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Japanese

front cover (The Sapporo Law Review)

9mm
札幌大学
女子短期大学部紀要
No
.71
［
通
巻
85
号
］2
02
3.3
札
幌
大
学
女
子
短
期
大
学
部
紀
要
●
第
71
号
●


表紙

application/pdfdepartmental bulletin pape

山内, 和幸

2735

ヤマウチ, カズユキ

Yamauchi, Kazuyuki

2736

89常微分方程式の解の構成と汎弱位相について
2023 1
V V∗ V V∗
V
⟨ ·, · ⟩V∗ φ ∈ V u ∈ V∗
V
⟨ φ, u ⟩V∗ = u(φ) u ∈ V∗ V⟨ ·, u ⟩V∗
V (V ) φ ∈ V
V
⟨ φ, · ⟩V∗
V∗ (V∗ )
1
C
Alaoglu
[9],[17],[26],[27] Banach-Alaoglu [15] , Alaoglu-
Bourbaki [7]
([29] [30] ) Hille-Phillips[13]
L.Alaoglu([1]), N.Bourgaki([6]), S.Kakutani([14])
1 (Alaoglu-Banach-Bourgaki) U V 0
U0 U (polar)
U0 =
{
ν ∈ V∗ |
V
⟨ v, ν ⟩V∗ ≦ 1, v ∈ U
}
U0 (V∗ ) V
V∗ V∗
1
経済と経営　53‒1（２０23.3）
〈研究ノート〉
常微分方程式の解の構成と汎弱位相について
山内　和幸
90 経営と経済　53巻 1号
4 [18]
U
, Birkhoff-Kellog[4],
Rothe[23], J.Schauder ([24], [25])
A.Tychonoff ([28])
Dunford-Schwartz[9] (fixed point property)
2 (Tychonoff) K X
T : X → X
T (K) = { T (x) |x ∈ K } ⫅ K
K T
T (x0) = x0
x0 ∈ K
[26] T (K) ̸⫅ K Tychonoff
X K
T : K → X K T
0 < p(x0 − T (x0)) = min { p(x− T (x0)) |x ∈ K}
p x0 ∈ K
“ ” T K
2
I.M.Graves [11]
Riemann . [31]
T.H.Hildebrandt Lebesgue Banach
Lebesgue 1930
([3], [5], [8], [10], [19], [21])
([20], [22]) 1950
([9], [12], [13], [30]).
Banach Lebesgue Bochner
, Arendt et al[2] 1 Drábek-Milota[7] 3 [16] 6 ,
[27] 7 Yosida[30] 5
(Ω,B, µ) u(·) Ω Banach X
Lebesgue (a) (b) 2
2
91常微分方程式の解の構成と汎弱位相について
(a)
s ∈ Ω u(s) X
s u(s) = 0
(b) x∗ ∈ X∗
X
⟨ u(·), x∗ ⟩X∗
(a) u B (b) u
B {u(s) | s ∈ Ω }
u
3 (Pettis) (Ω,B, µ) u Ω Banach X
u B u B
u
Bochner u = u(·)∫
Ω
u(s)µ(ds)
u Bochner ∥·∥X X
lim
n→∞
∫
Ω
∥u(s)− un(s)∥X µ(ds) = 0
{un} ,
{un} ∫
Ω
χB(s)un(s)µ(ds)
Cauchy B x µ
Bochner
∫
Ω
u(s)µ(dx) χB B
µ u Bochner Bochner
u µ
4 (Bochner) (Ω,B µ) u Ω Banach X
B u µ
∥u∥X µ
Banach X, Y X D Y A
A
{ (x,A(x)) |x ∈ D }
X×Y A
5 X, Y Banach X D
A Y
3
92 経営と経済　53巻 1号
(Ω,B, µ) u : Ω → D µ Au
µ
∫
Ω
u(s)µ(ds) ∈ D
A(
∫
Ω
u(s)µ(ds)) =
∫
Ω
A(u(s))µ(ds)
X Banach x∗ ∈ X∗
X
⟨ ·, x∗ ⟩X∗ X
X
⟨
∫
Ω
u(s)µ(ds), x∗ ⟩X∗ =
∫
Ω
X
⟨ u(s), x∗ ⟩X∗ µ(ds), ( x∗ ∈ X∗)
X = V∗ Banach V v ∈ V
V
⟨ v, · ⟩V∗ V∗ X
V
⟨ v,
∫
Ω
u(s)µ(ds) ⟩V∗ =
∫
Ω
V
⟨ v, u(s) ⟩V∗ µ(ds), ( v ∈ V)
, X X
A s ∈ Ω u(s) A
X
⟨ A
(∫
Ω
u(s)µ(ds)
)
, x∗ ⟩X∗ = X⟨
∫
Ω
Au(s)µ(ds), x∗ ⟩X∗
=
∫
Ω
X
⟨ Au(s), x∗ ⟩X∗ µ(ds),
V
⟨ v,A
(∫
Ω
u(s)µ(ds)
)
⟩V∗ = V⟨ v,
∫
Ω
A(u(s))µ(ds) ⟩V∗
=
∫
Ω
V
⟨ v,Au(s) ⟩V∗ µ(ds)
3 Riemann
Riemann R
V X = V∗ u : [a, b] → X X
[a, b] ∆ : a = t0 < t1 < · · · < tm = b 0
C x1, · · · , xm, x ∈ C
1
b− a
m∑
j=1
(tj − tj−1)xj − x ∈ C
4
93常微分方程式の解の構成と汎弱位相について
u(s)− u(t) ∈ C, s, t ∈ [a, b]
u Riemann S∆(u) τ ∈ [a, b]
±
(
u(τ)− 1
b− a
S∆(u)
)
∈ C
1 ≦ j ≦ m
u(s)− u(t) ∈ C, s, t ∈ [tj−1, tj ]
∆ ∆′
± 1
b− a
(S∆(u)− S∆′(u)) ∈ C
0 V [a, b]
u δ > 0 δ
s t
u(s)− u(t) ∈ V
∆1 ∆2 δ ∆
′ =
∆1 ∪∆2 ∆1, ∆2
± 1
b− a
(
S∆j (u)− S∆′(u)
)
∈ V, (j = 1, 2).
,
1
2(b− a)
(S∆1(u)− S∆2(u)) ∈ V, (j = 1, 2).
{S∆} Cauchy
Riemann
Riemann Cauchy
X V
“Banach u Riemann
Bochner ”
[16])
4
V Banach X = V∗ A : X → X
f : [0, L] → X
{
du
dt
= Au+ f,
u(0) = u0
5
94 経営と経済　53巻 1号
u : [0, L] → X
I(u)(t) = u0 +
∫ t
0
Au(s)ds+
∫ t
0
f(s)ds,
u = I(u) u φ ∈ V
V
⟨ φ, u(t) ⟩V∗ = V⟨ φ, I(u)(t) ⟩V∗
=
V
⟨ φ, u0 ⟩V∗ + V⟨ φ,
∫ t
0
Au(s)ds ⟩V∗ + V⟨ φ,
∫ t
0
f(s)ds ⟩V∗
=
V
⟨ φ, u0 ⟩V∗ + V⟨ φ,A
∫ t
0
u(s)ds ⟩V∗ + V⟨ φ,
∫ t
0
f(s)ds ⟩V∗
=
V
⟨ φ, u0 ⟩V∗ +
∫ t
0
V
⟨ φ,Au(s) ⟩V∗ ds+
∫ t
0
V
⟨ φ, f(s) ⟩V∗ ds
u
u1 = I(u0) uj+1 = I(uj) , {un} u1
φ ∈ V∗
V
⟨ φ, u1 ⟩V∗ = V⟨ φ, u0 ⟩V∗ + V⟨ φ,
∫ t
0
Au0ds ⟩V∗ + V⟨ φ,
∫ t
0
f(s)ds ⟩V∗
=
V
⟨ φ, u0 ⟩V∗ + V⟨ φ,Au0 ⟩V∗
∫ t
0
ds+
∫ t
0
V
⟨ φ, f(s) ⟩V∗ ds
=
V
⟨ φ, u0 ⟩V∗ + tV⟨ φ,Au0 ⟩V∗ +
∫ t
0
V
⟨ φ, f(s) ⟩V∗ ds
=
V
⟨ φ, u0 + tAu0 +
∫ t
0
f(s)ds ⟩V∗
u1 = u0 + tAu0 +
∫ t
0
f(s)ds
V
⟨ φ, u2 ⟩V∗
=
V
⟨ φ, u0 ⟩V∗ +
∫ t
0
V
⟨ φ,Au0 + sA2u0 +
∫ s
0
Af(r)dr ⟩V∗ ds+ V⟨ φ,
∫ t
0
f(s)ds ⟩V∗
=
V
⟨ φ, u0 ⟩V∗ +
∫ t
0
V
⟨ φ,Au0 + sA2u0 ⟩V∗ ds+
∫ t
0
∫ s
0
V
⟨ φ,Af(r) ⟩V∗ drds
+
V
⟨ φ,
∫ t
0
f(s)ds ⟩V∗
6
95常微分方程式の解の構成と汎弱位相について
V
⟨ φ, u2 ⟩V∗ = V⟨ φ, u0 + tAu0 +
t2
2
A2u0 ⟩V∗
+
∫ t
0
∫ s
0
V
⟨ φ,Af(r) ⟩V∗ drds+ V⟨ φ,
∫ t
0
f(s)ds ⟩V∗
,
∫ t
0
∫ s
0
V
⟨ φ,Af(r) ⟩V∗ drds = t
∫ t
0
V
⟨ φ,Af(s) ⟩V∗ ds−
∫ t
0
s
V
⟨ φ,Af(s) ⟩V∗ ds
=
V
⟨ φ,
∫ t
0
(t− s)Af(s)ds ⟩V∗ .
V
⟨ φ, u2 ⟩V∗ = V⟨ φ, u0 + tAu0 +
t2
2
A2u0 ⟩V∗
+
V
⟨ φ,
∫ t
0
(t− s)Af(s)ds ⟩V∗ + V⟨ φ,
∫ t
0
f(s)ds ⟩V∗
=
V
⟨ φ, u0 + tAu0 +
t2
2
A2u0 ⟩V∗
+
V
⟨ φ,
∫ t
0
(1X + (t− s)A) f(s)ds ⟩V∗ ,
u2(t) = u0 + tAu0 +
t2
2
A2u0 +
∫ t
0
(1X + (t− s)A) f(s)ds
1X
un(t) =
n∑
j=0
tj
j!
Aju0 +
∫ t
0
n−1∑
j=0
(t− s)j
j!
Ajf(s)ds
x ∈ X
Un(t)x =
n∑
j=0
tj
j!
Ajx+
∫ t
0
n−1∑
j=0
(t− s)j
j!
Ajf(s)ds
A t {Un(t)u0}
u∞(t) I(Un(·)u0)(t) I(u∞)(t)
Un+1(t)u0 = I(Un(·)u0)(t) u∞ = I(u∞)
u∞
7
96 経営と経済　53巻 1号
5
Banach A V
1 2
References
[1] Alaoglu, L.,Weak topologies of normed linear spaces, Ann. of Math.,41
(1940), pp.252-267.
[2] Arendt, W., Batty, C. J. K., Hieber, M., and Neubrander, F., ”Vector-
valued Laplace transfroms and Cauchy problems“, second edition,
Birkhäuser, Basel, 2011.
[3] Birkhoff, G., Integration of functions with values in a Banach space, Trans.
Amer. Math. Soc., 38(1935), pp.357-378.
[4] Birkhoff, G. D. and Kellog, O. D. Invariant points in function space, Trans.
Amer. Math. Soc. 23 (1922), pp.96-115.
[5] Bochner, S., Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines
Vektorraumes sind, Fund. Math., 20 (1938), pp.262-276.
[6] Bourbaki, N.,Sur les espaces de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris, 206 (1938),
pp.1701-1704.
[7] Drábek, P. and Milota, J.,“Methods of nonlinear analysis applications to
differential equations”, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 2007.
[8] Dunford, N., Integration in general analysis, Trans. Amer. Math. Soc. 37
(1935), pp.441-453.
[9] Dunford, N. and Schwartz, J. T.,“Linear operators part I, general theory”,
Wiley Classic Library edition, Wiley-Interscience, NewYork-Chichester-
Brisbane-Toronto-Singapore, 1988.
[10] Gel’fand, I. M., Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren, Mat. Sbornik
N. S., 4(46) (1938), pp.235-286.
[11] Graves, I. M., Riemann integration and Taylor’s theorem in general analy-
sis, Trans. Amer. Math. Soc. 29 (1927), pp.163-177.
[12] Hildebrandt, T. H.,Integration in abstract spaces, Bull. Amer. Soc., 59
(1953), pp.111-139.
8
97常微分方程式の解の構成と汎弱位相について
[13] Hille, E. and Phillips, R. S.,“Functional analysis and semi-groups”, Amer-
ican Mathematical Society colloquium publications 31, AMS, Providence,
1957.
[14] Kakutani, S.,Weak topology, bicompact sets, and the principle of duality,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16 (1940), pp.63-67.
[15] Kelley, J. L. and Namioka, I. et al. “Linear topological spaces”, Springer
varlag, NewYork-Hidelberg-Berlin, 1963.
[16] , , 2 , , 1996.
[17] Narici, L. and Beckenstein, E. “Topological vector spaces”, second edition,
CRC press, Boca Raton, 2011.
[18] , , 4 , , 2007.
[19] Pettis, B. J., On integration in vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 44
(1938), pp.277-304.
[20] Phillips, R. S., Integration in a convex linear topological space, Trans. Amer.
Math. Soc. 47 (1940), pp.114-145.
[21] Price, G. B., The theory of integration, Trans. Amer. Math. Soc. 47 (1940),
pp.1-50.
[22] Rickart, C. E., Integration in a convex linear topological space, Trans. Amer.
Math. Soc. 52 (1942), pp.498-521.
[23] Rothe,E., Zur Theorie der topologischen Ordnung und der Vektorfelder in
Banachschen Räumen, Compositio Math., 5(1938), pp.177-197.
[24] Schauder, J., Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen, Math.
Z., 26(1927), pp.47?65.
[25] Schauder, J., Über die Umkehrung linearer, stetiger Funktionaloperationen,
Studia Math., 2 (1930), pp.1-6.
[26] , , , 1988.
[27] , , , 1978.
[28] Tychonoff, A.,Ein Fixpunktsatz, Math, Ann., 111(1935) , pp.767-776.
[29] , , , 1966.
[30] Yosida, K.,“Functional Analysis”, second edition, Springer, Berlin,
Heidelberg-New York, 1968.
[31] Richardson, R. G. D.,“The thirty-third summer meeting of the American
Mathematical Society,” Bull. Amer. Math. Soc., 33(1927), pp.641-662.
9


A note on the construction of solutions for ODEs in weak * topology

文化と言語　第 88 号
［目　次］
《論文》
AI 同時通訳の未来と人間の同時通訳者
熊谷ユリヤ　53
《論文》
村上春樹の新訳への読者書評と翻訳観の展開
佐藤美希　63
《論文》
SOV 言語から SVO 言語への語順の変化の認知的基盤
　　─ヒトの認知と言語化のメカニズム─
濱田英人　95


目次（文化と言語　第88号）

執筆者
熊谷ユリヤ　（札幌大学地域共創学群教授）
佐藤　美希　（札幌大学地域共創学群教授）
濱田　英人　（札幌大学地域共創学群教授）
学系紀要編集委員
後藤　善久　（札幌大学地域共創学群教授）
　
文化と言語  第 88 号
2023 年３月 31 日　発行
札幌大学 外国語学系紀要


奥付（文化と言語　第88号）

執筆者
伊藤　公紀　（札幌大学地域共創学群講師）
藤田　敏康　（札幌大学非常勤講師）
学系紀要編集委員
岩橋　忠徳　（札幌大学地域共創学群教授）
経営と教育  第 3 巻  1 号
2023 年３月 31 日　発行
札幌大学経営・会計学系


奥付（経営と教育　第3巻1号）

大矢, 温

2755

オオヤ, オン

Oya, On

2756

A reflection on the ideological background of Russian invasion

比較文化論叢 36
［目　次］
《論文》
90 年代後半の村上龍が陥った陥穽
　―『イン　ザ・ミソスープ』を中心にして
南　雄太　249
《研究ノート》
絵本は SDG ｓの土壌（１）
　─自発的な心に成長するために
田中幹子・奥山津久海　277
《研究ノート》
南北の草木布の比較研究
─芭蕉布とアットゥシ─
本田優子　293
《釈注》
『封氏聞見記』訳注（九）
髙瀬奈津子・江川式部　352（1）


目次（比較文化論叢　36）

執筆者
津田　裕介　（札幌大学地域共創学群講師）
原田　弘隆　（札幌大学地域共創学群講師）
学系紀要編集委員
藤巻　秀夫　（札幌大学地域共創学群教授）
札幌法学（新版）第５号
2023 年 10 月 31 日　発行
札幌大学法学会


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