Modeling and Analysis of Information Systems / Моделирование и анализ информационных систем (МАИС)
Not a member yet
782 research outputs found
Sort by
Исследование моделей топологических отношений пространственных объектов
Get PDFIn map production it is necessary to keep the spatial relationships between map objects. Generalization is the simplification performed on geographical data when decreasing its representation scale. It is a common practice to simplify each type of spatial objects independently (administrative boundaries first, then road network, hydrographic network, etc.). During the process some spatial conflicts, which require manual correction, arise inevitably. The generalization automation still remains an open issue for data producers and users. Many researchers are working to achieve a higher level of automation. In order to detect the spatial conflicts a refined description of spatial relationships is needed.The paper analyzes models of describing topological relationships of spatial objects: the nine intersections model, the topological chain model and the E-WID model. Each considered model allows to take into account some relations between objects, but does not allow to transfer them exactly. As a result, the task of developing a model of relations preserving topology is relevant. We have proposed an improved model of nine intersections, which takes into account the topological conflict that occurs when a point object is located next to a simplified line. Line simplification is one of the most requested actions in map production and generalization. When the mesh covered the map inside the cell there can be points, line segments and polygonal topological objects, which, if the cell is rather small, are polyline objects. Thus, the issue of simplification of topological objects within a cell is reduced to the issue of simplification of linear objects (polylines). The developed algorithm is planned to be used to solve the problem of consistent generalization of spatial data. The ideas outlined in this article will form the basis of a new index of spatial data that preserves their topological relationships.В процессе генерализации картографических данных необходимо сохранять взаимное расположение объектов. В то же время общепринятой является практика упрощения каждого типа картографических объектов независимо (сначала административные границы, потом дорожная сеть, гидрографическая сеть и т. д.), а потом проведение ручной или автоматической коррекции ошибок. В связи с развитием вычислительной техники и переводом большого числа картографической информации в электронную форму возникла необходимость в автоматизации этого процесса. Для выявления пространственных конфликтов необходимо уточненное описание пространственных отношений.В работе проанализированы модели описания топологических отношений пространственных объектов: модель девяти пересечений, модель топологической цепочки и модель E-WID. Каждая рассмотренная модель позволяет учитывать некоторые отношения между объектами, но не позволяет передавать их в точности. Вследствие этого становится актуальным направление исследований, посвященное уточнению таких моделей. Нами предложена усовершенствованная модель девяти пересечений, учитывающая порождение топологического конфликта, состоящего в нарушении “правила буравчика”, при упрощении ломаной линии, рядом с которой располагается точечный объект. Несмотря на кажущуюся простоту рассматриваемых объектов, упрощение ломаной является одним из наиболее востребованных действий при работе с картами. При покрытии карты сеткой, внутри ячейки могут находиться точечные объекты и элементы линейных и полигональных топологических объектов, которые, при достаточной мелкости сетки, представляют собой полилинейные объекты. Таким образом, вопрос об упрощении топологических объектов внутри ячейки сводится к вопросу упрощения полилинейных объектов (ломаных). Разработанный алгоритм планируется применять для решения задачи согласованной генерализации пространственных данных. Идеи, изложенные в данной статье, лягут в основу нового индекса пространственных данных, сохраняющего их топологические отношения
Степени перечислимости ограниченных множеств
Get PDFThe term ``total enumeration degree'' is related to the fact that the e-degree is total if and only if it contains a graph of some total function. In a number of works by the author and a group of mathematicians from the University of Wisconsin-Madison, the so-called ``graph-cototal enumeration degrees'' were considered, i.e. e-degrees containing the complement of the graph of some total function . In this article, the next step is taken -- the enumeration degrees of sets bounded from above or below by a graph of a total function are considered. More precisely, the set A is bounded from above if for some total function . The article presents a number of results showing the existence of nontotal enumeration degrees containing bounded sets, and the constructed e-degrees are quasi-minimal. An important result is the one stating that bounded sets have the Friedberg property related to the jump inversion.Термин <<тотальная степень перечислимости>> связан с тем, что е-степень тотальна тогда и только тогда, когда она содержит график некоторой тотальной функции. В ряде работ автора и группы математиков из University of Wisconsin-Madison рассматривались так называемые <<граф-кототальные степени перечислимости>>, т.е. е-степени, содержащие дополнение графика некоторой тотальной функции . В данной статье сделан следующий шаг -- рассмотрены степени перечислимости множеств, ограниченных сверху или снизу графиком тотальной функции. Более точно, множество A ограничено сверху, если A=\\{\\langle x,y\\rangle:y < f(x)\\} для некоторой тотальной функции f(x) и множество A ограничено снизу, если A=\\{\\langle x,y\\rangle:y > f(x)\\} для некоторой тотальной функции . В статье приводится ряд результатов, показывающих существование нетотальных степеней перечислимости, содержащих ограниченные множества, причем построенные е-степени являются квазиминимальными. Важным является результат, утверждающий, что ограниченные множества обладают свойством Фридберга, связанным с~инверсией скачка
Классификация русскоязычных текстов по жанрам на основе современных эмбеддингов и ритма
Get PDFThe article investigates modern vector text models for solving the problem of genre classification of Russian-language texts. Models include ELMo embeddings, BERT language model with pre-training and a complex of numerical rhythm features based on lexico-grammatical features. The experiments were carried out on a corpus of 10,000 texts in five genres: novels, scientific articles, reviews, posts from the social network Vkontakte, news from OpenCorpora. Visualization and analysis of statistics for rhythm features made it possible to identify both the most diverse genres in terms of rhythm: novels and reviews, and the least ones: scientific articles. Subsequently, these genres were classified best with the help of rhythm features and the neural network-classifier LSTM. Clustering and classifying texts by genre using ELMo and BERT embeddings made it possible to separate one genre from another with a small number of errors. The multiclassification F-score reached 99%. The study confirms the efficiency of modern embeddings in the tasks of computational linguistics, and also allows to highlight the advantages and limitations of the complex of rhythm features on the material of genre classification.В статье исследуются современные векторные модели текстов для решения задачи классификации русскоязычных текстов по жанрам. Модели включают эмбеддинги ELMo, языковую модель BERT с предобучением и комплекс числовых ритмических характеристик на основе лексико-грамматических средств. Эксперименты проводились на корпусе из 10 000 текстов пяти жанров: романы, научные статьи, отзывы, посты из социальной сети Вконтакте, новости из OpenCorpora. Визуализация и анализ статистики для ритмических характеристик позволили выделить как наиболее разнообразные по ритму жанры: романы и отзывы, так и наименее - научные статьи. Именно эти жанры были впоследствии классифицированы лучше всего с помощью ритма и нейросети-классификатора LSTM. Кластеризация и классификация текстов по жанрам с помощью эмбеддингов ELMo и BERT позволила отделить один жанр от другого с небольшим количеством ошибок. F-мера мультиклассификации достигла 99%. Исследование подтверждает эффективность современных эмбеддингов в задачах компьютерной лингвистики, а также позволяет выделить достоинства и ограничения комплекса ритмических характеристик на материале классификации по жанрам
Алгоритм углового сверхразрешения с использованием разложения Холецкого и его реализация на основе технологии параллельных вычислений
Get PDFAn algorithm of angular superresolution based on the Cholesky decomposition, which is a modification of the Capon algorithm, is proposed. It is shown that the proposed algorithm makes it possible to abandon the inversion of the covariance matrix of input signals. The proposed algorithm is compared with the Capon algorithm by the number of operations. It is established that the proposed algorithm, with a large dimension of the problem, provides some gain both when implemented on a single-threaded and multithreaded computer. Numerical estimates of the performance of the proposed and original algorithm using parallel computing technology CUDA NVidia are obtained. It is established that the proposed algorithm saves GPU computing resources and is able to solve the problem of constructing a spatial spectrum with an increase in the dimension of the covariance matrix of input signals by almost two times.Предложен алгоритм углового сверхразрешения на основе разложения Холецкого, представляющий собой модификацию алгоритма Кейпона. Показано, что предложенный алгоритм позволяет отказаться от обращения ковариационной матрицы входных сигналов. Проведено сравнение предложенного алгоритма с алгоритмом Кейпона по числу операций. Установлено, что предложенный алгоритм при большой размерности задачи обеспечивает некоторый выигрыш как при реализации на однопоточном, так и на многопоточном вычислителе. Получены численные оценки быстродействия предложенного и исходного алгоритма с использованием технологии параллельных вычислений CUDA NVIDIA. Установлено, что предложенный алгоритм обеспечивает экономию вычислительных ресурсов GPU и способен решать задачу построения пространственного спектра при увеличении размерности ковариационной матрицы входных сигналов почти в два раза
Анализ академической успеваемости студентов с использованием журналов событий электронной образовательной среды
Get PDFModern educational process involves the use of electronic educational environments. These are special information systems that are both a means for storing educational materials and a tool for conducting tests, collecting homework, keeping a grade book, and working together. Such environments produce a large amount of data containing the recorded behavior of students and teachers within the educational process. This paper proposes an approach that allows one to analyze such data and discover typical student trajectories that lead to successful or unsuccessful learning outcomes. It is shown how process mining can be used to build models of the educational process based on the available data. We also show how you can evaluate the extent to which the synthesized model reflects the actual behavior of the system recorded in event logs. The paper contains not only a description of the proposed approach, but also a case study with its application to a real data set for an undergraduate educational program. It is clearly shown how, using our approach, it is possible to find out what factors lead to the formation of successful and unsuccessful student trajectories. The bottlenecks of the educational process were identified, as well as errors in the data, indicating the incorrect operation of the system. As a result of the analysis, points of special attention for administrators of the educational program were identified, as well as some signal events, the appearance of which in a student’s individual trajectory can be an alarm. The application of the approach involves the use of free open source software, which further facilitates its deployment in a variety of educational organizations.Современный образовательный процесс предполагает использование электронных образовательных сред. Это специальные информационные системы, которые являются как средством для хранения учебных материалов, так и инструментом для проведения проверочных работ, сбора домашних заданий, ведения журнала оценок, совместной работы. Такие среды производят большое количество данных о поведении учащихся и преподавателей в рамках учебного процесса. В данной работе предлагается подход, позволяющий анализировать такие данные, извлекать из них типичные траектории учащихся, которые ведут к успешным или неудачным результатам обучения. Показано, как для построения моделей образовательного процесса на основе имеющихся данных могут быть использованы алгоритмы process mining. Также показано, как можно оценить, насколько синтезированная модель отражает реальное поведение системы, записанное в журналах событий. Работа содержит не только описание предлагаемого подхода, но и пример его применения к реальному набору данных для образовательной программы бакалавриата. Наглядно показано, как с использованием нашего подхода можно выяснить, какие факторы приводят к формированию успешных и неудачных траекторий студентов. Выявлены узкие места образовательного процесса, а также ошибки в данных, свидетельствующие о некорректной работе системы. В результате анализа выявлены точки особого внимания для администраторов образовательной программы, а также определены некоторые сигнальные события, появление которых в индивидуальной траектории студента может быть тревожным сигналом. Применение подхода предполагает использование только свободных программных инструментов с открытым исходным кодом, что дополнительно облегчает его внедрение в самых разных образовательных организациях
Тестирование зависимостей и правил вывода в базах данных
Get PDFThe process of testing dependencies and inference rules can be used in two ways. First, testing allows verification hypotheses about unknown inference rules. The main goal, in this case, is to search for the relation - a counterexample that illustrates the feasibility of the initial dependencies and contradicts the consequence. The found counterexample refutes the hypothesis, the absence of a counterexample allows searching for a generalization of the rule and conditions for its feasibility (logically imply). Testing cannot be used as a proof of the feasibility of inference rules, since the process of generalization requires the search for universal inference conditions for each rule, which cannot be programmed, since even the form of these conditions is unknown. Secondly, when designing a particular database, it may be necessary to test the feasibility of a rule for which there is no theoretical justification. Such a situation can take place in the presence of anomalies in the superkey. The solution to this problem is based on using join dependency inference rules. For these dependencies, a complete system of rules (axioms) has not yet been found. This paper discusses: 1) a technique for testing inference rules using the example of join dependencies, 2) a scheme of a testing algorithm is proposed, 3) some hypotheses are considered for which there are no counterexamples and inference rules, 4) an example of using testing when searching for a correct decomposition of a superkey is proposed.Процесс тестирования зависимостей и правил вывода может быть использован в двух направлениях. Во-первых, тестирование позволяет проверить гипотезы относительно неизвестных правил вывода. Основная цель при этом поиск реализации отношения - контрпримера, который удовлетворяет исходным зависимостям и противоречит следствию. Найденный контрпример опровергает гипотезу, отсутствие контрпримера позволяет приступить к поиску обобщения правила и условий его выполнимости (logically imply). Тестирование не может служить доказательством выполнимости правил вывода, поскольку процесс обобщения требует поиска универсальных условий выводимости для каждого правила, что невозможно запрограммировать, поскольку даже вид этих условий неизвестен. Во-вторых, при проектировании конкретной базы данных может потребоваться проверка выполнимости правила, для которого отсутствует теоретическое обоснование. Такая ситуация может проявиться при наличии аномалий в суперключе. Решение этой проблемы основывается на использовании правил вывода зависимостей соединения. Для этих зависимостей пока не найдена полная система правил (аксиом). В данной статье рассматривается: 1) методика проведения тестирования правил вывода на примере зависимостей соединения, 2) предложена схема алгоритма тестирования, 3) рассмотрены некоторые гипотезы, для которых отсутствуют контрпримеры и правила вывода, 4) предложен пример использования тестирования при поиске корректной декомпозиции суперключа
Рекурсивный алгоритм определения тональности предложений на русском языке
Get PDFThe article is devoted to the task of sentiment detection of Russian sentences. The sentiment is conceived as the author's attitude to the topic of a sentence. This assay considers positive, neutral, and negative sentiment classes, i.e., the task of three-classes classification is solved. The article introduces a rule-based sentiment detection algorithm for Russian sentences. The algorithm is based on the assumption that the sentiment of a phrase can be determined by the sentiments of its parts by the recursive application of appropriate semantic rules to the sentiments of its parts organized as a constituency parse tree. The utilized set of semantic rules was constructed based on a discussion with experts in linguistics. The experiments showed that the proposed recursive algorithm performs slightly worse on the hotel reviews corpus than the adapted rule-based approach: weighted -measures are 0.75 and 0.78, respectively. To measure the algorithm efficiency on complex sentences, we created OpenSentimentCorpus based on OpenCorpora, an open corpus of sentences extracted from Russian news and periodicals. On OpenSentimentCorpus the recursive algorithm performs better than the adapted approach does: -measures are 0.70 and 0.63, respectively. This indicates that the proposed algorithm has an advantage in case of more complex sentences with more subtle ways of expressing the sentiment.В статье рассматривается задача определения тональности русскоязычных предложений. Тональность понимается как отношение автора к теме предложения. В данном исследовании учитываются три варианта тональности - положительная, отрицательная и нейтральная, т. е. решается задача классификации с тремя классами. В статье предлагается алгоритм определения тональности предложения на русском языке, основанный на семантических правилах. В основе алгоритма лежит предположение о том, что тональность фразы может быть определена на основе тональностей её составляющих с помощью рекурсивного применения семантических правил к составным частям фразы, представленным в виде синтаксического дерева. Набор семантических правил, используемых алгоритмом, был составлен в результате обсуждений с экспертами-филологами. Эксперименты показали, что предложенный рекурсивный алгоритм даёт несколько худший результат на корпусе отзывов на отели по сравнению с подходом, основанным на правилах, ранее адаптированным авторами для русского языка: взвешенная -мера составила 0.75 и 0.78 соответственно. Для оценки качества работы алгоритма на сложных предложениях был создан корпус OpenSentimentCorpus, основанный на OpenCorpora - открытом корпусе предложений из новостных статей и публицистики. На корпусе OpenSentimentCorpus рекурсивный алгоритм работает лучше, чем адаптированный подход: -мера составила 0.70 и 0.63 соответственно. Таким образом, предложенный в данной работе алгоритм имеет преимущество в случае более сложных предложений с более тонкими способами выражения тональности
Формирование признаков машинного обучения на основе построения тропических функций
Get PDFOne of the main methods of computational topology and topological data analysis is persistent homology, which combines geometric and topological information about an object using persistent diagrams and barcodes. The persistent homology method from computational topology provides a balance between reducing the data dimension and characterizing the internal structure of an object. Combining machine learning and persistent homology is hampered by topological representations of data, distance metrics, and representation of data objects. The paper considers mathematical models and functions for representing persistent landscape objects based on the persistent homology method. The persistent landscape functions allow you to map persistent diagrams to Hilbert space. The representations of topological functions in various machine learning models are considered. An example of finding the distance between images based on the construction of persistent landscape functions is given. Based on the algebra of polynomials in the barcode space, which are used as coordinates, the distances in the barcode space are determined by comparing intervals from one barcode to another and calculating penalties. For these purposes, tropical functions are used that take into account the basic structure of the barcode space. Methods for constructing rational tropical functions are considered. An example of finding the distance between images based on the construction of tropical functions is given. To increase the variety of parameters (machine learning features), filtering of object scanning by rows from left to right and scanning by columns from bottom to top are built. This adds spatial information to topological information. The method of constructing persistent landscapes is compatible with the approach of constructing tropical rational functions when obtaining persistent homologies.Одним из основных методов вычислительной топологии и топологического анализа данных является персистентная гомология, объединяющая геометрическую и топологическую информацию об объекте с использованием персистентных диаграмм и баркодов. Метод персистентной гомологии из вычислительной топологии обеспечивает баланс между уменьшением размерности данных и характеристикой внутренней структуры объекта. Объединению машинного обучения и персистентной гомологии препятствуют топологические представления данных, метрики расстояния и представление объектов данных. В работе рассматриваются математические модели и функции представления объектов персистентного ландшафта на основе метода персистентной гомологии. Функции персистентного ландшафта позволяют отображать персистентные диаграммы в гильбертово пространство. Рассмотрены представления топологических функций в различных моделях машинного обучения. Приведен пример нахождения расстояния между изображениями на основе построения функций персистентного ландшафта.На основе алгебры полиномов в пространстве баркодов, которые используются в качестве координат, определяются расстояния в пространстве баркода сопоставлением интервалов от одного баркода к другому и расчета штрафов. Для этих целей используются тропические функции, которые учитывают базовую структуру пространства баркода. Рассмотрены методы построения рациональных тропических функций. Приведен пример нахождения расстояния между изображениями на основе построения тропических функций. Для повышения разнообразия параметров (признаков машинного обучения) построены фильтрации сканирования объекта по строкам слева направо и сканирования по столбцам снизу вверх. Это добавляет пространственную информацию к топологической информации. Метод построения персистентных ландшафтов совместим с подходом построения тропических рациональных функций при получении персистентных гомологий
Замечания о графах достижимости сетей Петри
Get PDFThe question is considered - which graphs are isomorphic to the reachability graphs of Petri nets. Reachability graphs, or sets of achievable states, represent sets of all possible different network states resulting from a given initial state s0 by a finite chain of permissible transitions. They have a natural structure of an oriented graph with a dedicated initial state, all other states of which are reachable from the initial one, taking into account orientation. At the same time, if the network transitions are marked, the reachability graphs also receive the corresponding marks of all arcs. At the same time, the concept of isomorphism of marked graphs arises, but this publication deals only with issues for networks without markings. Even for this simpler case, some questions remain open. The paper proves that any finite directed graph is modeled by a suitable Petri net, that is, it is isomorphic to the reachability graph of the network. For infinite graphs, examples of non-modeled graphs are given.Рассматривается вопрос - какие графы изоморфны графам достижимости сетей Петри. Графы достижимости, или множества достижимых состояний, представляют множества всевозможных различных состояний сети, получающихся из данного начального состояния s0 конечной цепочкой допустимых переходов. Они имеют естественную структуру ориентированного графа с выделенным начальным состоянием, все другие состояния которого достижимы из начального с учётом ориентации. При этом, если переходы сети снабжены пометками, графы достижимости также получают соответствующие пометки всех дуг. При этом возникает понятие изоморфизма размеченных графов, но в данной публикации рассматриваются лишь вопросы для сетей без разметок. Даже для этого более простого случая некоторые вопросы остаются открытыми. В заметке доказывается, что любой конечный ориентированный граф моделируется подходящей сетью Петри, то есть он изоморфен графу достижимости сети. Для бесконечных графов приводятся примеры не моделируемых графов. Ставятся некоторые открытые вопросы по теме
Инструменты численного моделирования и S-производные
Get PDFNumerical study of various processes leads to the need of clarification (extensions) of the limits of applicability of computational constructs and modeling tools. For dynamical systems, this question may be related with a generalization of the concept of a derivative, which keeps the used constructions relevant. In this article we introduce the concept of weak local differentiability in a space of Lebesgue integrable functions and consider the consistency of this concept with such fundamental computational constructions as the Taylor expansion and finite differences, as well as properties of functions with a given type of differentiability on a segment. The function f from L₁[a; b] is called S-differentiable at the point x₀ from (a; b), if there are coefficients c and q, for which fx₀x₀+h (f (x) - c - q·(x-x₀)) dx = o(h²). Formulas are found for calculating the coefficients c and q, coefficients c and q, which are conveniently denoted fₛ(x₀) and fₛ ˊ(x₀) respectively. It is shown that if the function f belongs to W₁ⁿ⁻¹[a; b], n is greater than 1, and the function f⁽ⁿ⁻¹⁾ is S-differentiable at the point xₒ from (a; b), then f is approximated by a Taylor polynomial with accuracy o((x-xₒ)ⁿ), and the ratio of Δⁿₕ(f, xₒ) to hⁿ tends to fₛ⁽ⁿ⁾(xₒ) as h tends to 0. Based on the quotient Δⁿₕ (f, ·) and hⁿ, a sequence is built {Ʌₘⁿ [f]} piecewise constant functions subordinate to partitions segment [a; b] into m equal parts. It is shown that for the function f from W₁ⁿ⁻¹[a; b], for which the value is defined f ₛ⁽ⁿ⁾(xₒ), { Ʌₘⁿ [f] (xₒ)} converges to f ⁽ⁿ⁾(xₒ) as m tends to infinity, and for f from Wₚⁿ[a; b] the sequence { Ʌₘⁿ [f] } converges to f⁽ⁿ⁾ in the norm of the space Lₚ [I]. The place of S-differentiability in practical and theoretical terms is determined by its bilateral relations with ordinary differentiability. It is proved that if f belongs to W₁ⁿ⁻¹[I] and the function f⁽ⁿ⁻¹⁾ is uniformly S-differentiable on I, then f belongs to Cⁿ[f]. The constructions are algorithmic in nature and can be applied in numerically computer research of various relevant models.Численное исследование различных процессов приводит к необходимости уточнения (расширения) границ применимости вычислительных конструкций и инструментов моделирования. Для динамических систем данный вопрос может быть связан с обобщением понятия производной, сохраняющим актуальными применяемые конструкции. В настоящей статье вводится понятие слабой локальной дифференцируемости в пространстве интегрируемых по Лебегу функций и рассматриваются согласованность этого понятия с такими основополагающими вычислительными построениями как разложение Тейлора и конечные разности, а также свойства функций, обладающих данного вида дифференцируемостью на отрезке. Функцию f из L₁[a; b] назовём S-дифференцируемой в точке xₒ из (а; b), если существуют коэффициенты с и q, при которых выполняется fx₀x₀+h (f(x) - c - q·(x-x₀)) dx = o(h²). Найдены формулы для вычисления коэффициентов с и q, которые удобно обозначить fₛ(x₀) и fₛ ˊ(x₀) соответственно. Показано, что если функция f принадлежит W₁ⁿ⁻¹[a; b], n больше 1, и функция f⁽ⁿ⁻¹⁾ является S-дифференцируемой в точке хо из (а; b), то f приближается тейлоровским многочленом с точностью o((x-xₒ)ⁿ), а отношение Δⁿₕ(f, xₒ) к hⁿ стремится к fₛ⁽ⁿ⁾(xₒ) при стремлении h к 0. На основе частного Δⁿₕ (f, ·) и hⁿ строится последовательность {Ʌₘⁿ [f]} кусочно-постоянных функций, подчинённых разбиениям отрезка [а; b] на m равных частей. Показано, что для функции f из W₁ⁿ⁻¹[a; b], для которой определено значение f ₛ⁽ⁿ⁾(xₒ), { Ʌₘⁿ [f] (xₒ)} сходится к f ⁽ⁿ⁾(xₒ) при стремлении т к бесконечности, а для fЄ Wₚⁿ[a; b] последовательность { Ʌₘⁿ [f] } сходится к f⁽ⁿ⁾ по норме пространства Lₚ [I]. Место S-дифференцируемости в практическом и теоретическом плане определяется её двусторонними соотношениями с обычной дифференцируемостью. Доказан факт, что если f принадлежит W₁ⁿ⁻¹[I], и функция f⁽ⁿ⁻¹⁾ является равномерно S-дифференцируемой на I, то f принадлежит Cⁿ[f]. Рассмотренные построения имеют алгоритмический характер, и могут быть применены в численном исследовании на ЭВМ соответствующих моделей