes sociaux réels pose donc quelques problèmes.
Il s’agit d’un modèle théorique, et seuls les chercheurs en sciences sociales, si ils s’y intéressent,
peuvent vérifier si il s’applique à des réalités. Les calculs détaillés sont donnés dans l’article cité
ci-dessus pour les lecteurs intéressés.
Puissance d’une organisation
La plupart des organisations ou systèmes sociaux grossissent, car ils pensent ainsi accroître
leur puissance. Si a est l’activité d’un individu, l’activité de l’ensemble devrait être N a. Mal-
heureusement la difficulté due aux heurts croît également avec N . La puissance effective de
l’organisation peut alors s’évaluer par la formule : P = N a −D/d , où d est un facteur traduisant
Julien Bok 3
Figure 1. Schéma destiné à illustrer la définition des nombres Nr , 0 ≤ r ≤ p, dans une
hiérarchie à p échelons.
l’influence des heurts sur le travail des individus. d peut être appelé « discipline » de la structure.
On voit l’influence primordiale de la discipline. Elle permet de diminuer l’effet de la difficulté. Le
calcul détaillé de la puissance est donné dans notre article [3].
Les principaux résultats obtenus sont les suivants :
• Si une organisation croît en conservant sa structure hiérarchique, sa puissance, après être
passée par un maximum, décroît rapidement. Pour une taille critique Nc , les querelles
internes réduisent l’organisation à l’impuissance totale (Figure 2).
• Pour une organisation bénéficiant d’une structure idéale, chaque échelon supplémen-
taire dans la hiérarchie divise par 2 l’activité par individu.
• pour d grand, une structure pyramidale avec de nombreux échelons augmente rapide-
ment la puissance P . Notre formule mathématique illustre le vieil adage « la discipline
fait la force principale des armées ».
• Ce modèle conduit naturellement à prédire des effets non réversibles (hystérésis), liés
au caractère discret du nombre d’échelons hiérarchiques p, lorsque le nombre total
d’individus N varie : la structure d’une organisation dépend de son histoire.
On peut définir une difficulté minimum par individu :
µ= ∂D
∂N
pour une puissance optimum. On obtient µ= ad .
Discussion générale
Du point de vue d’un physicien, il est intéressant de souligner certaines analogies. Poser en point
de départ de la théorie un principe variationnel rappelle une démarche fréquente en physique,
notamment en thermodynamique et physique statistique. La difficulté totale D et la difficulté
marginale µ jouent des rôles analogues à l’énergie libre et au potentiel chimique. L’analogie entre
la quantité puissance P et le grand potentiel de l’ensemble grand canonique est également claire.
Par ailleurs l’existence de points fixes et de lois de puissance avec exposants rappelle la théorie
du groupe de renormalisation.
Notre modèle est évidemment un peu abstrait et simpliste. Les interactions entre individus
sont très variées et pas toutes négatives. On peut faire une comparaison avec la théorie des gaz
4 Julien Bok
Figure 2. Diagramme P/a(N , p) en fonction de N pour les valeurs p = 0, p = 1 et p = 2.
parfaits en mécanique statistique. Dans cette théorie, on néglige l’interaction entre les molécules
du gaz. Cependant, si l’on compare les prédictions de la théorie aux résultats expérimentaux,
l’accord est convenable pour les relations entre des grandeurs mesurables comme la tempéra-
ture, la pression, la densité, etc. La théorie a été ensuite améliorée en tenant compte des interac-
tions entre atomes et molécules. Notre théorie de la difficulté peut donc être considérée comme
une première approche susceptible d’amélioration.
Nous avons reçu un accueil favorable de la part de nos collègues sociologues qui ont accepté
de publier notre travail dans la Revue française de sociologie [3]. Cette publication a eu un certain
impact. Nous avons eu de nombreux retours et des invitations à participer à plusieurs congrès de
sociologie. Notre modèle est en accord avec des travaux de sociologues.
Notre analyse peut s’appliquer à l’optimisation de la structure d’une entreprise en vue
d’une production maximum, comme l’a noté Woodward [4]. Pugh et ses collaborateurs ont
noté l’importance de la taille et du nombre d’employés sur la structure d’une entreprise [5].
Encore une fois, notre théorie n’est qu’une première approximation susceptible d’améliora-
tions.
En conclusion, je voudrais dire combien il a été agréable pour moi de travailler avec Gérard.
C’était un scientifique de grand talent et d’une culture très vaste dans de nombreux domaines.
Nos nombreuses discussions ont été très fructueuses pour moi. Elles ont porté essentiellement
sur des problèmes de physique. En particulier sur les systèmes désordonnés comme les verres
de spins. Les travaux de Gérard font autorité dans ce domaine et sont décrits dans d’autres
articles de cette revue. Notre incursion en sociologie nous a beaucoup amusé. La disparition
de Gérard a été une grande perte, pour moi, d’un ami très cher et pour la science d’un grand
savant.
Déclaration d’intérêts
L’auteur ne travaille pas, ne conseille pas, ne possède pas de parts, ne reçoivt pas de fonds d’une
organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et n’a déclaré aucune autre affiliation que leur
organisme de recherche.
Julien Bok 5
Références
[1] S. M. Ulam, Adventures of a Mathematician, Charles Scriber’s Sons, New York, 1976, 317 pages.
[2] H. Janne, Le système social : essai de théorie générale, Editions de l’Institut de Sociologie de l’Université libre de
Bruxelles, Bruxelles, 1968, 575 pages.
[3] G. Toulouse, J. Bok, « Principe de moindre difficulté et structures hiérarchiques », Rev. Fr. Sociol. 19 (1978), no 3, p. 391-
406.
[4] J. Woodward, Industrial Organization : Theory and Practice, Oxford University Press, Oxford, 1965.
[5] D. S. Pugh, J. D. Hickson, C. R. Hinings, C. Turner, « Dimensions of organization structure », Adm. Sci. Q. 14 (1969),
p. 91-144.


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