Gifu Shotoku Gakuen University Repository / 岐阜聖徳学園大学リポジトリ

中井, 正幸

ナカイ, マサユキ

Cemetery structure in the crowd burial mound Raising issues from the Funakiyama kofun Group in Motosu City, Gifu Prefecture

宮野, 裕

ミヤノ, ユタカ

Questions and Answers of KIRIK", a Medieval Russian Canon Law : Research on the editions and a Japanese translation. (1)

栗原, 秀明

クリハラ, ヒデアキ

KURIHARA, Hideaki

有元, 康一

アリモト, コウイチ

A Study on Mathematical Activities Aimed at "Proactive, Interactive, and Deep Learning" in Elementary School Mathematics: Lessons in Math Topics for Fourth Graders

中村, 哲也

ナカムラ, テツヤ

国語教育とテクスト論の射程 －ロラン・バルトの「書き手」「テクスト」「読者」

第七号
２０２２
ISSN 2189-9525
［研究］
Ａ大学における IPE の教育評価（第 4 報）　………………古澤洋子、大見サキエ、尾関唯未、小林純子
 
［研究］
各領域別看護学実習中の精神看護学実習におけるコミュニケーション技術向上の検証
………………………………………………………………………………原田浩二
［研究］
臨地で訪問看護ステーション実習を経験した学生の学び
 ……………………………………………………加藤和子、高田恵子、石原多佳子
［資料］
比丘尼僧伽（saṁgha）の生活における看護　―パーリ律（Vinaya-piṭaka）を通して―
 ………………………………………………………………………………中尾治子
［資料］
産後 4 か月までの母体栄養摂取状況および BMI に関する実態調査
 …………………………………………………………………古田千恵、久保田君枝
［資料］
介護予防事業の評価・成果の文献検討　―保健事業と介護予防の一体的実施を見据えて―
……………………………………………………小島ひとみ、尾関唯未、古澤洋子
1
11
19
31
41
49


本多, 恭子

ホンダ, ヤスコ

HONDA, Yasuko

真鍋, 顕久

マナベ, アキヒサ

A Study of Practical Skills for Dietary Education for Preschool Teacher Training Courses

木許, 隆

キモト, タカシ

KIMOTO, Takashi

On Developing Practical Piano Tasks for the Training of Preschool Teachers: Dealing with a Decrease of Lesson Hours due to Curriculum Change and Restructuring the Contents of Piano Lessons

糟谷, 咲子

カスヤ, サキコ

KASUYA, Sakiko

浦沢, 正也

ウラサワ, マサヤ

上島, 俊司

カミジマ, シュンジ

Effects and Issues in Childcare Practice Using Projectors

藤垣, 佳子

フジガキ, ヨシコ

FUJIGAKI, Yoshiko

― 185 ―
論　 文
解析学における問題解決能力向上への一考察
藤　垣　佳　子
岐阜聖徳学園大学教育学部
　
A Study for Improving the Ability to Solve Problems by Analysis
Yoshiko FUJIGAKI
Abstract
In studying analysis at universities, students tend to be weak at mathematical formulas, 
including character expressions. In this study, I investigated how university students 
answered two types of mathematical problems including character expressions. As a result, it 
was found that students tend to derive correct mathematical formulas when concrete examples 
are provided. However, it turned out that basic knowledge of mathematics and calculation 
skills are also necessary in order to answer the problems correctly.
Key words:  analysis, integral calculation, character expressions
I. はじめに
大学における数学教育は、大学卒業後に数学教育に携わる学生達にとって単に教員免許取得のために
必要というだけではなく、教わる側に立つ最後の機会として大きな意味を持つ。大学で学ぶ数学の中に
は彼らが卒業後にその知識をどの程度活用出来るかが不明瞭な内容も含まれてくるが、学ぶ際にやや理
解が難しいと感じる内容であっても、その新しい知識を習得する過程を大切にし、学び理解することの
喜びや相談し互いに教えあうことの大切さを再認識する機会であって欲しい。そのためには、大学の講
義においてもある程度の双方向授業が必要となり、学生の理解力についても教授する側が一定の認識を
持つ必要があるだろう。専門科目を学ぶ際には、例えば解析学で扱う計算の場合、その概念の理解につ
まずく場合もあれば、概念は理解しているものの、実際に計算を行う際に計算間違いをする場合も多分
にある。近年ではコンピューターや関数電卓等の計算機器が身近なものとなり、高度な計算能力を必要
とする機会は以前に比べるとやや縮小傾向にある感もあるが、少なくとも計算結果が正しいかの判断が
出来る知識や計算能力は必要であろう。
大学生に対する数学に特化した基礎学力の調査は既に大規模なもの 1) が行われているが、大学にお
ける教え方を含めて改善策を模索する研究は未だ多くはない。また、数学教員養成のための専門科目の
重要性については、例えば論文 2) で取り上げられているように小学校・中学校・高等学校における教
師の数学力向上にも関わってくる。特に論文 3) 4) においては、数学教師養成に必要とされる数学専門科
目のカリキュラム内容や具体的な教材の考案も行われている。大学数学の専門科目は内容も幅広くあり
画一的な議論は難しいが、学生の中には文字式の扱いが苦手な傾向にある者が多いことが論文 5) の調
査結果で示されている。数学を学ぶ際に文字式の扱いは欠かせないものであり、学生たちがどういった
状況で間違えやすいかを明確にすることは、彼らの不得手な傾向を改善するためにも重要なことである
と考える。従って本研究では、文字を含む初見の計算問題やグラフの描画を通してどのような教え方が
彼らにとって効果的かを探るために、いくつかの問題を学生達に解かせてその分析を試みることにした。
段階的な理解度を知るために具体的な例を提示してから設問を解かせる場合と、定義のみを与えて設問
― 186 ―
を解かせる場合とで、解答にどのような差異が生じるかを確認し、彼らにとってより効果的な教授法を
模索する。
Ⅱ .調査方法及び内容
今回の計算問題に関する調査は、大学において解析学に関する講義を受講している学生 (主として小
学校・中学校の数学教員を目指す学生 )の内、高校数学で積分計算の概念を履修済み (数学Ⅱを履修済
み )である者を対象とした。公平性を担保するために具体例のある問題と具体例のない問題を組み合わ
せて２種類のアンケートを作成し、それぞれ同数となるように無作為に配布した。岐阜聖徳学園大学教
育学部の学生 108 名に対して 2021 年７月に調査を行った。調査の際に、出来る限り計算過程を省略せ
ず解答を書いて欲しい旨を口頭でも伝えて、下記の計算問題を解いてもらった。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
( ) 
 
( ) 
 
1.  
B  
 
2.  
 
3 2   
 
3.  ,   
 
2   
  
4.    
           0    
0         0 ,     
 
( )      1       0   1 0         0 ,   1   
 
  
 
 
 
 
 
 
 
解析学における問題解決能力向上への一考察
― 187 ―
藤垣佳子
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
調査には記述問題であることを考慮して約 10 分の時間を取った。設問１では高校数学の履修状況に
ついて問い、今回の調査対象の約半数は大学においてまだ積分について学んでいない状態であるため、
数学Ⅱ (多項式の積分を含む )を履修済みであるかの確認を行った。設問２では簡単な多項式の定積分
に関する問題を、設問３では文字を含む定積分の計算を、設問４では文字を含む関数のグラフに関して
問うことにした。設問作成時の正答率予想は、設問２が 95%、設問３及び４の (例 )が無い場合につい
ては50%、(例)がある場合については70%である。設問３と４の問題については、大学の講義内でまだ扱っ
ていない内容であるため、今回の学生達には初見の問題であろうと考えてこのような予測を行った。
Ⅲ .集計結果及びその分析
計算問題に関するアンケートを集計し、その結果と解答例及び誤答例についてまとめたものは以下の
通りである。設問２から４については未解答や計算途中のものについても誤答として扱い、さらに設問
４についてはグラフの図示として曖昧なものを準正答とした (端点における白丸・黒丸の有無、必要な
座標の値の記載の有無 )。設問１については、全ての学生が数学Ⅱを履修済みであり  の積分が既習
概念であることを確認出来たため下記に集計結果は記載していない。
( ) 
 
( ) 
 
1.  
B  
 
2.  
 
3 2   
 
3.  ,   
 
2   2     
 
2   
  
4.    
           0    
0         0 ,     
 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
― 188 ―
設問 正答数 準正答数 誤答数 正答率
(正答＋準正答 )
2 104 - 4 96.3 %
3( 例あり ) 27 - 27 50.0 %
3( 例なし ) 18 - 36 33.3 %
4( 例あり ) 30 13 11 79.6 %
4( 例なし ) 26 15 13 75.9 %
表 1：各設問に関するアンケート集計結果　　
(回答者数 108 名・内タイプ 1(54 名 )/ タイプ 2(54 名 ))
図 1: 正答率の比較
75.9
79.6 
33.3 
50.0 
96.3 
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0
4 
( )
4 
( )
3 
( )
3 
( )
2
1
   3 + 2  
=   +  
=   2 + 2
=    12
 +  
 
 
  2  
=  2    
= 2     
=   
1
2
2
5
  
=   
2
2
5
 
=
10
…
 
解析学における問題解決能力向上への一考察
― 189 ―
藤垣佳子
以下に各設問結果の簡単な分析を述べる。
設問２では、基本的な２次式の定積分の計算問題を出題した。高校数学において数学Ⅱを履修してい
れば、既に何度も解いたことのある問題である。記述式であるため、単純な計算間違いは起きるであろ
うと予測していたが、ほぼ予測通りの 96.3% の正答率であった。誤答の内容から (無回答についての理
由は不明であるものの )計算間違いについてはケアレスミスと思われるものであり、微分と積分が混ざ
らないように検算を習慣化させる指導が必要であると感じたが、全体として定積分の計算方法自体の習
得には問題が無いと認識出来た。
設問３では、ラプラス変換等に用いられる合成積に関する計算問題を出題した。積分区間と被積分関
数に変数  が含まれるため、丁寧に積分計算を行わないと計算間違いを起こしやすい問題である。定義
に従って被積分関数の部分を 2 と正しく表せるか、その後展開をして定積分の計算が出来る
か、  変数の残る通分計算を正しく行えるかがポイントとなる。誤答内容については、例の記載がある
場合は被積分関数を正しく表せていても計算間違いをするものが最も多く、例の記載が無い場合は白紙
であるものが最も多いという結果であった。定義のみの提示でも正答出来る学生が一定数いるものの、
具体例のある方が初期段階で間違え難くなることが分かる。例の提示にさらに具体的な計算までの記載
があれば、例の記載がある場合の正答率はより上昇したと思われる。全体としては予想以上に正答率が
   
・ 2  を計算する 
(例あり３件/例なし１件) 
・ 2  を計算する (例なし３件) 
・ , のまま(部分積分等を用いて)計算 
する          (例あり２件/例なし６件) 
・ 2  等、式の間違い 
(例あり１件/例なし５件) 
4. 解答例： 
 
=  
1
2
           0  ≦ 2  
 0          ≦ 0,   2
 
 
 
誤答例：  
・ 無回答       (例あり８件/例なし５件) 
・  の式は正しいがグラフなし 
(例あり１件/例なし２件) 
・ 反比例のグラフを書く 
(例あり２件/例なし５件) 
・ グラフの図示が逆 
(0  ≦ 2 で = 0) 
  (例なし１件) 
 
 
 
 
 
― 190 ―
Ｏ 正 誤 計
例あり 27 27 54
例なし 18 36 54
計 45 63 108
Ｅ 正 誤 計
例あり 22.5 31.5 54
例なし 22.5 31.5 54
計 45 63 108
 
 =  
( O E )
E
 
      =  
( 27 22.5 )
22.5
+  
( 27 31.5 )
31.5
 + 
( 18 22.5 )
22.5
+ 
( 36 31.5 )
31.5
 
      0.9 + 0.643 + 0.9 + 0.643 
      = 3.086 < 3.841          
低くなっているが、中には　　　　　　　　　　　とするようなケアレスミスと見られる計算間違いも
数件あり、やや複雑な計算においては具体例を提示するだけではなく、ケアレスミスが減るように計算
式を丁寧に書かせることが大切であろう。
設問４では、階段関数のグラフ表示に関する問題を出題した。文字式を用いていても、階段関数自体
は既に馴染みのあるグラフであるのか、例の提示ありなしでの正答率は大幅には変わらなかった。しか
しながら、誤答のうち　　　　  から反比例のグラフを連想した解答が例の提示なしの場合に比較的多
く表れていることから、この設問においても具体例の提示は正答への一定の助けになっていたと考えら
れる。また、端点の白丸・黒丸の表記が足りないものと、座標として必要な　　の値の表記が足りない
ものを準正答として別に集計したが、階段関数のグラフ自体は理解していると認識して正答率では正答
と同等の扱いをしている。
　今回の調査結果の中で、設問３については例の有無に対して正答率に大きく差が開いたことから、設
問３の例の有無と設問３の正誤に関係があると言えるかどうかを検定する。また、設問３において例が
ある場合は正しい式が書けていても、計算間違いにより誤答となった解答が多く見受けられたことか
ら、設問 3の例の有無と設問３で式が正しく書けたかどうかについても関係があると言えるかどうかを
合わせて検定する。これにより、例の有無が正答にどの程度影響しているかを知ることが出来る。有意
水準５％で 検定 ( 独立性の検定 ) を行う６)。以下の表において縦欄の例あり・例なしは設問３の例
ありと例なしの数を表し、横欄の正、誤は (その１)が設問３の計算結果を含む正答・誤答者数を、(そ
の２) が設問３の計算結果を含まない式のみの正答・誤答者数を表している。 O を実測度数 (Observed 
frequency)、Eを期待度数 (Expected frequency) とする。
設問３について
(その１)
帰無仮説：例の有無は解の正誤に関係が無い
対立仮説：例の有無は解の正誤に関係がある
　　　　　        
有意水準５％以下では仮説を棄却することが出来ない
従って、例の有無は解の正誤に関係があるとは言えない
 2( ) = 2  
( ) =  
2 ,  
解析学における問題解決能力向上への一考察
― 191 ―
藤垣佳子
( その２)
帰無仮説：例の有無は式の正誤に関係が無い
対立仮説：例の有無は式の正誤に関係がある
 
  =  
( O E )
E
 
       =  
( 43 32 )
32
+ 
( 11 22 )
22
 + 
( 21 32)
32
+ 
( 33 22 )
22
 
       3.781 +  5.5 +  3.781 +  5.5 
       =  18.562 >  3.841 
有意水準５％で仮説を棄却することが出来る
従って、例の有無は式の正誤に関係があると言える
上記における の値の棄却域は、有意水準５％で自由度１より 分布表から   ( 0.05 ) = 3.841 以上と
なる。結果として、設問３における例の有無は解答の正答・誤答に関係があるとは言えなかったが、正
しい式が書けるかどうかには強く関係していると言える。従って、設問３については例の有無のみでは
なく、計算を正しく行えるかどうか、文字の扱いに慣れているかどうかなど他の様々な要因が正答に関
わってくると考えられる。前述したように、例において2  の積分計算までを記した場合はより正答
が増加する可能性もあり、段階的な理解度をより詳細に測るためには例の提示内容も分けるべきであっ
たかもしれない。今後同様の調査を行う際には、より確実なデータが取れるように問題を精査していき
たい。
Ⅳ .結論
　今回は文字を含む初見の問題に関する学生達の解答の傾向について調査を行ったが、初めて見る問題
であっても具体例を示すことが理解への一定の助けとなることが分かった。合わせて、初歩的な計算間
違いを減らすための計算力や集中力をつけさせる必要性も感じた。大学の講義においては、専門性が進
むに従い教授する内容も増えて双方向ではない講義形式を取りがちである。そのような場合でも必要に
応じて具体例を示すことが重要であり、今回の様に学生達の理解度を段階的に測る調査は双方にとって
有用であると考える。
注・文献
１）日本数学会教育委員会 (2013)：第一回大学生数学基本調査報告書
２）伊藤仁一 (2013)：教師に必要な数学能力形成に対する数学者の責任 , 京都大学数理解析研究所講
究録 ,　No.1828.
３）丹羽正彦 (2010)：中学校・高等学校の数学教師の養成における数学専門科目の標準的なモデルの
構想，京都大学数理解析研究所講究録，No.1711.
Ｏ 正 誤 計
例あり 43 11 54
例なし 21 33 54
計 64 44 108
Ｅ 正 誤 計
例あり 32 22 54
例なし 32 22 54
計 64 44 108
― 192 ―
４）大竹博巳 (2018)：数学教師に必要な数学能力を育成する教材に関する研究，京都大学数理解析研
究所講究録，No.2072.
５）藤垣佳子 (2014)：計算過程の重要性－文字式と指数・分数の問題について－，教育実践科学研究
センター紀要，第 13 号，201-206.
６）階堂武郎著 (2000)：医系の統計入門，森北出版株式会社 .
　　


A Study for Improving the Ability to Solve Problems by Analysis

Not a member yet