ORE Digital Library

Publikacja powstała w ramach projektu „Wdrożenie podstawy programowej kształcenia ogólnego w przedszkolach i szkołach”

Katarzyna Panimasz

Grzegorz Lewandowski

Polish

Historia i społeczeństwo. Planowanie – realizacja – ewaluacja

Artykuł z numeru 1/2014 internetowego czasopisma edukacyjnego ORE "Trendy

TRENDY nr 1/2014 77
XxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxX
Obwieszczenia
Teksty jednolite rozporządzeń
Drogowskazy prawne
1 stycznia 
Dotacje do podręczników 
SIO
4 stycznia
Wynagradzanie egzaminatorów 
egzaminu maturalnego
18 stycznia
„Ustawa rekrutacyjna”
22 marca 
MEN może zlecać 
opracowanie podręczników
4 lutego
Placówki doskonalenia nauczycieli – kursy 
kwalifikacyjne w zakresie wczesnego nauczania 
języka obcego i przygotowania pedagogicznego  
6 lutego
Podstawa programowa – język obcy 
w przedszkolu
Kwalifikacje do nauczania języków obcych 
w przedszkolu
17 marca 
Świadectwa, dyplomy, druki szkolne 
21 marca 
Wynagrodzenie nauczycieli  
1 września
Nauka religii 
Ramowy plan nauczania 
w szkołach podstawowych 
dla dorosłych 
Dzieci i młodzież niepełnosprawna 
w przedszkolach, szkołach i oddziałach 
ogólnodostępnych lub integracyjnych
Dzieci i młodzież niepełnosprawna 
w specjalnych przedszkolach, szkołach 
i oddziałach oraz w ośrodkach
Sposób nauczania oraz zakres treści 
dotyczących wiedzy o życiu seksualnym 
człowieka
Podtrzymywanie poczucia tożsamości 
narodowej, etnicznej i językowej uczniów 
należących do mniejszości narodowych 
i etnicznych 
Wynagrodzenie nauczycieli
Karta Nauczyciela
Ramowe plany nauczania w publicznych 
szkołach i placówkach artystycznych 
Weszły w życie
Wchodzą w życie
Teksty jednolite 
rozporządzeń
Projekty
Teksty jednolite ustaw


Drogowskazy prawne - 1/2014

Artykuł z numeru 2/2014 internetowego czasopisma edukacyjnego ORE "Trendy

Katarzyna Koletyńska

Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
112     TRENDY nr 2/2014
Obwieszczenia
Teksty jednolite rozporządzeń
Obwieszczenia
Teksty jednolite rozporządzeń
9 lipca
Dopuszczanie podręczników do użytku szkolnego
8 lipca
Dotacja celowa na podręczniki, 
materiały edukacyjne i ćwiczeniowe
Ustawa podręcznikowa (m.in. nowe zasady wyboru przez 
nauczycieli podręczników, materiałów edukacyjnych 
 i ćwiczeniowych)
Program „Bezpieczna i przyjazna szkoła”
7 czerwca 
Program szkoleń kandydatów na egzaminatorów
4 czerwca 
Asystent nauczyciela w kl. I–III i asystent 
wychowawcy świetlicy
Zasady funkcjonowania świetlicy w szkołach 
podstawowych i gimnazjach
26 maja 
Ochrona dzieci w internecie 
(szczególną opieką została objęta 
również młodzież w wieku 15-18 lat)
24 kwietnia
Zasoby informacyjne do udostępniania 
w Centralnym Repozytorium Informacji Publicznej
28 marca
Powstało Centralne Repozytorium Informacji Publicznej
25 marca
Powstał Zespół do spraw Strategii 
przy Ministrze Edukacji Narodowej
22 marca 
Lista podręczników – dyrektor ogłasza w dowolnym terminie
MEN może zlecać opracowanie i wydanie podręcznika 
Drogowskazy prawne
  
Pomoc finansowa – na zakup podręczników 
i materiałów dydaktycznych (wyprawka szkolna)
Zasiłek losowy na cele edukacyjne 
Warunki i sposób organizowania krajoznawstwa 
i turystyki przez publiczne przedszkola, szkoły 
i placówki 
Program „Owoce i warzywa w szkole”
Nauczanie indywidualne
27 lipca
Akredytacja placówek doskonalenia
1 września 2014
Zmiany w organizacji lekcji religii i etyki 
Odroczenie obowiązku szkolnego dzieci 6-letnich
Wynagradzanie egzaminatorów 
Podstawa programowa wychowania przedszkolnego 
(język obcy w przedszkolu)
Weszły w życie
Wchodzą w życie
Projekty
Opracowała: 
Katarzyna Koletyńska
Kierunki polityki oświatowej 
na rok szkolny 2014/2015 


Drogowskazy prawne - 2/2014

Publikacja dla dyrektorów szkół, nauczycieli i pracowników oświat

Jerzy Bracisiewicz

Historia w podstawie programowej kształcenia ogólnego

Artykuł z numeru 3-4/2014 czasopisma internetowego TREND

Barbara Roszkowska-Lech, Tadeusz Rzeżuchowski

TRENDY nr 3–4/2014  41
„Archipelag Matematyki”, 
czyli jak odczarować matematykę 
Dla współczesnej młodzieży terminy takie jak „świat wirtualny”, „gra internetowa” czy „multimedia” 
są osadzone w codziennej praktyce użytkowania komputerów, smartfonów, xboxów itd.  Licealiści 
spędzają średnio trzy godziny dziennie przed ekranem komputera. Jak skutecznie wykorzystać nowe 
technologie w edukacji? Grupa matematyków z Politechniki Warszawskiej odczarowuje matematykę, 
tworząc – w ramach projektu „Archipelag Matematyki” – wirtualny świat, w którym poznawanie 
matematyki będzie pasjonującą przygodą. Powstała w ramach projektu platforma cyfrowa jest też 
atrakcyjną formą uzupełnienia nauki matematyki w szkole.
Matematyka w szkole, na 
uczelni, w codziennym życiu
Uczelnie wyższe już od dłuższego 
czasu przywiązują wagę nie tylko do 
kształcenia studentów – równie waż-
ne stały się dla nich praca z uczniami 
i dla uczniów, kontakty ze społeczeń-
stwem. Przykładem może być tutaj 
Wydział Matematyki i Nauk Infor-
macyjnych Politechniki Warszawskiej, 
który od swojego powstania w 1999 r. 
prowadzi wiele akcji skierowanych 
do młodzieży: od 2000 r. organizuje 
internetowy konkurs z matematyki 
dla uczniów szkół średnich, regular-
nie uczestniczy w Piknikach Nauko-
wych i w Festiwalach Nauki, prowadzi 
cieszącą się powodzeniem wśród 
uczniów MiNI Akademię Matema-
tyki oraz przez pięć lat przygotował 
„Zieloną Akcję” (wakacyjne wyjazdy 
studentów do wiejskich szkół). Do-
datkowo pracownicy Politechniki 
odkrywają ważną rolę w organizacji 
olimpiad matematycznych dla liceali-
stów i dla gimnazjalistów. 
Współczesnym światem rządzi przy-
spieszenie, zwłaszcza w dziedzinie 
technologii. Wszystkie wynalazki – 
komputery, internet, skuteczne wy-
szukiwarki internetowe, urządzenia 
mobilne czy sieci społecznościowe – 
same w sobie są rewolucją, wpływa-
ją na obszar edukacji, która wchłania 
nowe możliwości. Jednym z wizjone-
rów nowego świata jest Marc Prensky. 
W swoich książkach i artykułach (np. 
Teaching Digital Natives – Partnering 
for Real Learning) analizuje kolosalne 
zmiany, jakie może przynieść mądre 
zastosowanie nowych technologii 
w procesie uczenia się. Z drugiej stro-
ny nie brak poważnych zagrożeń, na 
które zwraca uwagę Manfred Spitzer 
w swojej książce Cyfrowa demencja. 
W jaki sposób pozbawiamy rozumu 
siebie i swoje dzieci. Musimy pamiętać, 
że każda rewolucyjna zmiana o takiej 
skali przynosi zarówno szanse, jak 
i zagrożenia. 
Naszym obowiązkiem jest praca nad 
skutecznym wykorzystaniem nowej 
technologii informacyjnej w edukacji. 
Nie ma odwrotu od powszechnego 
dostępu do laptopów, smartfonów, 
sieci i wszystkiego, co niesie to za 
sobą. Jak mądrze i dobrze korzystać 
z tych wynalazków i jednocześnie mi-
nimalizować szkody, jakie mogą czy-
nić? Ważną wskazówką są osiągnięcia 
kognitywistyki i nauk o mózgu z ostat-
nich kilkudziesięciu lat. Nie można 
liczyć na to, że uda się w szkołach 
utrzymać coś w rodzaju dyscypliny 
wymuszającej zainteresowanie nauką, 
co jeszcze całkiem niedawno robi-
ło się z użyciem linijki, a trochę wcze-
śniej – rózgi. Ciekawość, entuzjazm, 
pasja: to słowa klucze.
Z jednej strony wiadomo, że nasza cy-
wilizacja jest oparta na matematyce, 
że zależy od niej olbrzymia większość 
starszych i nowych technologii. Daje 
ona narzędzia do rozumienia świata 
i myślenia o nim. Z drugiej strony zbyt 
często działa odpychająco, budzi na-
wet strach. Małe dzieci, jeszcze przed 
pójściem do szkoły, mają coś w ro-
dzaju wrodzonego myślenia matema-
tycznego, a przynajmniej ciekawość 
matematyki. W szkołach często ta na-
turalna ciekawość znika, w jej miejsce 
pojawia się niechęć. Musimy nie tylko 
W szkole nie ma czasu na pokazy-
wanie zastosowań matematyki, jej 
współczesnych osiągnięć czy stawia-
nie otwartych problemów. W „Ar-
chipelagu Matematyki” wychodzi-
my poza szkolny program właśnie 
po to, żeby choć trochę odsłonić 
prawdziwą twarz matematyki. 
42  TRENDY nr  3–4/2014
„Archipelag Matematyki”, czyli jak odczarować matematykę
wzbudzić w uczniach entuzjazm, lecz 
także starać się go nie zabić... Jeśli 
mamy być skuteczni, sami musimy fa-
scynować się matematyką, cieszyć się 
nią na co dzień. To będzie trudne, jeśli 
nie powstaną nowe formy pracy, wy-
korzystujące najnowsze możliwości 
stwarzane przez technologię. 
Czym jest „Archipelag 
Matematyki”?
Projekt „Archipelag Matematyki”, 
realizowany w ramach Programu Ka-
pitał Ludzki, jest próbą wykorzysta-
nia nowych technologii do nowych 
form poznawania matematyki. Jest 
całkowitym przeciwieństwem tego, 
co powszechnie kojarzy się z nauką 
przedmiotów ścisłych. Autorzy projek-
tu postanowili wyprowadzić królową 
nauk z kategorii przedmiotów abstrak-
cyjnych, trudnych, a często wręcz spę-
dzających sen z powiek tak uczniom, 
jak i rodzicom. Dzięki wymyślonej 
przez nich innowacyjnej grze pozna-
wanie twierdzeń czy rozwiązywanie 
zadań matematycznych będzie przy-
jemnością i rozrywką. Celem pomy-
słodawców jest przełamanie niechęci 
licealistów do matematyki i spokrew-
nionych z nią dziedzin. Projekt skiero-
wany jest do wszystkich uczniów – nie 
tylko tych zainteresowanych studiowa-
niem matematyki czy fizyki. 
Pracownicy PW chcieli stworzyć spe-
cjalne, bajkowe uniwersum, w którym 
matematyka będzie przygodą i spo-
tkaniami z fascynującymi treściami 
w formie animacji, filmów, gier... Ten 
świat już istnieje, ma graficzną postać 
archipelagu z wyspami, na których 
zgrupowane są zagadnienia o zbli-
żonej tematyce. Gracz wędruje po 
nim i pokonuje różne przeszkody, 
dzięki czemu zwiększa swoje zasoby 
i możliwości działania – może nawet 
zamieszczać w tym świecie własne 
materiały i współdecydowanć o za-
mieszczaniu materiałów innych graczy. 
Celem pomysłodawców projektu było 
odczarowanie matematyki, przycią-
gnięcie do niej uczniów, którzy nie są 
nią zainteresowani, a w których drze-
mie duży potencjał. Łatwo zrozumieć 
wiele idei matematycznych, jednak gdy 
wypowiada się je w tajemniczym języ-
ku formalizmu matematycznego, robią 
wrażenie nieprzystępnych i zbyt trud-
nych. Warto pokazywać istotny sens 
problemów czy twierdzeń matema-
tycznych bez „otoczki formalizmu” – 
to przeświadczenie potwierdziły testy 
projektu w szkołach. 
Uczniowie z ponad 40 szkół odkry-
wali matematykę w ramach Klu-
bów Odkrywców Archipelagu pod 
kierunkiem nauczycieli. Po każdych 
zajęciach uczniowie i nauczyciele 
dzielili się swoimi opiniami i uwagami. 
Często byli krytyczni – dostrzegali 
różne mankamenty prezentowanych 
materiałów. Wielu członków klu-
bów pracowało bardzo aktywnie, 
poznając odczarowaną matematykę, 
przeżywając przy tym emocje charak-
terystyczne dla gier. Matematyka nie 
może zrezygnować z formalizmu, bo 
reguły wnioskowania zapewniają po-
prawność, a swoisty zapis to wspólny 
język wszystkich matematyków. Żeby 
zanęcić obojętnych, warto jednak na 
początek z niego zrezygnować. 
„Archipelag Matematyki” w obecnej 
postaci jest skierowany do uczniów 
i nauczycieli szkół licealnych. Ze 
względu na ograniczenia w niewiel-
kim stopniu można w szkole pokazać 
piękno matematyki. Uczeń rzadko ma 
okazję do przeżycia zachwytu i zadzi-
wienia, dostrzega tylko trud w prze-
TRENDY nr 3–4/2014  43
„Archipelag Matematyki”, czyli jak odczarować matematykę
dzieraniu się przez kolejne schematy 
rozwiązań, które w końcu opanowu-
je, aby zdać egzamin, często szybko 
o nich zapomina. W szkole nie ma 
czasu na pokazywanie zastosowań 
matematyki, jej współczesnych osią-
gnięć czy stawianie otwartych proble-
mów. W „Archipelagu Matematyki” 
wychodzimy poza szkolny program 
właśnie po to, żeby choć trochę od-
słonić prawdziwą twarz matematyki. 
W grupie testującej obserwowaliśmy, 
jak zmieniało się nastawienie uczniów 
do matematyki. Jeden z uczestników 
napisał w ankiecie końcowej: „Odkry-
łem, że matematyka jest fascynująca 
i nawet nie zdawałem sobie sprawy, 
że tyloma kwestiami się zajmuje”. 
W jednym z Klubów Odkrywców na 
początku testowania projektu nikt nie 
zgłaszał chęci zdawania matury roz-
szerzonej z matematyki, a pod koniec 
większość uczestników była na to 
zdecydowana.
„Archipelag Matematyki” to dla ucz- 
niów gra. Nauczyciel może wędrować 
po nim jako gracz, ale ma też specjalne 
uprawnienia – ma bezpośredni dostęp 
do wszystkich materiałów multime-
dialnych, dzięki czemu może dobie-
rać i stosować takie, które przydadzą 
się jako ilustracje do prowadzonych 
lekcji czy zajęć pozalekcyjnych; może 
definiować swoim uczniom misje, to 
znaczy plany wędrówki po różnych 
częściach archipelagu.
Realizacja projektu była dla nas wiel-
ką przygodą, odmienną od naszej 
codziennej pracy wykładowców ma-
tematyki, ale bardzo blisko związaną 
z podstawowym celem, tzn. przybliża-
niem matematyki nie tylko studentom, 
lecz także uczniom, a nawet ludziom 
niezwiązanym ani z edukacją, ani z za-
wodowym wykorzystywaniem tej 
dziedziny wiedzy. W trakcie realizacji 
projektu zostało stworzonych po-
nad 400 materiałów multimedialnych, 
w części interaktywnych, które czeka-
ją na odkrycie przez podróżujących 
po archipelagu. Zostały one ułożone 
w serie, np. niezwykłe zjawiska ma-
tematyczne, biografie słynnych ma-
tematyków, prezentacje dowodów 
matematycznych, opowiadania o pro-
blemach matematycznych, wywiady ze 
znanymi matematykami i in. 
Przyszłość projektu
Mamy przekonanie, że to dopiero po-
czątek drogi. „Archipelag Matematyki” 
jest gotowy i dostępny dla każdego, 
jednak widzimy teraz dalsze możli-
wości rozwoju – można rozszerzyć 
zakres zagadnień prezentowanych na 
wyspach archipelagu, a także wzboga-
cić już istniejące materiały o dodat-
kowe wyjaśnienia, przede wszystkim 
w formie graficznej, kolejne przykłady, 
zastosowania, problemy do samodziel-
nego rozwiązania, wskazówki. Warto 
zaprezentować problematykę bliżej 
związaną z podstawą programową. 
Chcemy, aby rolę twórców w coraz 
większym stopniu przejmowali użyt-
kownicy, czyli uczniowie we współ-
pracy z nauczycielami, w myśl zasady, 
że najlepiej rozumiemy to, co potra-
fimy skutecznie wytłumaczyć innym. 
W tym celu na platformie została 
stworzona specjalna funkcjonalność 
– Fundacja Szerzenia Nauki – która 
będzie ośrodkiem szukania tematów, 
zamieszczania pomysłów, nawiązywa-
nia współpracy. W dalszej przyszłości 
chcielibyśmy rozszerzyć grupę użyt-
kowników o gimnazjalistów i nauczy-
cieli w gimnazjach. 
Warto wspomnieć, że „Archipelag 
Matematyki” jest nie tylko miejscem 
poznawania zagadnień, na które nie 
natkniemy się w szkole, lecz także 
okazją do ćwiczenia umiejętności 
44  TRENDY nr  3–4/2014
„Archipelag Matematyki”, czyli jak odczarować matematykę
potrzebnych przy zdawaniu matury, 
a później na studiach. Jednym z ro-
dzajów przeszkód, które trzeba po-
konywać, wędrując po wyspach, jest 
rozwiązywanie tradycyjnych zadań 
z zakresu szkoły średniej. Uczniowie, 
po rozgrzewce na archipelagu, będą 
zachęcani do uczestniczenia w kon-
kursie internetowym z matematyki, 
gdzie napotkają bardziej zaawansowa-
ne problemy.
Warto podkreślić raz jeszcze, że „Ar-
chipelag Matematyki” ma zachęcić 
do uczenia się matematyki nie tylko 
tych najzdolniejszych uczniów – jego 
celem jest wyprowadzenie matema-
tyki z kategorii przedmiotów trud-
nych i abstrakcyjnych, czyli właśnie 
jej odczarowanie. Nic nie stoi na 
przeszkodzie, żeby w przyszłości po-
wstawały inne archipelagi, które sko-
rzystają z analizy naszej pracy, błędów 
czy osiągnięć.
Tadeusz Rzeżuchowski 
Doktor habilitowany, profesor nadzwyczajny Politechniki Warszaw-
skiej, adiunkt w Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych tej 
uczelni.
Pomysłodawca i organizator Powszechnego internetowego konkur-
su z matematyki dla uczniów szkół średnich (2000); pomysłodawca 
i współorganizator Zielonej Informatyki, przemianowanej później na 
Zieloną Akcję (2001). Polegała ona na wakacyjnych wyjazdach grup 
studentów do wiejskich szkół i prowadzeniu przez jeden lub dwa tygodnie zajęć z dziećmi, 
najpierw z informatyki, w następnym roku wielu innych. Zielona Akcja była zaproszona jako jeden 
z trzech polskich projektów (oprócz Festiwalu Nauki i Pikniku Naukowego) na forum Science in 
Society organizowanego przez Komisję Europejską w roku 2005, gdzie uzyskała tytuł Fenomenu 
Roku przyznawanego przez tygodnik „Przekrój”.
Pomysłodawca „Archipelagu Matematyki” i koordynator projektu o tej nazwie realizowanego 
w latach 2011–2014 przy finansowaniu przez Program Kapitał Ludzki UE. 
Barbara Roszkowska-Lech
Doktor, adiunkt w Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych 
Politechniki Warszawskiej.
Od wielu lat zaangażowana w popularyzację matematyki i pracę 
z uczniami uzdolnionymi matematycznie. Pomysłodawca, współtwór-
ca, współorganizator i wykładowca MiNI Akademii Matematyki – 
cyklu zajęć wykładów i warsztatów dla uczniów szkól warszawskich. 
Pełnomocnik dziekana wydziału MiNI ds. kontaktów ze szkołami. 
Członek zarządu Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej i zarządu Warszawskiego 
Oddziału PTM, członek Komitetu Głównego Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów. 
Zajmuje się organizacją MiNI Festiwalu Nauki w ramach Warszawskiego Festiwalu Nauki. Przy-
gotowała i wygłosiła kilkadziesiąt wykładów popularyzujących matematykę w szkołach oraz 
w ramach Uniwersytetu Dzieci, PWJunior, projektów „Mazowieckie Talenty”, „Szukając Ein-
steina – Akademia Umysłów Ścisłych”, Uniwersytetu Trzeciego Wieku. Prowadziła seminaria 
olimpijskie dla nauczycieli oraz warsztaty „Odkrywamy Matematykę”. 
W projekcie „Archipelag Matematyki” metodyk i specjalista ds. kontaktów ze szkołami.
Programowanie jako język przyszłości
Języki programistyczne nie są już 
domeną informatyków, a narzę-
dziem, które pozwala uczniom roz-
wijać myślenie kreatywne, doskonalić 
umiejętności analityczne, nadążać za 
postępem techniki i z owoców tego 
postępu świadomie korzystać. Pro-
gramowanie stało się – obok języka 
ojczystego i jednego języka obcego 
– trzecim językiem, który każdy czło-
wiek powinien znać choć na podsta-
wowym poziomie, by rozumieć ota-
czający go świat i zachodzące w nim 
zmiany.
Ulotka 5 powodów, by uczyć dzieci 
programowania


"Archipelag Matematyki" czyli jak odczarować matematykę

Kinga Gałązka

36  TRENDY nr  3–4/2014
Zajęcia z matematyki nie muszą być spacerem po 
linie zawieszonej nad przepaścią!
Uczniowie zdobywają wiedzę matematyczną we wszystkich typach szkół. Wybierają ją jako 
przedmiot dodatkowy na maturze (16% abiturientów), biorą udział w konkursach matematycz-
nych  (ponad 300 tys. uczniów corocznie próbuje swoich sił  w Międzynarodowym Konkursie 
„Kangur Matematyczny”) i osiągają w nich niemałe sukcesy (np. na Międzynarodowej Olimpia-
dzie Matematycznej w roku szkolnym 2013/2014 reprezentanci Polski zdobyli jeden złoty i czte-
ry brązowe medale). Choć powyższe dane są optymistyczne, nauczyciele mogą zaobserwować 
również inne zjawisko. Okazuje się, że w pewnym momencie nauka matematyki przestaje być 
atrakcyjna i zaczyna sprawiać coraz większe kłopoty. Jak zatem zaplanować pracę, aby zgłębia-
nie matematyki nie było dla ucznia nieprzewidywalnym spacerem po linie? 
Marketnig szkolny, czyli 
sprzedawanie wiedzy 
Warto spojrzeć okiem marketingowca 
na zajęcia matematyczne jako produkt, 
który należy dobrze sprzedać. Czy 
spełniają one potrzeby i oczekiwania 
uczących się, są atrakcyjne, odbywają 
się w sprzyjającym czasie i okoliczno-
ściach, są dobrze przygotowane tech-
nicznie i pozytywnie reklamowane? 
Zarówno materiał wprowadzany na 
zajęciach, jak i metody kształcenia 
powinny odpowiadać potrzebom 
ucznia i spełniać jego oczekiwania. 
Z reguły potrzebuje on wiedzy przy-
datnej i takiej, którą może wykorzy-
stać, stąd na egzaminach nie ma na 
ogół kłopotu z obliczeniami procen-
towymi czy średnią arytmetyczną. 
Oczekuje natomiast zadań na tyle 
łatwych, aby można je było rozwiązać 
bez zbytniego wysiłku. Mistrzostwo 
nauczyciela powinno więc polegać 
na uświadomieniu uczniom, że mogą 
samodzielnie i w nieskomplikowany 
sposób rozwiązać nawet trudne za-
dania.
Dla każdego ucznia „atrakcyjne zaję-
cia” wyglądają inaczej – dla jednego 
bowiem będą to gadżety urozmaicają-
ce tok lekcji, dla innego praca w parze 
z uzdolnionym kolegą. Uatrakcyjniając 
zajęcia, najlepiej więc wykorzystywać 
własne doświadczenia i badania dia-
gnostyczne prowadzone w określonej 
grupie dzieci lub młodzieży.
 
Nie zawsze zajęcia z matematyki 
uda się zorganizować w optymalnym 
dla uczącego się czasie. Mogą one 
bowiem wypaść np. bezpośrednio po 
lekcji wychowania fizycznego, podczas Dla każdego ucznia „atrakcyjne 
zajęcia” wyglądają inaczej – dla 
jednego bowiem będą to gadżety 
urozmaicające tok lekcji, dla inne-
go praca w parze z uzdolnionym 
kolegą. Uatrakcyjniając zajęcia, 
najlepiej więc wykorzystywać wła-
sne doświadczenia i badania dia-
gnostyczne prowadzone w określo-
nej grupie dzieci lub młodzieży.
TRENDY nr 3–4/2014  37
Zajęcia z matematyki nie muszą być spacerem po linie zawieszonej nad przepaścią!
której uczniowie grali w piłkę nożną. 
Wiadomo więc, że w ciągu najbliższej 
godziny organizm musi zregenerować 
siły fizyczne, a to nie współgra z roz-
wijaniem sił intelektualnych. Trzeba 
mieć wtedy w zanadrzu „mieszankę 
wybuchową”, czyli interesującą histo-
ryjkę czy intrygujące pytanie, które 
pobudzi szare komórki. 
Mieszanka wybuchowa 
Na ławce siedzi dwóch ojców 
i dwóch synów. Mają trzy śliwki 
i każdy dostaje po jednej. Jak to 
jest możliwe?
Zajęcia dobrze obudowane środkami 
dydaktycznymi to marzenie każdego 
ucznia. Inaczej wygląda to z perspek-
tywy nauczyciela – nowinki technicz-
ne nie zawsze zachęcają do działania, 
w niektórych przypadkach nawet roz-
praszają zamiast pomagać. W dobie 
społeczeństwa wzrokowców dobrze 
jest jednak wykorzystywać techniki 
ICT, które znakomicie przyspieszają 
tempo pracy.
No i wreszcie reklama. Pozytywna 
i wręcz entuzjastyczna – wszak ma-
tematyka to najłatwiejsza z nauk. 
Z reguły na lekcji matematyki trze-
ba zapamiętać tylko  nie więcej niż 
3 wzory, a np. na zajęciach z języka 
angielskiego do zapamiętania jest 
przynajmniej 20 słówek. Który przed-
miot jest więc łatwiejszy? Udzielenie 
odpowiedzi na pytania marketingowe 
i podjęcie odpowiednich działań ukażą 
matematykę nie jako zbiór tajemnych 
reguł, ale produkt, który można sprze-
dać po cenie korzystnej dla obu stron. 
Segmentacja 
Planując zajęcia z dana klasą, war-
to podzielić uczniów na grupy obej-
mujące uczących się o zbliżonych 
możliwościach intelektualnych, za-
interesowaniach i potrzebach. Ła-
twiej będzie wtedy dobierać metody 
i formy pracy budowane na mocnych 
stronach uczniów oraz porówny-
wać skuteczność wykorzystywanych 
metod. Dobrym pomysłem na pobu-
dzenie aktywności młodzieży jest też 
praca w grupach o zmiennym składzie. 
Wymusza to bowiem pełnienie przez 
uczących się różnych ról w grupie 
– począwszy od roli obserwatora, 
skończywszy na roli lidera. Sprzyja to 
wzajemnemu uczeniu się, wymianie 
doświadczeń i zadawaniu pytań. 
Warto preferować pracę indywidual-
ną w tempie dostosowanym do danej 
osoby. Jest to oczywiście organizacyj-
nie trudne, gdyż wymaga przygotowa-
nia wielu różnorodnych materiałów 
i ćwiczeń. W dłuższej perspektywie 
czasu baza zgromadzonych materiałów 
tego typu pozwala na szybki dobór 
odpowiednich zadań i ich modyfika-
cję. Dobrym pomysłem jest też bank 
zabawnych zadań czy historyjek, które 
sprawdzają umiejętności ukształtowa-
ne na zajęciach. Zagadki „na deser” są 
na tyle atrakcyjne, że zostaną w pamię-
ci uczących się, a co za tym idzie – zo-
stanie tam też pożądana wiedza. 
Zadanie na deser
Andrzej i Bogdan, znajdujący się 
w odległości 4 km od siebie, idą 
naprzeciw siebie z prędkością  
4 km/h. Między nimi biega pies. 
Zaczął od środka. Biegnie do Bog-
dana, zawraca, biegnie do Andrzeja, 
itd. Pies biega z prędkością 2 km/h. 
Jaką drogę przebiegnie pies, zanim 
chłopcy się spotkają? 
Burzenie zastanego
Aby przemóc zastaną w szkole sta-
gnację w kształceniu matematycznym, 
można sięgnąć do metod sprawdzo-
nych w innych dziedzinach wiedzy. 
Zamiast typowych prac projekto-
wych warto zaproponować uczniom 
wykonanie prac badawczych (wyko-
rzystywanych często np. na zajęciach 
z biologii), polegających na prak-
tycznym wykorzystaniu matematyki. 
Uczący się może odkrywać, opisywać 
i wyjaśniać fakty w oparciu o prowa-
dzone przez siebie obserwacje oraz 
badać i wykorzystywać cudze do-
świadczenia i analizy. 
Tematy tych prac powinny być dosto-
sowane do wieku uczniów, ich predys-
pozycji, możliwości i zainteresowań 
– tylko wtedy młodzi adepci matema-
tyki będą chcieli poświęcić im swój 
czas pozalekcyjny. Uczniom w każ-
dym wieku można zaproponować 
38  TRENDY nr  3–4/2014
Zajęcia z matematyki nie muszą być spacerem po linie zawieszonej nad przepaścią!
temat dotyczący złudzeń optycznych 
(np. Ile słoń ma nóg?). Dla uczących się 
ze szkoły podstawowej będzie to spo-
sobność do poznania tych zjawisk, dla 
gimnazjalistów czy licealistów – pro-
wadzenia rozważań na temat zasad 
perspektywy, rzutów, sposobu przed-
stawiania brył na płaszczyźnie. Wyniki 
najciekawszych prac uczniowie mogą 
zaprezentować rodzicom lub kolegom 
z innych klas. Prace badawcze mogą 
być wykonywane w małych, dwu- lub 
trzyosobowych grupach, wtedy umie-
jętności każdego z członków grupy są 
efektywnie wykorzystywane. 
Z kolei na zajęciach z języka polskie-
go wykorzystywane są powszechnie 
synektyczne metody kształcenia, po-
legające na stymulowaniu twórczego 
myślenia i rozwiązywaniu problemów 
poprzez myślowe łączenie ze sobą 
różnych elementów. Naczelną zasadą 
jest tu odrzucenie utartych reguł po-
stępowania. Aby wykorzystać te me-
tody na lekcjach matematyki, można 
poprosić uczących się np. o rozwiąza-
nie problemu algebraicznego metodą 
geometryczną lub odwrotnie. Proce-
dury metod synektycznych pozwala-
ją zarówno wyodrębnić coś nowego 
z sytuacji dobrze znanej uczniom, jak 
i sprowadzić nowy problem do czegoś 
znanego. 
Zabiegiem, który pomaga w uwalnia-
niu się od stereotypowego myślenia 
i pomaga zbliżyć się do omawianego 
problemu, jest w metodach synektycz-
nych analogia. Szczególnie przydatne 
są analogie fantastyczne. Z pozoru 
procesy myślowe zachodzą w sferze 
fantazji i świecie marzeń, w rzeczy-
wistości jednak nauczyciel tak kieru-
je dyskusją, aby pomysły generowane 
przez uczących się uwzględniały rze-
czywiste potrzeby i konsekwencje 
wynikające z ich koncepcji. Użycie 
analogii personalnej pozwala na wczu-
cie się uczniów w symbol i identyfi-
kację z rozważanym problemem (np. 
jakie własności ma liczba parzysta). 
Przykłady analogii
• Analogia prosta: dodawanie 
i odejmowanie ułamków zwy-
kłych.
• Analogia fantastyczna: Co by 
było, gdyby można było dzielić 
przez zero?
• Analogia personalna: Jestem licz-
bą parzystą…
Nauczyciele z Saturna, 
uczniowie z Merkurego?
Uczniowie twierdzą, że język, jakim 
posługują się nauczyciele, jest dla nich 
kompletnie niezrozumiały. Podobnie 
uważają nauczyciele, którzy słucha-
ją ucznia stojącego przy tablicy. Żeby 
więc nauczyciele i uczniowie nie byli 
jak mieszkańcy Saturna i Merkurego 
mówiący różnymi językami, wskazane 
jest utworzenie wspólnego systemu 
porozumiewania. Jedną z propozycji 
jest język szarad, kalamburów i rebu-
sów. 
Szarada może mieć różne formy – 
np. wiersza, w którym zaszyfrowano 
zdanie lub wyraz (np. pojęcie mate-
matyczne), albo odgrywanej scenki. 
Kalambur to gra słów o zbliżonym 
brzmieniu, ale różnych znaczeniach. 
Szukany wyraz odczytujemy w wyniku 
przekształcenia wyrazów lub wyko-
rzystania ich fragmentów. Rebus skła-
da się z rysunków, wyrazów i symboli 
ułożonych w określonym porządku, 
a zadaniem uczącego się  jest odna-
lezienie zaszyfrowanego w ten spo-
sób hasła. Taki nieszablonowy sposób 
wymiany informacji sprzyja utrwala-
niu trudnych pojęć i terminów mate-
matycznych. Co prawda nie ma zbyt 
wielu gotowych materiałów do wyko-
rzystania przez nauczyciela, ale zawsze 
można liczyć na pomysły uczniów. 
Transakcja komplementarna 
Transformacje zachodzące we współ-
czesnej szkole pozwalają  na stopnio-
we ograniczenie roli nauczyciela do 
roli tutora zadającego pytania napro-
wadzające, a nie bezpośrednio wska-
zującego drogę rozwiązania. 
Mistrzostwo nauczyciela powinno 
polegać na uświadomieniu uczniom, 
że mogą samodzielnie i w nieskom-
plikowany sposób rozwiązać nawet 
trudne zadania.
TRENDY nr 3–4/2014  39
Zajęcia z matematyki nie muszą być spacerem po linie zawieszonej nad przepaścią!
Tutoring szczególnie skutecznie roz-
wija potencjał uczących się oraz mo-
tywuje ich do samodzielnej pracy. 
Tak stymuluje motywację ucznia, aby 
powstała u niego potrzeba zdobycia 
określonej wiedzy. Tutor przejmu-
je wtedy kontrolę nad tą potrzebą 
i zwraca ją w określonym kierunku. 
Nie tylko przekazuje i weryfikuje wie-
dzę, lecz także uczy nieschematycz-
nych sposobów myślenia potrzebnego 
do odnajdywania połączeń między 
znanymi faktami. Pozwala na indywi-
dualne sposoby pracy nad problemem, 
ale sugeruje najefektywniejsze metody 
szybko prowadzące do celu. Czas roz-
wiązywania zadania jest bowiem istot-
ny dla ucznia przygotowującego się do 
sprawdzianu bądź egzaminu. Tutor po-
kazuje różne strategie rozwiązywania 
zadań zamkniętych (np. odrzucanie 
nieprawdopodobnych lub niemożli-
wych odpowiedzi) i otwartych. 
Przynęty
Od czasu do czasu kreatywny na-
uczyciel może zastosować pozytywną 
manipulację, aby skłonić przynajmniej 
część uczniów do bliższego zaintere-
sowania się danym tematem. Może 
mieć ona formę przynęty zachęca-
jącej do samodzielnego poszperania 
w internecie czy bibliotece w celu 
pogłębienia tematu. Może to być też 
intrygujące wprowadzenie do zajęć 
lub inny bodziec pozbawiający stresu 
lekcyjnego. Przykładowe przynęty opi-
suję poniżej. 
Starter
Starter to przykuwające uwagę roz-
poczęcie zajęć – inscenizacja, drama 
lub anegdotka nawiązująca do tematu 
lekcji.
Anegdota wprowadzająca do 
zajęć związanych z pojęciem 
funkcji: Kartezjusz był bardzo to-
warzyski, odwiedzało go więc wielu 
znajomych. Ponieważ cieszył się sła-
wą wybitnego naukowca, często 
proszono go o pokazanie narzędzi, 
którymi wykonuje konstrukcje geo-
metryczne. Jakież było ich rozcza-
rowanie, gdy Kartezjusz wyjmował 
złożoną kartkę papieru zamiast li-
nijki i złamany cyrkiel. 
Historyjka wprowadzająca do 
zajęć związanych z rachun-
kiem prawdopodobieństwa: Za 
jeden z pierwszych wynalazków 
ludzkości uważa się gry hazardowe, 
a szczególnie grę w kości. W śre-
dniowieczu zaczęto zastanawiać się, 
jak dzielić stawkę pomiędzy zawod-
ników biorących udział w grze. Za-
danie polegało na tym, aby w chwili 
przerwania gry sprawiedliwie doko-
nać podziału stawki, jaka jest prze-
widziana dla zwycięzcy. Roz- 
wiązaniem tego zagadnienia przez 
wieki zajmowały się najwybitniejsze 
umysły. Odpowiedź odnaleziono 
dopiero w XVII w. – stawkę należy 
podzielić proporcjonalnie do praw-
dopodobieństwa wygrania całej 
stawki, gdyby gra była kontynuowa-
na do zwycięstwa. 
Powołanie eksperta
Każdy uczeń podejmuje się roli eks-
perta – wybitnego znawcy przynaj-
mniej jednego ważnego zagadnienia 
programowego. Musi więc poznać je 
dogłębnie, ponieważ to do niego, a nie 
do nauczyciela, będą zwracać się po-
zostali, gdy okaże się, że mają wątp- 
liwości, np. podczas obliczania pola 
trójkąta. Ekspert może też przygoto-
wać fragment zajęć czy pokazać kole-
gom prostsze sposoby rozwiązywania 
zadań z danego zakresu.
Ujawnienie nieznanego
Polega na wcześniejszym podaniu te-
matu następnej (lub kilku następnych) 
lekcji i poproszeniu uczących się, aby 
zapoznali się z potrzebną teorią opisa-
ną na konkretnych stronach podręcz-
nika. W ten sposób unika się sytuacji, 
w których uczeń twierdzi, że nie ro-
zumie treści zadania z powodu niezna-
jomości pojęć zawartych w poleceniu. 
Czytając samodzielnie tekst matema-
tyczny, uczący się poznaje też wzor-
ce poprawnego komunikowania się 
językiem matematyki. Może dokonać 
samooceny – ile zrozumiał, zapamiętał 
Rys.1 Ważne dla uczącego się
40  TRENDY nr  3–4/2014
Zajęcia z matematyki nie muszą być spacerem po linie zawieszonej nad przepaścią!
i potrafi po przeczytaniu wskazanego 
tekstu. 
Bodźce wirtualne
Jeśli nauczyciel ma możliwość komu-
nikowania się z uczniami za pośred-
nictwem platformy edukacyjnej (np. za 
pomocą dziennika elektronicznego), 
może przesłać im wcześniej przygo-
towaną prezentację multimedialną 
wprowadzającą do jakiegoś zagad-
nienia i poprosić o uzupełnienie jej 
o 2–3 następne slajdy (dotyczące np. 
zastosowania teorii). W ten sposób 
zaciekawia, ale też zachęca do poszu-
kiwania i korzystania z informacji uzy-
skanych z różnych źródeł.
Promocje
Raz czy dwa razy w semestrze na-
uczyciel, oceniając uczniów, może 
zastosować tzw. promocje – np. pole-
gające na niestawianiu w danym dniu 
ocen negatywnych albo postawie-
niu oceny bardzo dobrej komuś, kto 
napisze sprawdzian najlepiej z całej 
klasy, bez względu na to, jaką oce-
nę powinien otrzymać na podstawie 
ustalonych kryteriów. Promocja jako 
element miłego zaskoczenia zachęca 
uczących się do wzmożonych wy-
siłków, pozbawia też strachu przed 
otrzymaniem jedynki. 
Dynamiczna fantazja
Co jakiś czas warto pozwolić sobie na 
odrobinę fantazji i zdynamizować zaję-
cia matematyczne, organizując je w te-
renie. Może to być aktywna wycieczka 
do urzędu skarbowego, banku, mu-
zeum nauki i techniki czy centrum gier 
i łamigłówek. Po drodze można zajrzeć 
do ogrodowych labiryntów, obejrzeć 
zegar słoneczny lub budowle ciekawe 
z matematycznego punktu widzenia 
(np. symetryczne). Wycieczka pokaże 
praktyczne zastosowanie zagadnień 
teoretycznych, a przygotowane wcze-
śniej karty pracy pomogą młodzieży 
inaczej spojrzeć na ulice miast, gdzie 
dostrzegą nie tylko wystawy sklepo-
we, lecz także budowle oznaczone 
cyframi rzymskimi, domy oznaczone 
niekoniecznie kolejnymi liczbami natu-
ralnymi, figury podobne w ornamen-
tach, przekształcenia geometryczne 
w układach posadzek i chodników. 
Z kolei idąc ulicą w mniejszej miejsco-
wości, uczniowie zaobserwują proste 
zależności geometryczne – będą po-
dziwiać płoty, kształty dachów, ułoże-
nie liści na łodydze.
Praktyczne refleksje
Ważne dla uczącego się (por. rys. 1, 
s. 39):
• Kwestionuj oczywistość. 
• Dokładnie analizuj problem.
• Stwórz plan rozwiązania problemu.
• Porównuj i przeciwstawiaj. 
• Rozważaj różne warianty. 
• Myśl nieschematycznie.
• Dostrzegaj związki przyczynowo-
-skutkowe. 
• Świadomie podejmuj decyzje.
• Ucz się samodzielnej pracy.
• Zadawaj przemyślane pytania.
• Twórz dowody na poparcie hipotez.
Ważne dla tutora/moderatora:
• Nie pytaj, czego uczeń nie rozumie 
– pytaj o rozwiązywany problem.
• Formułuj jasne komunikaty.
• Unikaj podwójnych komunikatów.
• Zadawaj pytania otwarte.
• Oddaj uczącym się przestrzeń ucze-
nia. 
• Pokaż pozytywne przykłady krytycz-
nego myślenia.
• Rozbudzaj ciekawość.
• Stosuj różnorodne metody i formy 
pracy.
• Ucz myślenia i uczenia się.
Kinga Gałązka
Przez wiele lat pracowała jako nauczycielka 
matematyki w szkole podstawowej, a na-
stępnie ponadgimnazjalnej. Pełniła również 
funkcję doradcy metodycznego. Obecnie jest 
pracownikiem Politechniki Łódzkiej.
Jest rzeczoznawcą MEN do spraw podręczni-
ków szkolnych, egzaminatorem maturalnym, 
gimnazjalnym, autorką wielu podręczników, 
materiałów edukacyjnych, artykułów, scena-
riuszy zajęć do kształcenia matematycznego 
na wszystkich etapach edukacyjnych. 
Na terenie całej Polski prowadzi zajęcia po-
święcone np. kreatywnym, innowacyjnym 
metodom kształcenia. Była koordynatorem 
ogólnopolskim i wojewódzkim kilku inno-
wacyjnych projektów, m.in. wdrażających ICT 
do praktyki szkolnej. Współpracuje z ORE 
i Uniwersytetem w Toruniu w zakresie pracy 
z uczniem zdolnym. 
Popularyzatorka postrzegania matematyki 
jako nauki interdyscyplinarnej, pomagającej 
w holistycznym pojmowaniu rzeczywistości. 


Zajęcia z matematyki nie muszą być spacerem po linie zawieszonej nad przepaścią

Poradnik dla nauczycieli przygotowujących uczniówdo interpretacji utworów poetyckich na maturz

Iwona Kulpa-Szustak

Joanna Wojtulewicz

„Wszystko jest poezja...”

Artykuł z numeru 3-4/2014 internetowego czasopisma TREND

Jerzy Chodnicki

O niektórych przyczynach trudności w uczeniu się matematyki

Józef Daniel

TRENDY nr 3–4/2014  25
Matura z matematyki od 2015 
– łączenie starego i nowego
Od roku szkolnego 2014/2015 matura z matematyki po raz pierwszy będzie sprawdzać poziom opa-
nowania umiejętności zapisanych w podstawie programowej, a nie jak dotychczas – w standardach 
wymagań egzaminacyjnych. Zdający będą mieli okazję wykazać się znajomością zagadnień, które nie 
występowały na maturze w poprzednich latach: np. na poziomie podstawowym maturzyści wyznaczą 
wartości funkcji trygonometrycznych kątów rozwartych, a na poziomie rozszerzonym – zastosują 
pochodne do wyznaczania ekstremum funkcji.
Należy jednak podkreślić, że wciąż 
najważniejszą rolę w przygotowa-
niu uczniów do matury odgrywa na-
uczyciel. Eliminowanie błędów, dobór 
najlepszych metod rozwiązania czy 
rozwiązywanie nietypowych proble-
mów przy wykorzystaniu znanych 
już zagadnień – to tylko przykładowe 
umiejętności, których kształcenie bez 
mentora jest prawie niemożliwe. Każda 
nowa klasa, a w niej każdy uczeń, ozna-
cza dla nauczyciela nowe wyzwania.
Czego Jaś się nie nauczył…
Jak pokazują rezultaty egzaminu ma-
turalnego z matematyki w 2014 r., 
poważnym problemem dla zdających 
są niedostatecznie opanowane umie-
jętności kształcone w szkole podsta-
wowej i gimnazjum. Na tegorocznej 
maturze najniższy poziom wykonania, 
zaledwie 8%, miało zadanie dotyczące 
dzielenia z resztą:
Udowodnij, że każda liczba całko-
wita k, która przy dzieleniu przez 
7 daje resztę 2, ma tę własność, że 
reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 
jest równa 5.
Najważniejszą przeszkodą dla zda-
jących okazał się w tym przypadku 
brak umiejętności zapisania reszty 
2 lub 5 przy dzieleniu liczb całkowi-
tych. Bardzo często w rozwiązaniach 
pojawiały się zapisy typu k : 7 = l + 2 
lub k : 7 = 7l + 2 zamiast poprawnego 
k : 7 = l +     . Z zadaniami na dzielenie 
z resztą uczniowie spotykają się już 
podczas nauki w szkole podstawowej, 
a od gimnazjalistów można oczekiwać, 
że potrafią zapisać wyrażenie algebra-
iczne przedstawiające liczbę całkowitą, 
która dzieli się przez 7 z resztą 2 lub 
5. Tymczasem maturzyści albo nie na-
byli takiej umiejętności na wcześniej-
szym etapie kształcenia, albo utracili 
ją w trakcie opanowywania bardziej 
zaawansowanych sprawności w szkole 
ponadgimnazjalnej.
Oto kolejny przykład zadania matu-
ralnego, charakteryzującego się niskim 
poziomem wykonania:
Do wykresu funkcji określonej 
dla wszystkich liczb rzeczywistych 
wzorem y = - 2
x-2 należy punkt
A. A = (1, -2) B. B = (2, - 1) 
C. C = (1, 12 ) D. D = (4,4)
 
Zaledwie 24% maturzystów popraw-
nie rozwiązało to zadanie. Bardzo 
liczna grupa absolwentów szkół po-
nadgimnazjalnych nie odróżnia zapi-
su typu - 2n od ( - 2)n, wielu z nich nie 
potrafi dodać dwóch liczb o różnych 
znakach. Wymienione tu umiejętno-
ści nie powinny być obce żadnemu 
gimnazjaliście, a tymczasem dla prze-
ważającej większości maturzystów 
rozwiązanie tego zadania było nie lada 
wyzwaniem.
Egzamin maturalny bada opanowanie 
umiejętności kształconych w szkole 
podstawowej, gimnazjum i szkole 
ponadgimnazjalnej, zatem osoby 
przystępujące do matury nie powin-
ny być zaskoczone zadaniami odwo-
łującymi się do wiedzy nabytej we 
wczesnych etapach kształcenia, a na-
uczyciele liceów i techników muszą 
wspierać maturzystów w opanowa-
niu i doskonaleniu tych sprawności. 
W tym celu należy zdiagnozować, czy 
uczniowie rozpoczynający naukę na 
IV etapie edukacyjnym prawidłowo 
rozumieją pojęcia i w jakim stopniu 
przyswoili pożądane umiejętności. Je-
śli takie badania „na starcie” w liceum 
przyniosą niezadowalające wyniki, 
w szczególności gdy występuje realne 
zagrożenie możliwości realizacji mate-
riału przewidzianego dla szkoły ponad-
gimnazjalnej, to nieodzowne może się 
okazać wdrożenie nadzwyczajnego 
programu nauczania, ponadprzecięt-
2
7
26  TRENDY nr  3–4/2014
Matura z matematyki od 2015 – łączenie starego i nowego
nie angażującego samych uczniów. 
Bez nadzwyczajnych działań i przyję-
cia znaczącej części odpowiedzialności 
za własne kształcenie przez uczniów 
trudno będzie osiągnąć zadowalający 
wynik na maturze. Braki z gimnazjum 
nie powinny być eliminowane kosztem 
czasu, który w liceum jest przeznaczo-
ny na ćwiczenie umiejętności wynika-
jących z programu nauczania. 
Drobna zmiana?  
Tego nie omawialiśmy!
Istotną trudność dla maturzystów sta-
nowi zwykle zrozumienie treści zada-
nia. Na ogół każde, nawet nieznaczne 
odejście od schematycznego ujęcia za-
gadnienia powoduje obniżenie pozio-
mu wykonania zadania. Zastanawiające 
jest szczególnie to, że niższe wyniki 
uczniowie uzyskują również w przy-
padku ułatwienia rozwiązywanego 
problemu lub poszerzenia zakresu 
możliwości poszukiwania rozwiązania. 
Nowe, nietypowe czy nieschematycz-
ne sformułowania danego zagadnienia 
są traktowane przez maturzystów jak 
niepożądana niespodzianka, nawet gdy 
upraszczają drogę poszukiwania roz-
wiązania.
W maju 2014 r. w arkuszu maturalnym 
znalazło się, jak co roku od 2010 r., 
zadanie osadzone w kontekście prak-
tycznym, które można rozwiązać za 
pomocą równania kwadratowego:
Turysta zwiedzał zamek stojący na 
wzgórzu. Droga łącząca parking 
z zamkiem ma długość 2,1 km. 
Łączny czas wędrówki tur ysty 
z parkingu do zamku i z powro-
tem, nie licząc czasu poświęco-
nego na zwiedzanie , był równy  
1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką 
średnią prędkością turysta wchodził 
na wzgórze, jeżeli prędkość ta była 
o 1 km/h mniejsza od średniej pręd-
kości, z jaką schodził ze wzgórza.
Prawie 90% zdających podjęło próbę 
rozwiązania tego zadania, co może 
oznaczać, że w ramach przygotowań 
do egzaminu tego typu zadania były 
powszechnie rozwiązywane. Tymcza-
sem poziom jego wykonania na matu-
rze to zaledwie 13%. Trzeba tu 
zaznaczyć, że w ciągu czterech po-
przednich lat, w przypadku analogicz-
nych poleceń, ten poziom wahał się 
w przedziale 44–32% i mimo że z każ-
dym rokiem był coraz niższy, to spa-
dek nigdy nie był tak drastyczny jak 
w tym roku.
Najprawdopodobniej przyczyną ob-
niżenia poziomu wykonania zadania 
była zmiana w sposobie przedstawie-
nia wielkości danych, a konkretnie 
odmienne sformułowanie informacji 
o dwóch przedziałach czasu. W po-
dobnych sytuacjach na maturze w la-
tach poprzednich wykorzystywano 
sformułowania odwołujące się do 
porównywania dwóch wielkości, np. 
pierwszy pociąg przebył trasę w czasie 
o 40 minut krótszym niż drugi pociąg 
albo pociąg pospieszny pokonuje tę tra-
sę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobo-
wy. W tym roku zamiast porównania 
podano sumę dwóch wielkości. Oka-
zało się to sporym zaskoczeniem dla 
maturzystów. Bardzo popularnym błę-
dem przy rozwiązywaniu omawianego 
zadania było założenie, że podany czas 
– 1 godzina i 4 minuty – to różnica 
między czasem pokonania drogi tam 
i czasem pokonania drogi z powrotem. 
Innym błędem pojawiającym się w roz-
wiązaniach była niepoprawna zamiana 
jednostek czasu. Część maturzystów 
przyjęła, że godzina ma 100 minut, 
pojawiły się też osoby, dla których 
godzina ma 10 minut. Przypomnę, że 
umiejętność zamiany jednostek czasu 
jest kształtowana na poziomie szkoły 
podstawowej.
Od lat maturzyści postrzegają zmiany 
w sposobie ujęcia treści jako wpro-
wadzanie nieznanych zagadnień. Oto 
przykład innego popularnego zadania 
– równanie stopnia trzeciego. W bie-
żącym roku w arkuszu maturalnym za-
danie to było sformułowane w sposób 
najbardziej typowy:
Rozwiąż równanie 
9x3 + 18x2 - 4x - 8 = 0.
Wynik uzyskany przez maturzystów, 
tj. poziom wykonania wynoszący 65%, 
jest najwyższy za tego typu zadanie 
w historii matur. W innych latach ten 
wynik był równy 61%, z wyjątkiem 
jednego roku, kiedy był wyraźnie niż-
szy. W 2012 r. poziom wykonania za-
dania wyniósł 53%, bo wtedy zamiast 
sformułowania rozwiąż równanie poja-
wiło się inne polecenie, choć zadanie 
sprawdzało tę samą umiejętność, czyli 
polegało na rozwiązaniu równania 
stopnia trzeciego:
Liczby x1 = - 4 i x2 = 3 są pierwiast-
kami wielomianu W(x) - x3 + 4x2 - 
- 9x - 36 = 0. Oblicz trzeci pierwia-
stek tego wielomianu.
To ułatwienie problemu okazało się 
dla zdających utrudnieniem.
Nie taki diabeł straszny…
Zmiany w sformułowaniach treści 
zadań i konieczność poszukiwania 
nowych modeli matematycznych nie 
zawsze uczniów zaskakują. W przy-
padku rachunku prawdopodobieństwa 
co roku obserwujemy lepsze wyniki, 
mimo że zadania wymagają za każdym 
Ważne jest, żeby w trakcie nauki 
nie zmarnować okazji do używania 
wzorów jako nośnika informacji 
o obiektach, których dotyczą. Na 
różnych etapach edukacyjnych 
można zachęcać uczniów do inter-
pretowania własności opisanych 
wzorami.
TRENDY nr 3–4/2014  27
Matura z matematyki od 2015 – łączenie starego i nowego
razem uporania się z nowym sformu-
łowaniem, a treści poszczególnych 
zadań często nie dają się porównać 
w prosty sposób. 
Oto zadanie z maja 2014:
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
losujemy dwa razy po jednej liczbie 
ze zwracaniem. Oblicz prawdopo-
dobieństwo zdarzenia A, polegające-
go na wylosowaniu liczb, z których 
pierwsza jest większa od drugiej o 4 
lub 6.
Za rozwiązanie tego zadania uczniowie 
uzyskali 54% punktów możliwych do 
zdobycia. Warto zaznaczyć, że przed-
stawione przez maturzystów rozwiąza-
nia były nacechowane indywidualnym 
podejściem, niepowtarzalnym sposo-
bem zapisu rozwiązania. Zdarzały się 
prace maturalne, w których przedsta-
wiano dwa sposoby rozwiązania tego 
zadania. Oznacza to najprawdopodob-
niej, że jeśli uczniowie zrozumieją za-
gadnienie, nie stronią od poszukiwania 
własnych metod rozwiązania. 
Może zatem nauczyciele powinni 
przeanalizować sytuacje, w których 
uczniowie chętnie rozwiązują zadania 
swoimi sposobami i, jeżeli te sposoby 
są poprawne, docenić inwencję, po-
zwolić zaprezentować te metody na 
forum klasy lub grupy. W miarę moż-
liwości trzeba próbować przenieść 
zapał twórczy także na zagadnienia 
mniej lubiane i gorzej przyswojone, np. 
proponować rozwiązywanie zadań, 
które łączą tematy dobrze opanowane 
z tymi mniej przyjaznymi.
Wyniki egzaminów maturalnych 
z matematyki wyraźnie wskazują, że 
najchętniej i z najlepszym skutkiem 
uczniowie podejmują się wykonania 
tych zadań, w których pojawiają się: 
potęga o wykładniku 0, poszukiwa-
nie wyrazów ciągu geometrycznego 
lub arytmetycznego, rozwiązywanie 
równania kwadratowego, wartość 
bezwzględna. Od tych zagadnień war-
to zacząć przekonywać uczniów do 
poszukiwania własnych sposobów 
rozwiązań, a przy ich realizacji ekspe-
rymentować z użyciem różnych sfor-
mułowań tego samego problemu. 
Podstawiamy do wzoru czy nie?
Na maturze na poziomie rozsze-
rzonym najniższy wynik (poziom 
wykonania 19%) zdający uzyskali za 
rozwiązanie zadania odwołującego się 
do własności ciągu geometrycznego:
Ciąg geometryczny (an) ma 100 wy-
razów i są one liczbami dodatnimi. 
Suma wszystkich wyrazów o nu-
merach nieparzystych jest sto razy 
większa od sumy wszystkich wyra-
zów o numerach parzystych oraz 
log a1+log a2+log a3+...+log a100=100. 
 
Oblicz a1.
Do rozwiązania tego zadania wystar-
czała znajomość podstawowych wzo-
rów opisujących ciągi geometryczne 
i ich własności. W szczególności po 
zapisaniu wzoru na n-ty wyraz ciągu 
geometrycznego i sumę stu wyra-
zów tego ciągu trzeba było zauważyć 
relację między sumą wyrazów o nu-
merach parzystych i sumą wyrazów 
o numerach nieparzystych oraz wy-
korzystać wynikającą z definicji ciągu 
geometrycznego zależność między 
kolejnymi wyrazami, np. opisaną wzo-
rami:a2=a1.q , a4=a3.q, … , a100=a9.q. 
Przy wyznaczaniu ilorazu q ciągu nie 
musiały pojawić się żadne skompliko-
wane rachunki, a do rozwiązania zada-
Każdy egzamin maturalny to dla 
uczniów i nauczycieli poważne 
wyzwanie edukacyjne, a matura 
w 2015 r. jest szczególna ze wzglę-
du na konieczność łączenia pod-
czas przygotowań doskonalenia 
umiejętności sprawdzanych po raz 
pierwszy od wielu lat z próbą eli-
minowania błędów typowych dla 
egzaminów z ostatnich lat. 
Nauczyciele powinni przeanalizo-
wać sytuacje, w których uczniowie 
chętnie rozwiązują zadania swoimi 
sposobami i, jeżeli te sposoby są 
poprawne, docenić inwencję, po-
zwolić zaprezentować te metody 
na forum klasy lub grupy.
28  TRENDY nr  3–4/2014
Matura z matematyki od 2015 – łączenie starego i nowego
nia potrzebna była jeszcze znajomość 
wzoru na logarytm sumy. Problemem 
dla zdających było najwyraźniej wyko-
rzystanie wzorów do wnioskowania, 
a nie do podstawiania danych.
Ważne jest, żeby w trakcie nauki nie 
zmarnować okazji do używania wzo-
rów jako nośnika informacji o obiek-
tach, których dotyczą. Na różnych 
etapach edukacyjnych można zachęcać 
uczniów do interpretowania własności 
opisanych wzorami – np. we wzorze 
na pole trójkąta pozwolić dostrzec 
informację, że wszystkie trójkąty o tej 
samej wysokości i tej samej podsta-
wie mają równe pola, a ze wzorów na 
objętość ostrosłupa i graniastosłupa 
wywnioskować, że graniastosłup ma 
trzy razy większą objętość niż ostro-
słup mający taką samą podstawę i taką 
samą wysokość jak ten graniastosłup. 
Wzory można wykorzystać do spraw-
dzenia poprawnego rozumienia po-
jęć – przykładowo wzory opisujące 
ciągi arytmetyczne i geometryczne 
stwarzają możliwość ustalenia, które 
nieskończone podciągi tych ciągów 
zachowują arytmetyczność lub geo-
metryczność (np. podciąg wyrazów 
o numerach parzystych w przypadku 
ciągu geometrycznego jest nowym 
ciągiem geometrycznym o ilorazie q2, 
a w przypadku ciągu arytmetyczne-
go – nowym ciągiem arytmetycznym 
o różnicy 2r).
Ocenianie matury 
Przy sprawdzaniu i ocenianiu arku-
szy maturalnych w przypadku zadań 
otwartych egzaminatorzy zastosują 
podejście holistyczne. Oznacza to, że 
liczba punktów przyznanych za roz-
wiązanie będzie zależeć od tego, jak 
zaawansowane są rozumowanie i dzia-
łania zmierzające do uzyskania odpo-
wiedzi na pytanie zawarte w zadaniu. 
Nie będzie zatem oceniania poszcze-
gólnych umiejętności, ale docenione 
zostaną umiejętność planowania roz-
wiązania i stopień realizacji obranej 
metody. Uczeń, który opanuje szereg 
drobnych umiejętności, będzie mógł 
otrzymać punkty w zadaniach za-
mkniętych. W przypadku zadań otwar-
tych egzaminatorzy ocenią całościowe 
rozumienie zagadnienia – w razie bra-
ku zauważalnego postępu może się 
okazać, że liczba punktów uzyskana za 
przedstawione rozwiązanie nie będzie 
satysfakcjonująca.
Każdy egzamin maturalny to dla 
uczniów i nauczycieli poważne wy-
zwanie edukacyjne, a matura w 2015 r. 
jest szczególna ze względu na koniecz-
ność łączenia podczas przygotowań 
doskonalenia umiejętności spraw-
dzanych po raz pierwszy od wielu lat 
z próbą eliminowania błędów typo-
wych dla egzaminów z ostatnich lat. 
Józef Daniel
Ekspert Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, 
matematyk o specjalności nauczycielskiej 
(Uniwersytet Jagielloński); nauczyciel 
matematyki w liceum ogólnokształcącym; 
edukator i kierownik grupy matematycznej 
programu Kreator, odpowiedzialnego za 
wdrożenie do polskiego systemu nauczania 
umiejętności kluczowych; redaktor licznych 
publikacji edukacyjnych, szczególnie 
z zakresu matematyki.
„Matematykiem postanowiłem zostać trochę 
na przekór pani profesor z liceum. Nigdy we 
mnie nie wierzyła, tak mi się przynajmniej 
wydawało, nie doceniała moich sposobów 
dochodzenia do rozwiązania. Zazwyczaj 
zanim skończyłem uzasadniać sensowność 
własnych pomysłów, musiałem realizować 
krok po kroku narzucony sposób rozwiązania. 
A przecież byłem w stanie własnymi metodami 
wyjaśniać zagadnienia i miałem dobre efekty, 
co sprawdzałem na znajomych z innych szkół, 
kiedy tłumaczyłem im matematykę swoimi 
sposobami. Gdy już zostałem studentem na 
kierunku matematyka, szybko się przekonałem, 
że moje własne sposoby są znane innym, 
są dopuszczalne i można je propagować. 
To utwierdziło mnie w trafności wyboru 
kierunku studiów”.
Uczeń, który opanuje szereg drob-
nych umiejętności, będzie mógł 
otrzymać punkty w zadaniach za-
mkniętych. W przypadku zadań 
otwartych egzaminatorzy ocenią 
całościowe rozumienie zagadnienia.
TRENDY nr 3–4/2014  29
XxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxX
Źródła diagnozy matematycznej
Badania, warsztaty, rekomendacje, 
narzędzia dla nauczycieli, koncepcja 
szkół ćwiczeń, „Bydgoski Bąbel Ma-
tematyczny”, nowatorskie metody 
pracy z uczniem – tak Instytut Badań 
Edukacyjnych działa na rzecz poprawy 
jakości nauczania matematyki. 
Matematyka jest przedmiotem zainte-
resowania IBE od pierwszego raportu 
o stanie edukacji Społeczeństwo w dro-
dze do wiedzy do ostatniego Liczą się 
nauczyciele. Instytut przeprowadził 
10 badań, dzięki którym sporządził 
diagnozę matematycznych umiejęt-
ności uczniów, nauczycieli i osób 
dorosłych, a także zidentyfikował 
problemy związane z nauczaniem ma-
tematyki. Wypracował rekomendacje 
dla nauczycieli i narzędzia (dostępne 
w Bazie Narzędzi Dydaktycznych), 
a w ramach programu „Narzędzia 
w działaniu” wdraża konkretne pomy-
sły na prowadzenie lekcji matematyki. 
IBE wykorzystał i zanalizował również 
badania przeprowadzone przez inne 
podmioty, w tym PISA 2012 (zespół 
PISA pracuje w IBE), TEDS-m, TIMSS. 
Instytut wspiera również nauczanie 
matematyki przez „Bydgoski Bąbel 
Matematyczny”, czyli działania gru-
py samokształceniowej nauczycielek 
edukacji wczesnoszkolnej. Współ-
pracując ze sobą, wymieniając się 
doświadczeniami oraz uczestnicząc 
w szkoleniach prowadzonych przez 
ekspertów IBE, grupa wypracowała 
i wprowadziła do swojej codziennej 
pracy z uczniami nowe podejście do 
rozwijania umiejętności matematycz-
nych dzieci. Instytut sam wprowadza 
nowatorskie metody wsparcia na-
uczania matematyki na etapie wcze-
snoszkolnym – poprzez gry planszo-
we i lekcje rytmiki. Poprzez badanie 
porównywalności wyników egzami-
nacyjnych oraz kalkulator Edukacyjnej 
Wartości Dodanej IBE udostępnia 
narzędzia do oceny pracy szkoły i sys-
temu. 
Badania IBE dotyczące 
kompetencji matematycznych
• Ogólnopolskie badanie umiejętności 
trzecioklasistów (OBUT); 
• Diagnoza umiejętności matematycz-
nych piątoklasistów (DUMa);
• Diagnoza umiejętności szóstoklasi-
stów (DUSZa) – badanie w trakcie 
realizacji;
• Diagnoza kompetencji gimnazjali-
stów;
• Szkoła samodzielnego myślenia;
• Badanie nauczania matematyki 
w gimnazjum;
• Badanie nauczania matematyki 
w szkole podstawowej (raport 
w trakcie opracowywania);
• Badanie potrzeb nauczycieli edukacji 
wczesnoszkolnej i matematyki w za-
kresie rozwoju zawodowego (ra-
port w trakcie opracowywania);
• Survey of Health, Ageing and Retire-
ment in Europe (SHARE), czyli kom-
petencje osób 50+;
• Międzynarodowe Badanie Kompe-
tencji Osób Dorosłych PIAAC.
Opracowała: 
Natalia Skipietrow, 
Instytut Badań Edukacyjnych
29  TRENDY nr  3–4/2014


Matura z matematyki od 2015 - łączenie starego i nowego

Broszura instruktażowa dla rodziców dzici w wieku przedszkolnym, przygotowana w ramach projektu systemowego "Doskonalenie strategii zarządzania oświatą na poziomie regionalnym i lokalnym II etap

Not a member yet