Gifu Shotoku Gakuen University Repository / 岐阜聖徳学園大学リポジトリ

藤垣, 佳子

フジガキ, ヨシコ

FUJIGAKI, Yoshiko

― 197 ―
論　 文
方程式の解法にみる大学生の計算傾向について
藤　垣　佳　子
岐阜聖徳学園大学教育学部
Calculation Tendencies of University Students Analyzed by the Way of 
Solving Equations
Yoshiko FUJIGAKI
Abstract
　In studying analysis at universities, students tend to have difficulty solving mathematical 
word problems and equations. In this study, I investigated how university students answered 
two types of mathematical word problems after providing hints. As a result, it was found 
that students tend to derive correct mathematical formulas after being given some hints. 
In addition, the study demonstrates that calculation skills for solving equations are also 
necessary in order to answer the problems correctly. 
Key words：analysis, mathematical word problems, linear equations
Ⅰ．はじめに
　大学において学ぶ数学には、高校数学までとは異なりより抽象的な概念が含まれる場合が多くある。
しかしながら解析学において微分積分の計算について学ぶ際には、高校数学までの計算や考え方を必要
としたり、計算の際により基礎的な方程式を解く場合もある。例えば多変数関数の偏微分の応用として
学ぶ条件付き極値問題（ラグランジュの乗数法 )１）では、多変数に関する連立方程式を解くことにな
るが、偏微分を用いて連立方程式を正しく立てられていても、解を求める際に苦労する学生を目にする
場合がある。また様々な計算問題を扱う際には、微分積分に関する知識のみではなく高校数学までに習
得するべき計算方法を確実に身に付けているかどうかが、正しい答えを短時間で導けるかどうかに深く
関わっているように感じられてきた。そこで本研究では、学生達の具体的な計算傾向を確認及び分析す
ることで、今後より効果的に講義内容を理解させるための対応について模索する。
　大学生の計算に特化した大規模な全国調査については、2013 年に日本数学会教育委員会から報告さ
れている２）。今後義務教育課程を含む学生達の計算力をより高めていくためには文献３）にもあるよう
に、将来教員を目指す学生達に対して専門的な数学をどこまで教えるかと並行して、より基礎的な数学
の計算や考え方についても再確認させることが必要になるだろう。現在の大学生の具体的な計算傾向を
知ることで、今後必要な対応についても見えてくるのではないだろうか。また筆者の今までの経験の中
で、方程式は正しく解けるが数学の文章問題になると苦手意識が高まる、あるいは文章問題から解くべ
き方程式は正しく立てられたとしても計算の段階で間違えてしまうという学生を度々目にしてきた。既
に行った文章問題に関する調査結果から、たとえ不正確な方程式の提示であっても、文章問題から正確
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な方程式を立てるにはヒントとなりうることが示されている４）。文献４）ではやや複雑な１元１次方程
式に関する文章問題を扱ったのだが、その際に方程式の計算間違いで誤答とした解答も多くあり、誤答
となった学生がより基本的な方程式であれば解けるのかどうかの確認は出来ていなかった。そこで今回
は、方程式に関する問題に絞り文章問題と合わせてさらなる調査を行うことで、学生の具体的な計算傾
向について確認することにした。
Ⅱ .調査方法及び内容
　今回の計算問題に関する調査は、大学において解析学に関する講義を受講している学生 (主として小
学校・中学校の数学教員を目指す学生 )を対象として、岐阜聖徳学園大学教育学部の学生 125 名に対し
て 2023 年７月に行った。設問２にヒントを記載したタイプと、設問３にヒントを記載したタイプの２
種類のアンケートを作成して、それぞれほぼ同数となるように無作為に配布した。調査の際に、出来る
限り計算過程を省略せず解答を書いて欲しい旨を口頭でも伝えて、下記の計算問題を解いてもらうこと
にした。
　調査には記述問題であることを考慮して約 15 分の解答時間を取った。文章問題を扱う前に１次方程
式が正しく解けるかどうかを確認する必要があるため、設問１では基礎的な１次方程式の問題を、設問
２及び設問３については高校数学までの知識で解ける文章問題として、１次方程式及び連立方程式に関
する問題を扱うことにした。
図１　アンケート内容
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な方程式を立てるにはヒントとなりうることが示されている４）。文献４）ではやや複雑な１元１次方程
式に関する文章問題を扱ったのだが、その際に方程式の計算間違いで誤答とした解答も多くあり、誤答
となった学生がより基本的な方程式であれば解けるのかどうかの確認は出来ていなかった。そこで今回
は、方程式に関する問題に絞り文章問題と合わせてさらなる調査を行うことで、学生の具体的な計算傾
向について確認することにした。
Ⅱ .調査方法及び内容
　今回の計算問題に関する調査は、大学において解析学に関する講義を受講している学生 (主として小
学校・中学校の数学教員を目指す学生 )を対象として、岐阜聖徳学園大学教育学部の学生 125 名に対し
て 2023 年７月に行った。設問２にヒントを記載したタイプと、設問３にヒントを記載したタイプの２
種類のアンケートを作成して、それぞれほぼ同数となるように無作為に配布した。調査の際に、出来る
限り計算過程を省略せず解答を書いて欲しい旨を口頭でも伝えて、下記の計算問題を解いてもらうこと
にした。
　調査には記述問題であることを考慮して約 15 分の解答時間を取った。文章問題を扱う前に１次方程
式が正しく解けるかどうかを確認する必要があるため、設問１では基礎的な１次方程式の問題を、設問
２及び設問３については高校数学までの知識で解ける文章問題として、１次方程式及び連立方程式に関
する問題を扱うことにした。
図１　アンケート内容
方程式の解法にみる大学生の計算傾向について 藤垣佳子
Ⅲ .集計結果及びその分析
　計算問題に関するアンケートを集計し、その結果と解答例及び誤答例についてまとめたものは以下の
通りである。文章問題から立式が出来るかどうかと方程式が正確に解けるかの２点を確認するために、
設問２と設問３については白紙を含む未解答や計算途中のもの及び立式の正しくないものを誤答として
扱い、1 次方程式又は連立方程式の立式部分は正しいが計算結果は正しくないものを準正答として集計
した。
　解答例及び誤答例を以下にまとめる。
図２　正答率のグラフ
表１　各設問に関するアンケート集計結果
（回答者数 125 名・内タイプ１(63 名 )/ タイプ２(62 名 )）
設問 正答数 準正答数 誤答数
正答率
(正答 )
準正答率
(正答+準正答)
1 116 - 9 92.80% -
2( ヒント有 ) 43 15 5 68.30% 92.10%
2( ヒント無 ) 35 14 13 56.50% 79.00%
3( ヒント有 ) 31 18 13 50.00% 79.00%
3( ヒント無 ) 47 5 11 74.60% 82.50%
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　次に、各設問結果の簡単な分析について述べる。
　設問１では、基本的な１次方程式を解く問題を設定した。分数計算については間違えやすい部分もあ
るため若干の計算間違いがあるだろうと予測していたが、正答率は 92.8％であり誤答の内容はケアレ
スミスと思われる通分や約分の際の単純な計算間違いであった。この結果から今回調査を行った対象学
生については、基本的な１次方程式の解き方は十分身に付いていると言えるだろう。
　設問２では、文章問題から１元１次方程式を立てて解く問題を設定した。１元１次方程式については
中学校１年生の数学で学習する内容５）となるが、社会人になってからの資格試験等でも出題される場
合があり様々な場面で必要になる知識である。文章の内容を理解して質問の意味を読み取り何につい
ての方程式を立てるかが重要となるが、今回は飴の総数について方程式を立てる点と最初に配った人
数を求める未知数とする点をヒントとした。ヒントの有無で正答率に約 12%（ヒント有り 68.3% とヒン
ト無し 56.5%）の差が生じたが、正しい式が書けたかどうかの準正答率についても約 13%（ヒント有り
92.1% とヒント無し 79.0%）の差となった。ヒントの有無が文章問題から正しい方程式を立てる部分に
影響を与えたと見られるが、準正答率と正答率の差異が大幅には変わらないことから、実際に方程式を
解き正答を求める部分にはヒントが影響していないように見える。
　設問３では、文章問題から連立方程式を立てて解く問題を設定した。３元１次方程式については、立
式部分だけではなく変数を減らして方程式を解いていく部分に複雑さがあり、計算間違いも起きやすい。
品物それぞれの価格を変数と置く部分をヒントとしたが、表１にあるようにヒントの有無と正答率及び
正しい式が書けたかどうかの準正答率の結果が逆転している（ヒント有り 79.0% とヒント無し 82.5% 及
びヒント有り 50.0% とヒント無し 74.6%）。今回の設問３に対するヒントの出し方は適当ではなかった、
あるいは思考の補助とはならないヒントであったと見ることが出来る。また、今回は問題の難易度を踏
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　次に、各設問結果の簡単な分析について述べる。
　設問１では、基本的な１次方程式を解く問題を設定した。分数計算については間違えやすい部分もあ
るため若干の計算間違いがあるだろうと予測していたが、正答率は 92.8％であり誤答の内容はケアレ
スミスと思われる通分や約分の際の単純な計算間違いであった。この結果から今回調査を行った対象学
生については、基本的な１次方程式の解き方は十分身に付いていると言えるだろう。
　設問２では、文章問題から１元１次方程式を立てて解く問題を設定した。１元１次方程式については
中学校１年生の数学で学習する内容５）となるが、社会人になってからの資格試験等でも出題される場
合があり様々な場面で必要になる知識である。文章の内容を理解して質問の意味を読み取り何につい
ての方程式を立てるかが重要となるが、今回は飴の総数について方程式を立てる点と最初に配った人
数を求める未知数とする点をヒントとした。ヒントの有無で正答率に約 12%（ヒント有り 68.3% とヒン
ト無し 56.5%）の差が生じたが、正しい式が書けたかどうかの準正答率についても約 13%（ヒント有り
92.1% とヒント無し 79.0%）の差となった。ヒントの有無が文章問題から正しい方程式を立てる部分に
影響を与えたと見られるが、準正答率と正答率の差異が大幅には変わらないことから、実際に方程式を
解き正答を求める部分にはヒントが影響していないように見える。
　設問３では、文章問題から連立方程式を立てて解く問題を設定した。３元１次方程式については、立
式部分だけではなく変数を減らして方程式を解いていく部分に複雑さがあり、計算間違いも起きやすい。
品物それぞれの価格を変数と置く部分をヒントとしたが、表１にあるようにヒントの有無と正答率及び
正しい式が書けたかどうかの準正答率の結果が逆転している（ヒント有り 79.0% とヒント無し 82.5% 及
びヒント有り 50.0% とヒント無し 74.6%）。今回の設問３に対するヒントの出し方は適当ではなかった、
あるいは思考の補助とはならないヒントであったと見ることが出来る。また、今回は問題の難易度を踏
方程式の解法にみる大学生の計算傾向について 藤垣佳子
まえて問題の順序をアンケート全体で揃えることにしたが、設問３において立式は正しく出来ているが
計算途中のものがヒント無しでは１件であったのに対して、ヒント有りでは７件もあった。全体として
タイプ２の問題を解いた学生達がヒント無しの設問２の計算に時間を取られてしまい、設問３の解答に
十分な時間が残らなかった可能性もある。今後はヒントのある設問を先に設定する、あるいは各設問毎
に解答時間を設定する方がより正確な調査を行えるかもしれない。
Ⅳ .設問２に関する検定
　今回の調査結果の内、設問２についてさらに分析を行う。ヒントの有無と解答の正誤に関係があると
言えるかどうかを検定する。さらに、立式は正しかったが計算間違いにより誤答となった解答 (準正答
としたもの )が多く見られたことから、ヒントの有無と立式が正しい (正答及び準正答としたもの )か
どうかについても関係があると言えるかどうかを合わせて検定する。これにより、今回のヒントの有無
が正答にどの程度影響しているかについて調べることが出来る。有意水準５%でχ2 検定（独立性の検定）
を行う６）。以下の表において縦欄のヒントあり・なしは設問２のヒントありとヒントなしの数を表し、
横欄の正、誤は（その１）が設問２の計算結果を含む正答・誤答者数を、（その２）が設問２の計算結
果を含まない立式のみの正答・誤答者数を表している。０を実測度数 (Observed frequency)、E を期待
度数 (Expected frequency) とする。
― 202 ―
　上記におけるχ2 の値の棄却域は、有意水準５% で自由度１よりχ2 分布表からχ1
2(0.05)=3.841 以上
となる。結果として、設問２におけるヒントの有無は解答の正答・誤答に関係があるとは言えなかった
が、正しい式が書けるかどうかには関係していると言える。従って、設問２についてはヒントにより正
しい式を立て易くなったと言えるが、正しい式が立てられたとしても実際に計算を正確に行えるかどう
かが正答率に深く関わってくると考えられる。
Ⅴ .　結論
　今回は、学生が苦手な傾向にあると思われる文章題を解く際に、簡単なヒントがどの程度方程式の立
式部分や問題の解答に影響するかについての調査を行った。何について方程式を立てるかのヒントが、
文章から式を立てる際に影響を与えることが分かったが、方程式を解くという基礎的な計算自体が正答
率と深く関わることも示されたと言える。計算部分での間違いとしては、移項の際の符号間違いや通分、
約分の際の計算間違いなどが見られた。今後の大学の講義においても、適宜適当なヒントを与えて学生
達の考え方を助けながら、恒常的に基礎的な数学計算の力を伸ばす工夫が必要であることを再確認した。
注・文献
１）石原繁・浅野重初（1999）：「理工系入門微分積分」，裳華房．
２）日本数学会教育委員会 (2013)：第一回大学生数学基本調査報告書．
３）伊藤仁一 (2013)：教師に必要な数学能力形成に対する数学者の責任，京都大学数理解析研究所講
究録，No.1828．
４）藤垣佳子 (2022)：計算過程の分析にみる学生の計算傾向について，教育実践科学研究センター紀要，
第 22 号，185-190．
５）文部科学省 (2018)：「中学校学習指導要領 (平成 29 年告示 )解説数学編」，日本文教出版．
６）階堂武郎 (2000)：「医系の統計入門」，森北出版株式会社．


Japanese

Calculation Tendencies of University Students Analyzed by the Way of Solving Equations

常, 偉

チャン, ウェイ

CHANG, Wei

A Study on the Development of Yogacara Doctrine in the Ming Dynasty

奥付(岐阜聖徳学園大学 仏教文化研究所紀要 第24号)

萩野, 翔太

ハギノ, ショウタ

HAGINO, Shota

On the interpretation of hisho（Enticing Others to Enlightenment）in the early Japanese Tendai Buddhism: Enchin’s Hokkeron-ki and Juketsu-shu

北村, 安裕

キタムラ, ヤスヒロ

久米, 舞子

クメ, マイコ

重田, 香澄

シゲタ, カスミ

堀井, 佳代子

ホリイ, カヨコ

Study of "Suisa-ki" (from April to June in Jiryaku 1)

中島, 才喜

ナカシマ, サイキ

Child-centered Collaboration in Diverse Communities: Practicing What Was Learned at the University of Fukui’s United Graduate School of Teacher Education

山田, 貞二

ヤマダ, テイジ

Considerations Regarding the Analysis of Teaching Materials for Moral Education Courses: The Use of Moral Curves in Analyses

田中, 亨胤

タナカ, ユキタネ

Perspectives of Early Childhood Education based on the Contact between Theories and Practices




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