Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки
Not a member yet
409 research outputs found
Sort by
Наближений усереднений обмежений синтез для параболiчного процесу з двома точками переключення
No full textIn this paper we analyze the problem of the optimal bounded control with semi-definite quality criterion for parabolic process with rapidly oscillating coefficients on finite time interval. The case when optimal control goes out both on lower, and on upper restriction, that is has two switch-points is considered. Our aim is to build a synthesized control which is practically preferable to program one. But after Fourier method application such a control will contain coefficients which are expressed by series and, in addition, it irregularly depends on small parameter ε. Thus, for practical application it is natural to restrict infinite series by finite sums and to get rid of dependence on a small parameter using average procedure. So, besides the law of optimal synthesis also approximate averaged feedback control, which provides control system behavior that is close to optimal one and thus has a series of advantages from the practical application point of view, is proposed and proved. The efficiency of approximate averaged control construction procedure consisted of cutting to finite sums of series in optimal control and replacing of Fourier coefficients nonregular depended on small parameter by corresponding average values is illustrated by an example of controlled system for parabolic process. We compare the properties of the averaged control and the sequence of optimal controls calculated at the different values of the small parameter. For comparison, we use the switching points of optimal control and averaged control, deviation between optimal control and averaged control, the difference in the values of the quality criterion on optimal control and averaged control. In considered example the precision of quality criteria value on approximate control has ε-order and for sufficiently small ε the precision is one order better then ε.
Pages of the article in the issue: 96 - 100
Language of the article: EnglishУ роботі аналізується задача оптимального обмеженого керування з напіввизначеним критерієм якості для параболічного процесу з швидко осцилюючими коефіцієнтами на скінченному інтервалі часу. Розглянуто випадок, коли оптимальне керування виходить як на нижнє, так і на верхнє обмеження, тобто має дві точки переключення. Наша мета полягає в тому, щоб побудувати синтезоване керування, яке є практично кращим, ніж програмне. Але після застосування методу Фур\u27є таке керування буде містити коефіцієнти, які виражаються рядами, і, крім того, нерегулярно залежить від малого параметра ε. Таким чином, для практичного застосування природно обмежити нескінченні ряди скінченними сумами і позбутися залежності від малого параметра за допомогою процедури усереднення. Таким чином, окрім закону оптимального синтезу, також запропоновано та доведено наближене усереднене керування зі зворотним зв’язком, яке забезпечує поведінку системи керування, наближену до оптимальної, а отже, має ряд переваг з точки зору практичного застосування. На конкретному прикладі керованої системи для параболічного процесу проілюстровано ефективність процедури побудови наближеного усередненого керування, яка полягає в заміні нескінченних рядів скінченними сумами при оптимальному керуванні та заміні нерегулярно залежних від малого параметра коефіцієнтів Фур’є на відповідні середні значення. Ми порівнюємо властивості усередненого керування та послідовності оптимальних керувань, розрахованих при різних значеннях малого параметра. Для порівняння використовуємо точки переключення оптимального та усередненого керувань, відхилення між оптимальним та усередненим керуванням, різницю значень критерію якості на оптимальному та усередненому керуваннях. У розглянутому прикладі точність значення критерію якості на наближеному управлінні має ε-порядок і для достатньо малого ε точність на порядок вища за ε
Побудова математичних моделей збудження хрестоподібних поверхневих хвиль у воді в «співаючих бокалах» при випромінюванні бокалами звукових хвиль
No full textThe appearance and structure of cross-shaped waves on the free surface of the liquid contained in the ‘singing glass’ is explained. It was found that the main mode of vibration of the glass is a forced wave, with four nodes evenly spaced along the cylindrical glass wall. When such a singing glass is partially filled with a liquid (which changes the frequency of sound), one can observe another amazing feature: a complex pattern of waves on the free surface of the liquid. With sufficient illumination, one can observe waves directly caused by the vibration of the wall in the four-node mode moving in the circumferential direction at the same speed as the moving finger. However, this picture is dominated by so-called ‘cross waves’ or ‘edge waves’, the crests of which are perpendicular to the vibrating glass wall. Although cross-shaped waves were described by Faraday (1831), until now there was no theoretical justification for the possibility of their excitation in a ‘singing glass’. This paper fills this gap: the appearance of cross waves in a ‘singing glass’ has been mathematically described as resonant oscillations. Non-linear parametric equations describing them were obtained for cross-shaped waves. Two mathematical models were built. The first theoretical model describes the appearance of cross-shaped waves, where only one eigenmode is present on the free surface of the liquid, and the second model applies to the situation where at least two or three eigenmodes are present. The oscillations of the free surface in approximations with three eigenmodes reflect the main features of the wave patterns observed experimentally in the ‘singing glass’.
Pages of the article in the issue: 66 - 69
Language of the article: UkrainianПояснюється поява і структура хрестоподібних хвиль на вільній поверхні рідини, що міститься в «співаючому бокалі». Було встановлено, що основним режимом коливань бокалу є вимушена хвиля, з чотирма вузлами, рівномірно розташованими вздовж циліндричної скляної стінки. Коли такий співаючий бокал частково заповнити рідиною (яка змінює частоту звуку), можна спостерігати ще одну дивовижну особливість: складний візерунок хвиль на вільній поверхні рідини. При достатньому освітленні можна спостерігати хвилі, безпосередньо зумовлені вібрацією стінки в режимі з чотирма вузлами, що рухаються в окружному напрямку з тією ж швидкістю, що й палець, який рухається. Однак у цій картині домінують так звані «хрестоподібні хвилі» або «крайові хвилі», гребні яких перпендикулярні до вібруючої скляної стінки. Хоча хрестоподібні хвилі були описані ще Фарадеєм (1831), до цього часу не існувало теоретичного обґрунтування можливості їхнього збудження в «співаючому бокалі». Ця стаття заповнює цю прогалину: поява хрестоподібних хвиль у «співаючому бокалі» була математично описана у вигляді резонансних коливань. Для хрестоподібних хвиль отримано нелінійні параметричні рівняння, що їх описують. Побудовано дві математичні моделі. Перша теоретична модель описує появу хрестоподібних хвиль, де на вільній поверхні рідини наявна лише одна власна мода, а друга модель застосовується до ситуації, коли присутні щонайменше дві або три власні моди. Коливання вільної поверхні за наближеннями з трьома власними модами відображають основні риси хвильових візерунків, що спостерігаються експериментально у «співаючому бокалі»
В’язкопружний шаруватий циліндр при вертикальному зберіганні
No full textThe problem of creep of a solid-fuel rocket engine under the action of its own weight when stored in a vertical position is considered. The purpose of the work is to study the stress-strain state of the engine, to determine the areas of localization of stresses and strains, in particular, radial tensile and tangential stresses at the cylinder-shell interface. The engine is modeled as a hollow cylinder with a circular cross-section made of a linear isotropic thermo-rheologically simple viscoelastic material supported on the lateral surface by a three-layer elastic shell. The relaxation function of the cylinder material under uniaxial tension is represented by the sum of exponents, and the volumetric deformation is assumed to be elastic. The problem is solved using the Schapery approach, which reduces the viscoelastic problem to an elastic problem with time-varying moduli. The problem transformed in this way is solved by the finite element method. A quadrilateral isoparametric element is used. The distributions of current and time-steady-state stresses and creep strains at certain points in the engine volume are investigated. It is established that the maximum stresses in the cylinder are localized in the vicinity of the corner points of the cylinder-shell boundary, where a singularity of stresses occurs in the linear formulation. In the same areas, the maximum values of tensile radial and tangential stresses are reached, which are dangerous from the point of view of charge detachment from the casing. Significant values of axial compressive stress occur in the lower support part of the cladding. The largest are the shear deformations of the cylinder along the contact boundary with the cladding. The creep curves at the cylinder points at room temperature are plotted. The estimation of the characteristic creep settling time is given.
Pages of the article in the issue: 82 - 85
Language of the article: UkrainianРозглянуто задачу про повзучість ракетного двигуна на твердому паливі під дією власної ваги при зберіганні у вертикальному положенні. Мета роботи полягає в дослідженні напружено- деформованого стану двигуна, визначенні областей локалізації напружень і деформацій, зокрема радіальних відривних і дотичних напружень на границі циліндр-оболонка. Двигун моделюється порожнистим циліндром з круговим отвором, виготовленого з лінійного ізотропного термореологічно простого в’язкопружного матеріалу, підкріпленого по бічній поверхні тришаровою пружною оболонкою. Функція релаксації матеріалу циліндра при одновісному розтягуванні представляється сумою експонент, а об’ємне деформування вважається пружним. Для розв’язання задачі використовується підхід Шепері, за допомогою якого задача в’язкопружності зводиться до задачі пружності зі змінними за часом модулями. Трансформована таким чином задача розв’язується методом скінченних елементів. Використовується чотирикутний ізопараметричний елемент. Досліджено розподіли поточних і усталених за часом напружень і деформацій повзучості у визначених точках в об’ємі двигуна. Встановлено, що максимальні напруження в циліндрі локалізовані в околі кутових точок границі циліндр-оболонка, в яких в лінійній постановці має місце сингулярність напружень. В цих же областях досягаються і максимальні значення розтягувальних радіальних та дотичних напружень, які є небезпечним з точки зору відриву заряду від корпусу. Суттєві значення осьового стискувального напруження мають місце в нижній опорній частині оболонки. Найбільшими є зсувні деформації циліндра вздовж границі контакту з оболонкою. Побудовано криві повзучості в точках циліндра при кімнатній температурі. Дана оцінка характерного часу усталення повзучості
Про моделювання гаусового стаціонарного процесу Орнштейна-Уленбека з заданою точністю та надійністю в Lp-просторі
No full textEven though the problem of modelling and simulation is not new it continues to be actual over time. Our computers are becoming more powerful and this allows us to use more sofisticated algorithms for more complicated problems. In this paper we constructed the model from the series decomposition of the Gaussian stationary Ornstein–Uhlenbeck process. The Ornstein-Uhlenbeck process is widely used to model reversal processes, exchange rates, asset price volatility, etc. Controlling the model’s accuracy and reliability with which it approximates the real process is important for applications. For this purpuse we have established the relation between the model’s erorr measured in the norm of Lp-space and accuracy and reliability. The classical methods and results from the general theory of stochastic processes and sub-Gaussian spaces of random variables were used in our research. Since Gaussian stochastic processes are sub-Gaussian as well, we can utilize them. For one particular case the calculations were made in order to show how our results can be used in the particular situations. The results from our paper can help to simulate and analyse the situations which the Ornstein–Uhlenbeck process fits well.
Pages of the article in the issue: 51 - 56
Language of the article: EnglishНезважаючи на те, що задачі моделювання та симулювання процесів не є новими, вони залишаються актуальними і дотепер. Наші комп’ютери стають потужнішими, і це дозволяє нам використовувати складніші алгоритми для більш складних задач. У цій статті ми побудували модель на основі розкладу гаусового стаціонарного процесу Орнштейна–Уленбека в ряд. Процес Орнштейн-Уленбека широко використовується для моделювання реверсивних процесів, обмінних курсів, коливань цін на активи тощо. Контроль точності та надійності моделі, з якими вона апроксимує реальний процес, важливий для застосувань. З цією метою ми встановили співвідношення між похибкою моделі, виміряною в нормі Lp-простору, та точністю та надійністю. Класичні методи та результати із загальної теорії стохастичних процесів і субгаусових просторів випадкових величин були використаний у нашому дослідженні. Оскільки стохастичні процеси Гауса також є субгаусовими, ми можемо їх використовувати. Для одного конкретного випадку були зроблені розрахунки, щоб показати, як наші результати можуть бути використані в конкретних ситуаціях. Результати нашої статті можуть допомогти змоделювати та проаналізувати ситуації, для яких добре підходить процес Орнштейна–Уленбека
Падіння та відбиття дисперсійних за Коріолісом гармонічних хвиль на поверхні пружного півпростору
Get PDFIn the modern inertial sensors based on the bulk acoustic waves propagation, the change of the polarization vector through a certain finite length of the waveguide, is proposed to determine the angular velocity. It is caused by Coriolis dispersion due to the action of the inertial forces of rotational motion. Among the important issues of calculation of reflected and refracted waves in rotational motion, one can mention joined waveguides, reflection from a non-orthogonal boundary, etc. So, the problem of the incidence and reflection of Coriolis- dispersed harmonic waves on the surface of an elastic half-space at an arbitrary angle of propagation plays the key role. Research in this regard besides the study of the effect of Coriolis dispersion in reflected waves, includes also piezoelectric and thermal material properties of waveguides. In the mathematical modelling the authors of [6] consider the general solutions for mechanical and electrical quantities in the some way as in the non-rotating classical case of elastodynamics and thermoelectroelasticity.
In our opinion, the general solutions for incident and reflected waves should be built on the basis of fundamental solutions for quasi-longitudinal and quasi-transverse waves, propagating in the unbounded rotating medium. In the statement of the problem, it should be assumed in advance, that the incident and reflected waves are formed by two coupled components of displacements, that is, such waves have elliptical polarization.
Pages of the article in the issue: 86 - 90
Language of the article: UkrainianВ гіроскопічних сенсорах на об’ємних акустичних хвилях для визначення кутової швидкості обертання пропонується використовувати властивість зміни напрямку вектора поляризації зсувних хвиль, що відбувається на скінченій довжині хвилеводу. Цей ефект зумовлений Коріолісовою дисперсією гармонічних хвиль в пружному середовищі внаслідок дії сил інерції обертового руху. Актуальними на сьогодні є питання розрахунку відбиття і заломлення хвиль у хвилеводі, що перебуває у обертовому русі, зокрема випадки відбиття й заломлення на неортогональних границях, у з’єднаних хвилеводах, тощо. Тому математична модель падіння та відбиття дисперсійних за Коріолісом гармонічних хвиль на поверхні пружного півпростору під довільним до неї кутом відіграє ключову роль.
В даній статті загальні розв’язки для падаючої та відбитих хвиль побудовано, спираючись на фундаментальні розв’язки для квазіпоздовжних та квазіпоперечних дисперсійних хвиль в необмеженому середовищі, яке рівномірно обертається. При постановці задачі передбачається, що хвилі утворюються двома зв\u27язаними компонентами переміщень з еліптичною поляризацією. Такі загальні розв’язки названо нормальними та тангенціальнми хвилями. З аналізу дисперсійних залежностей встановлено, що хвильові числа падаючих та відбитих хвиль не залежать від кутів падіння та відбиття. У випадку вільної поверхні півпростору на основі відношень Снеліуса встановлено, що кути падіння і відбиття нормальних хвиль рівні між собою, а коефіцієнт і кут відбиття тангенціальної дисперсійної хвилі визначається відношенням дисперсійних хвильових чисел
Оцінки квантилів розподілу похибок регресії у моделях сумішей зі змінними концентраціями
No full textIn this paper we consider data obtained from a mixture of M different sub-populations (mixture components). Dependencies between the observed variables are described by nonlinear regression models with unknown regression parameters and error terms distributions different for different components. The mixing probabilities (concentrations of the components in the mixture) vary from observation to observation.
Estimators for quantiles of error terms distributions are considered based on weighted empirical distribution functions of the regression models residuals. Consistency of these estimators is demonstrated.
The results can be applied to the construction of quantile vs. quantile plots for visual comparison and analysis of error terms distributions.
Pages of the article in the issue: 45 - 50
Language of the article: EnglishРозглядаються статистичні дані отримані з суміші M різних підпопуляцій (компонентів суміші). Залежності між спостережуваними змінними описуються моделлю нелінійної регресії. Значення невідомих параметрів та розподіли похибок регресії є різними у різних компонентах. Концентрації компонентів змінюються від спостереження до спостереження.
У статті розглянуті оцінки для квантилів розподілів похибок регресії, що використовують навантажені емпіричні функції розподілу залишків. Отримані умови консистентності цих оцінок. Результати можуть бути використані для побудови діаграм квантиль проти квантиля
Про групи, в яких незвідні системи елементів утворюють матроїд
No full textMatroid is defined as a pair , where is a non-empty finite set, and is a non-empty set of subsets of that satisfies the hereditary axiom and the augmentation axiom. The paper investigates for which groups (primarily finite) , the pair will be a matroid. The obtained criteria of matroidality for finite and infinite abelian groups, for finite nilpotent, finite symmetric, and finite dihedral groups, as well as for certain classes of finite matrix groups, are presented. Additionally, the non-matroidality of a whole range of finite groups has been proven, including Hamiltonian groups, groups of diagonal matrices, general and special linear groups, groups of upper triangular matrices with determinant , and others.
Pages of the article in the issue: 17 - 21
Language of the article: EnglishМатроїдом називається пара , що складається з непустої скінченної множини та непустої множини підмножин множини , де задовольняє аксіоми спадковості та поповнення. У роботі досліджується для яких груп (насамперед скінченних) пара буде матроїдом. Отримані критерії матроїдальності для скінченних та нескінченних абелевих груп, для скінченних нільпотентних, скінченних симетричних і скінченних діедральних груп та окремих класів скінченних матричних груп. А також доведена нематроїдальність цілої низки скінченних груп, серед яких Гамільтонові групи, групи діагональних матриць, загальні та спеціальні лінійні групи, групи верхніх трикутних матриць з визначником та інші
Про аналог теореми Шура для 3-алгебр Лейбніца
No full textOne of the classic results of group theory is the so-called Schur theorem. It states that if the central factor-group G/ζ(G) of a group G is finite, then its derived subgroup [G,G] is also finite. This theorem was proved by B. Neumann in 1951. This result has numerous generalizations and modifications in group theory. At the same time, similar investigations were conducted in other algebraic structures, namely in modules, linear groups, topological groups, n-groups, associative algebras, Lie algebras, Lie n-algebras. In 2016, L.A. Kurdachenko, J. Otal and O.O. Pypka proved an analogue of Schur theorem for Leibniz algebras: if central factor-algebra L/ζ(L) of Leibniz algebra L has finite dimension, then its derived ideal [L,L] is also finite-dimensional. Moreover, they also proved a slightly modified analogue of Schur theorem: if the codimensions of the left ζ^l (L) and right ζ^r (L) centers of Leibniz algebra L are finite, then its derived ideal [L,L] is also finite-dimensional. One of the generalizations of Leibniz algebras is the so-called Leibniz n-algebras. It is worth noting that Leibniz n-algebra theory is currently much less developed than Leibniz algebra theory. One of the directions of development of the general theory of Leibniz n-algebras is the search for analogies with other types of algebras. Therefore, the question of proving analogs of the above results for this type of algebras naturally arises. In this article, we prove the analogues of the two mentioned theorems for Leibniz n-algebras for the case n=3. The obtained results indicate the prospects of further research in this direction.
Pages of the article in the issue: 22 - 25
Language of the article: EnglishОдним з класичних результатів теорії груп є так звана теорема Шура. Вона стверджує, що якщо центральна фактор-група G/ζ(G) групи G скінченна, то її комутант [G,G] також скінченний. Цю теорему довів Б. Нейман у 1951 році. Цей результат має численні узагальнення та модифікації в теорії груп. Водночас аналогічні дослідження проводились в інших алгебричних структурах, а саме в модулях, лінійних групах, топологічних групах, n-групах, асоціативних алгебрах, алгебрах Лі, n-алгебрах Лі. У 2016 році Л.А. Курдаченко, Х. Отал та О.О. Пипка довели аналог теореми Шура для алгебр Лейбніца: якщо центральна фактор-алгебра L/ζ(L) алгебри Лейбніца L має скінченну розмірність, то її похідний ідеал [L,L] також скінченновимірний. Більше того, вони довели й дещо модифікований аналог теореми Шура: якщо ковимірності лівого ζ^l (L) та правого ζ^r (L) центрів алгебри Лейбніца L скінченні, то її похідний ідеал [L,L] також скінченновимірний. Одним з узагальнень алгебр Лейбніца є так звані n-алгебри Лейбніца. Варто зауважити, що теорія n-алгебр Лейбніца на сьогоднішній день є значно менш розвиненою за теорію алгебр Лейбніца. Одним з напрямків розвитку загальної теорії n-алгебр Лейбніца є пошук аналогій з іншими типами алгебр. Тому цілком природно постає питання про доведення аналогів наведених вище результатів для цього типу алгебр. У цій статті ми доводимо аналоги двох згаданих теорем для n-алгебр Лейбніца для випадку n=3. Отримані результати вказують на перспективність подальших досліджень у цьому напрямку
Модель трансформера з використанням дерева залежностей для ідентифікації парафраз
Get PDFModels to represent the semantics of natural language words, sentences, and texts are key in computational linguistics and artificial intelligence. Using quality vector representations of words has revolutionized approaches to natural language processing and analysis since words are the foundation of language. The study of vector representations of sentences is also critical because they aim to capture the semantics and meanings of sentences. Improving these representations helps understand the text at a deeper level and solve various tasks. The article is devoted to solving the problem of identifying paraphrases using models based on the Transformer architecture. These models have demonstrated high efficiency in various tasks. It was investigated that their accuracy can be improved by enriching the model with additional information. Using syntactic information such as part-of-speech tags or linguistic structures can improve the model\u27s understanding of context and sentence structure. Enriching the model this way allows you to gain a broader context and improve adaptability and performance in different natural language processing tasks, making it more versatile for different applications. As a result, a model based on the Transformer architecture using a dependency tree was proposed. Its effectiveness compared to other models of the same architecture was investigated using the task of identifying paraphrases. Improvements in accuracy and completeness over the original model (DeBERTa) were demonstrated. In the future, it is advisable to study the use of this model for other applied tasks (such as plagiarism checking and determining the author\u27s style) and in evaluating other graph structures for sentence representation (for example, AMR graph).
Pages of the article in the issue: 154 - 159
Language of the article: UkrainianПобудова моделей для представлення семантики слів, речень та текстів природної мови є ключовою проблемою у комп\u27ютерній лінгвістиці та штучному інтелекті. Використання якісних векторних представлень слів змінило підходи до обробки та аналізу природної мови, оскільки слова є основою мови. Дослідження векторних представлень речень також має велике значення, оскільки вони спрямовані на захоплення семантики та значень речень. Покращення цих представлень допомагає краще розуміти текст на більш глибокому рівні і сприяє розв\u27язанню різноманітних завдань. Стаття присвячена вирішенню задачі ідентифікації парафраз, використовуючи моделі на основі архітектури Трансформер. Дані моделі продемонстрували високу ефективність на різноманітних завданнях. Було досліджено, що їх точність може бути покращена за рахунок збагачення моделі додатковою інформацією. Використання синтаксичної інформації, такої як теги частин мови або лінгвістичні структури, може покращити розуміння контексту та структури речення моделлю. Збагачення моделі таким чином дозволяє здобути ширший контекст, покращити адаптивність та продуктивність в різних завданнях обробки природної мови, роблячи її більш універсальною для різних застосувань. В результаті цього було запропоновано модель на основі архітектури Трансформер з використанням дерева залежностей. Досліджено її ефективність та порівняно з іншими моделями тієї ж архітектури використовуючи задачу ідентифікації парафраз. Було продемонстровано покращення у точності та повноті в порівнянні з оригінальною моделлю (DeBERTa). В майбутньому доцільним є дослідження використання даної моделі для інших прикладних задач (такі як перевірка на плагіат, визначення авторського стилю) та в оцінці інших графових структур для репрезентації речення (наприклад, AMR граф)
Моделювання процесу пружно-пластичного деформування при скретч-тестуванні
No full textScratch test is an important investigation method in materials science. It is used to evaluate the mechanical properties of materials and structures, adhesion of coatings, etc. The article is devoted to the actual problem of implementing finite element simulation of scratch tests using ANSYS software with automated nonlinear remeshing. Large plastic deformation occurs at scratch test simulation, which leads to significant distortion of some finite elements and, consequently, to interruption of calculations. When critical values of element distortion are reached, remeshing procedure is launched. That procedure replaces the distorted elements with new ones with improved characteristics. The solution is mapped to a new mesh. A three-dimensional finite element model is built to simulate scratch test of structure. Scratch test simulation requires a large amount of RAM and a lot of disk space to store results and auxiliary files. Therefore, to reduce the calculation time and the required disk space, the dimension of three-dimensional finite element model is reduced by taking into account the symmetry of the problem and using larger elements further from the contact zone. The fields of displacement, stress, and strain on the surface and inside the tested samples were obtained as a result of scratch test simulation. Comparison of the results of scratch test simulation with experimental data can be used in further study to determine the mechanical properties of materials and structures.
Pages of the article in the issue: 57 - 61
Language of the article: UkrainianВипробування дряпанням (інструментальне скретч-тестування) є важливим методом дослідження в матеріалознавстві. Воно застосовується для оцінки механічних властивостей матеріалів і структур, дослідження адгезії покриттів тощо. Робота присвячена актуальній проблемі реалізації скінченно-елементного моделювання процесу інструментального скретч-тестування засобами пакету ANSYS із застосуванням техніки автоматизованої нелінійної перебудови сітки. При скінченно-елементному моделюванні процесу скретч-тестування мають місце великі пластичні деформації, які призводять до істотного спотворення (дисторсії) частини скінченних елементів, що викликає аварійне переривання розрахунків. Щоб запобігти цьому, при досягненні критичних значень спотворення елементів запускається процедура перебудови сітки із заміною спотворених елементів на нові, з покращеними характеристиками. Після цього здійснюється відображення розв’язку на нову сітку для продовженя процедури розв’язання задачі. Для моделювання скретч-тестування структури будується тривимірна скінченно-елементна модель. Моделювання скретч-тесту накладає підвищені вимоги до оперативної памяті та потребує багато дискового простору для зберігання результатів і допоміжних файлів. Тому для скорочення часу розрахунків та зменшення необхідного місця на диску розмірність тривимірної скінченно-елементної моделі зменшується при врахуванні симетрії задачі і використанні елементів більшого розміру при віддаленні від контактної зони. Результатом чисельного моделювання процесу скретч-тестування є поле переміщень, напружень та деформацій як на поверхні, так і всередині досліджуваних зразків. Співставлення результатів скінченно-елементного моделювання процесу скретч-тестування з експериментальніми даними може бути використано в подальших дослідженнях для визначення механічних властивостей матеріалів зразка