AROUS Academic Repository of Okayama University of Science / 岡山理科大学学術リポジトリ

藤原, 享志朗

フジワラ, キョウシロウ

Fujiwara, Kyoshiro

米山, 佳和

ヨネヤマ, ヨシカズ

Yoneyama, Yoshikazu

井上, 翔太

イノウエ, ショウタ

Inoue, Shota

橋川, 直也

ハシカワ, ナオヤ

Hashikawa, Naoya

橋川, 成美

ハシカワ, ナルミ

Hashikawa-Hobara, Narumi

カルシトニン遺伝子関連ペプチド欠損マウスの不安様行動評価
藤原 享志朗・米山 佳和・井上 翔太・橋川 直也・橋川 成美
岡山理科大学大学院理学研究科臨床生命科学専攻
1. 緒言
人における不安の症状として、動悸、息苦しさ、死
への恐怖、感覚麻痺やしびれ、頻尿、のどの渇き、不
眠、頭痛、強迫行為、人混みに対する恐怖など、さま
ざまな症状が現れる。また、不安障害は無数に存在す
るが大きく分類すると社会不安障害、パニック障害、
全般性不安障害、強迫性障害の 4 つに分けることが出
来る。不安が起こる原因として地震などの災害や友人
や家族の死去などの急激な精神的衝撃、日常生活の中
で生じる慢性的なストレス、家族関係の悪化などから
生じる精神的葛藤、幼児期からの身の回りの環境の中
で 形 成 さ れ た 性 格 の 偏 り 、 セ ロ ト ニ ン (5-
hydroxytryptamine: 5-HT）  や γ-アミノ酪酸 (gamma-
aminobutyric acid; GABA) などの神経伝達物質の異常
などが挙げられる。現在、不安の治療薬にはベンゾジ
アゼピン(BZD) 系の抗不安薬が用いられている。その
作用機序は、脳内の神経細胞の細胞体と樹状突起に分
布する GABA 受容体の 1 つである、GABAA 受容体に
存在している BZD 受容体に結合することでアゴニス
トとして作用し、神経活動を抑制に導く。GABA の神
経伝達が亢進すればするほど催眠・鎮静作用などがあ
らわれる。BZD 受容体は、GABAA 受容体と複合体を
形成していて、BZD 受容体が刺激されると GABA に 
関わる神経伝達が亢進し、脳の活動が抑制され眠気な
どがあらわれる。抑制性神経伝達物質である GABA の
刺激によって Cl‾の細胞内への通過性を高めて抗不安
効果を発揮する¹⁾。非ベンゾジアゼピン系の抗不安薬
としてセロトニン作動性抗不安薬(タンドスピロン)が
用いられている。セロトニンは脳内では神経興奮・抑
制などに関わり、そのバランスが乱れると不安、抑う
つ、睡眠障害などが引き起こされる。受容体には、5-
HT1 から 5-HT7 までの 7 つのサブタイプがあり、さら
に 5-HT1A や 5-HT1B などのサブタイプがある。5-
HT1A 受容体はセロトニン神経細胞の細胞体や樹状突
起やシナプス前膜・後膜共に存在している。タンドス
ピロンは前シナプスの 5-HT1A 受容体に作用し、セロ
トニンの放出を抑制し、神経伝達を阻害する。さらに
後膜の 5-HT1A 受容体に結合すると、過分極を引き起
こし、セロトニン神経活動を抑制するため、抗不安作
用をあらわす。さらに、神経過敏による抑うつや恐怖
などを和らげる作用も示すことが報告されている¹⁾。
このように様々な薬が不安の治療薬として用いられて
いるが、神経ペプチドの 1 種であるカルシトニン遺伝
子関連ペプチド(calcitonin gene-related peptide; CGRP) 
をターゲットとした不安における影響についてはまだ
不明な点が多い。CGRP はカルシトニン遺伝子の解析
から推定され、同一遺伝子上にコードされている 37 個
のアミノ酸からなる神経ペプチドの一種であり、1982
年に発見された。CGRP は、心血管系を含め、中枢末
梢に含まれており、cAMP を上昇させ、血管拡張、心
拍数増加、心筋収縮力増大²⁾、片頭痛を誘発する等の
作用がある³⁾。これまでに CGRP を脳室内投与するこ
とにより不安様行動が誘発されることを報告してきた
⁴⁾。しかし、CGRP が恒常的に発現していないマウス
の不安様行動への影響は明らかでない。そこで今回
我々は、CGRP 欠損（CGRP knock out; CGRP KO） マ
ウスを用いて、行動試験を行い不安様行動に影響があ
るかどうか評価を行った。
2. 実験材料および実験方法
2-1 実験動物
実験動物には、12 週齢の CGRP KO マウスおよび、
対照群として同週齢の C57BL/6J 雄性マウスを WT マ
ウスとして用いた。動物はケージ内に 3～5 匹ずつ分
けて飼育を行った。自由給餌法にて飼育し、飲料水は
水道水を与えた。
2-2 行動試験による評価
(i) Open field test
四角形の箱たて 37 ㎝×よこ 37 ㎝×高さ 33 ㎝の中
央に置きマウスを置き、3 分間の行動を観察した。測
定項目は中央滞在時間と総移動距離の 2 つを行った。
中央滞在時間が短ければ短いほど不安を感じていると
考えられる。また、総移動距離が長ければ長いほど自
発行動量が増加していると考えられる。行動を解析す
るにあたって、マウスの行動をビデオで撮影し、その
後ビデオトラッキングソフトウェア「ANY-Maze」 
(Stoelting Co., Chicago, IL, USA) を用いて評価した。 
岡山理科大学紀要　第58号 A pp. 1-5 (2022)
(2022年9月30日受付、2022年12月5日受理) 
(ii) Plus maze test
本試験によりマウスの不安を測定した。高架式十字
迷路は 15 cm×5 cm の 2 つのオープンプラットフォー
ムが 15 cm の壁に囲まれた同じ面積の 2 つのプラット
フォームと水平に十字に交差しており、床から 35 cm
の高さに設置されている。マウスを十字の迷路中央に
鼻先が Open arms の方に向くように置き、5 分間オー
プンアームとクローズドアームに入った回数と滞在時
間とオープンアームに入った割合を測定した。オープ
ンアームに滞在または入った回数が多ければ不安を感
じていないと考えられる。行動の解析はビデオトラッ
キングソフトウェア「ANY-Maze」 を用いて評価した。 
(iii) Hole board test
本試験では、実験動物を穴が空いた四方形 50 ㎝×
50 ㎝のオープンフィールドに入れ、マウスが穴を覗く
行 動(head dipping) を観察することによって不安の評
価を行う。本実験装置の床にはマウスの頭部が入る程
度の直径 3 cm の穴を中央から等距離に 4 ヵ所設ける。
装置内を自由に探索行動させ、最初に穴を覗くまでの
時間と穴を覗いた回数を測定する。動物の不安状態が
低いほど head dipping 行動は増加し、不安状態が高い
ほど抑制される。
2-3 統計学的解析
Graph Pad Prism 9 ソフトウェア(Graph Pad Software
Inc., SanDiego, CA, USA)を用いて統計解析を行った。
得られたデータ値を平均値±標準誤差(Mean ± S.E.M) 
で表した。また Welch’s t-test を用いて統計的処理を行
い、いずれも有意水準 5 %以下を有意差ありと判定し
た。
3． 結果 
3-1 Open field test
CGRP KO マウスではＷＴマウスと比較して総移動
距離が有意に低下しており自発行動量が低下したこと
が分かる（Fig. 1 A）。さらに CGRO KO マウスにおい
て中央滞在時間の有意な延長が見られたことから、壁
際にいることにこだわりがなく、特に不安を感じてい
ないことが分かる（Fig. 1 B）。 
Fig 1．CGRP KO マウスにおける Open field test 
WT マウス、CGRP KO マウスそれぞれの代表的な軌跡。
(A)総移動距離 (B)中央滞在時間。括弧内の数字はマ
ウスの匹数を表す。WT: wild-type mouse, CGRP KO:
CGRP knock out mouse *p<0.05, Welch’s t-test. **p<0.01,
t-test.
3-2 Plus maze test
CGRP KO マウスとＷＴマウスを比較して、総エント
リー回数、オープンアームへの滞在時間およびオープ
ンアームに入った割合のいずれにおいても有意な変化
が見られなかったことから、Plus maze test においては
CGRP 欠損による行動の影響は見られなかった(Fig.
2A, B, C)。 
2 藤原享志朗・米山佳和・井上翔太・橋川直也・橋川成美
Fig 2．CGRP KO マウスにおける Plus maze test 
(A)総エントリー回数 (B)オープンアームへの滞在時
間 (C)オープンアームに入った割合。括弧内の数字は
マウスの匹数を表す。WT: wild-type mouse, CGRP KO:
CGRP knock out mouse.
3-3 Hole board test
マウスが最初に穴を覗くまでの時間とマウスが穴を
覗いた回数においてどちらも有意な差は見られなかっ
た（Fig. 3A, B）。 
Fig 3．CGRP KO マウスにおける Hole board test 
(A)最初に穴を覗くまでの時間 (B)穴を覗いた回数。
括弧内の数字はマウスの匹数を表す。WT: wild-type
mouse, CGRP KO: CGRP knock out mouse.
4. 考察
本実験では、12週齢の雄性C57BL/6Jマウスおよび、
同週齢の CGRP KO マウスを用いて CGRP の欠損がマ
ウスの不安様行動に関係しているか検討するために、
3 種類の行動試験を行った。一般行動試験として Open
field test を行い、マウスの自発行動量を評価した。
Open field test において自発行動量の減少と中央滞在時
間の有意な延長が見られた。さらに、不安様行動の試
験として、Plus maze test と Hole board test を行った。
CGRP KO マウスで Plus maze test および Hole board test
のいずれにおいても不安様行動を示す結果は見られな
かった。CGRP KO マウスにおいて総移動距離が減少し
た理由として、CGRP 欠損により、周囲の環境に順応
しやすく、探索行動が減弱した可能性が考えられる。
その結果 WT マウスより中央滞在時間の増加が見られ
たと考えられる。我々の以前の研究結果においても
CGRP を脳室内投与することで不安様行動が観察され
た⁴⁾。また、マウスに CGRP の受容体拮抗薬である
BIBN4096 あるいは CGRP8-37 を脳室内投与すると
Plus maze test において不安様行動の改善が見られたと
いう報告が挙げられている⁵⁾。さらに、BIBN4096 とニ
カルシトニン遺伝子関連ペプチド欠損マウスの不安様行動評価 3
ューロキニン 1(NK1）受容体拮抗薬をマウスの腹腔内
に同時に投与すると、Plus maze test において不安様行
動の改善が見られたという報告が挙げられている⁶⁾。
これらの報告は CGRP が恒常的に発現していないマウ
スでは不安様行動は観察されなかった今回の研究結果
を支持している。
我々は 3 種類の行動試験を行ったが、不安様行動を
評価するテストには明暗探索(Light/dark test) やガラス
玉覆い隠し試験(Marble-burying test) など様々な試験
がある。明暗探索試験とは、明るい部屋と暗い部屋の
2 部屋から構成された装置を使用する。測定指標とし
ては、各部屋における動物の探索行動や滞在時間を測
定する。装置に入れられたマウスは暗い場所を好み、
明るい場所を嫌う習性があるため、明室での探索行動
や滞在時間が減少する。この特性を活用して不安様行
動の評価を行う⁷⁾。ガラス玉覆い隠し試験とは、マウ
スなどの小動物は、恐怖や嫌悪を感じる対象や新奇で
奇異な異物に対して埋め隠し行動を示す習性を利用し
た試験である⁷⁾。そのほかにも実験的ストレスを負荷、
あるいは分子生物学的・薬理学的操作などを施して実
験動物に影響を与えることによって作製される条件付
け行動による評価を行うための試験として、コンフリ
クト試験 (Conflict test) や文脈的恐怖条件付け試験
(Contextual fear conditioning test) がある。コンフリクト
試験とは、BZD 系の抗不安薬など、多くの薬物に対し
て信頼性の高い評価が可能である。コンフリクト試験
とは、摂餌制限または絶飲条件を加えて飼育したマウ
スにレバー押し行動を習得させテスト前日に訓練を実
施する。一定数のレバー押し行動に対して電撃ショッ
クを与え、マウスを条件付けさせると、レバー押し行
動は著しく減少する。このように餌や水を得たいとい
う欲求と電撃ショックという罰に対する不安・恐怖か
らコンフリクト状態が惹起される。この状況下で薬を
投与し、被ショック回数、餌・水の摂取回数およびレ
バー押し回数を評価指標として測定する。文脈的恐怖
条件付け試験とは、一定の環境下で回避不可能な電撃
ショックを実験箱の床から負荷する。実験箱に条件付
けを行い、再びマウスを同じ実験箱に入れる操作によ
って引き起こされる心理的ストレス反応を測定するこ
とで評価される。この心理的ストレス反応の一つとし
て、電撃ショックを与えなくても呼吸運動以外の体動
を示さない無動状態のまま身体をすくませるという防
御反応としてすくみ行動(Freezing) を示す。Freezing 
は恐怖や不安の指標とされ、Freezing が多く出現する
ほど程度は強く、少ないほど弱いと考えられる。
Freezing 以外にも脱糞や Freezing 中の心拍数の増加
などが条件恐怖ストレス反応の指標として用いられる。
また、コンフリクト試験や文脈的恐怖条件付け試験で
は BZD 系の抗不安薬以外にもセロトニン作動性抗不
安薬に対して感受性があり、薬物を投与すると不安様
行動を改善したという報告が挙げられている⁷⁾。
今回我々が行った不安様行動試験は、明暗探索試験
やガラス玉覆い隠し試験などと同様に罰刺激や学習訓
練の実施を必要としない生得的・潜在的な行動による
評価を行うための試験となっている。さらに、今回行
った試験はいずれにおいても BZD 系の抗不安薬に感
受性があり、薬物を投与すると不安様行動を改善した
という報告が挙げられている⁷⁾。本実験の結果は、
CGRPKO マウスにおいて、GABA神経系への変化による不
安様行動への影響はみられないことを示唆している。
しかし前述したように、非ベンゾジアゼピン系薬物に
感受性のある他の不安様行動試験を行っておらず、
CGRP 欠損がセロトニン神経系への影響を及ぼしてい
るかどうかは、未だ不明であり更なる今後の研究が必
要である。 
本実験の結果より、CGRP KOマウスでは Open field 
test において中央滞在時間の有意な増加と総移動距
離の有意な低下が見られた。さらに、Plus maze test 
と Hole board test において有意な変化が見られなか
った。以上のことから、これまでに我々が CGRP 脳室内
投与による不安様行動の誘発について報告を上げてい
る通り、CGRP が不安様行動の誘発に重要な役割を果た
している可能性が示唆された。
参考文献
1） 辻  敬一郎、田島  治 :抗不安薬日本臨牀 ,70,1,pp42-
46(2012) 
2） 白井 孝:薬学図書館, 38,1,pp1-7(1993) 
3） Lassen LH, Haderslev PA, Jacobsen VB, et al. CGRP may play 
a causative role in migraine. Cephalalgia ,22,pp54-61(2002) 
4） 第 140 回 日本薬理学会 近畿部会(2021) 
5） Schorscher-Petcu A, Austin JS, Mogil JS, Quirion R. Role of
central calcitonin gene-related peptide (CGRP) in locomotor
and anxiety- and depression-like behaviors in two mouse
strains exhibiting a CGRP-dependent difference in thermal
pain sensitivity. J Mol Neurosci.39,1-2,pp125-136(2009). doi: 
10.1007/s12031-009-9201-z. Epub 2009 Apr 18. PMID:
19381879. 
6） Kim MS, Kim BY, Saghetlians A, Zhang X, Okida T, Kim SY. 
Anti-nociceptive effects of dual neuropeptide antagonist
therapy in mouse model of neuropathic and inflammatory pain. 
Korean J
Pain.35,2,pp173182(2022).doi:10.3344/kjp.2022.35.2.173. 
PMID: 35354680; PMCID: PMC8977203. 
7） 山口 拓，吉岡 充弘:不安関連行動の評価法日薬理誌
(Folia Pharmacol. Jpn.)130,pp105-111(2007) 
4 藤原享志朗・米山佳和・井上翔太・橋川直也・橋川成美
Evaluation of anxiety-like behavior in calcitonin gene–related 
peptide KO mice 
Kyoshiro FUJIWARA, Yoshikazu YONEYAMA, Shota INOUE, 
Naoya HASHIKAWA, and Narumi HASHIKAWA-HOBARA 
Graduate School of science, Okayama University of science 
1-1Ridai-cho, Kita-ku, Okayama 700-0005, Japan
Background: Anxiety is a disorder in which a person becomes afraid of being the center of attention or 
being embarrassed in front of others and feels intense pain not only when talking to people but also when 
there are several people around. We previously reported that intracerebroventricular injection of 
calcitonin gene–related peptide (CGRP) induced anxiety-like behavior in mice. However, the effect of 
CGRP on anxiety-like behavior in mice lacking constitutive expression is unclear. In this study, we 
investigated whether CGRP-deficient mice exhibit anxiety-like behavior. 
Methods: We subjected 12-week-old C57BL/6J mice or CGRP-deficient (KO) mice to an open field test, 
a plus maze test, and a hole board test to evaluate anxiety-like behavior. 
Results: There was a significant decrease in the total distance traveled by CGRP KO mice in the open 
field test, indicating a decrease in the amount of spontaneous activity, compared with WT mice. 
Furthermore, there was a significant increase in the median residence time in CGRP KO mice. The results 
of the plus maze test and hole board test showed no significant differences between CGRP KO and WT 
mice. These findings suggest that anxiety-like behavior is not induced in CGRP KO mice due to 
decreased spontaneous activity and increased central dwell time. 
Keywords: CGRP; CGRP KO; Anxiety; Anxiety-like behavior. 
カルシトニン遺伝子関連ペプチド欠損マウスの不安様行動評価 5
(Received September 30, 2022; accepted December 5, 2022)


カルシトニン イデンシ カンレン ペプチド ケッソン マウス ノ フアンヨウ コウドウ ヒョウカ

S(会告など)departmental bulletin pape

 
 
 
 
 
 
 
紀要委員会委員 
職 名 氏 名 分 野 
委 員 長 
副委員長 
 
 
 
 
 
 
委 員 
中 川  惠 友 
黒木  慎太郎 
高 橋  亮 雄 
廣 田  雅 春 
八 田  貴 
本 下  真 次 
正 木  友 則 
村 田  拓 也 
赤 司  治 夫 
今 井  剛 樹 
高 崎  浩 幸 
片 山  誠 一 
永 谷  尚 紀 
麻 原  寛 之 
伊 藤  拓 
八百板  季穂 
藤 城  孝 輔 
三 阪  一 徳 
機械工学分野 
数学分野 
地学分野 
情報科学分野 
医用工学分野 
社会科学分野 
教育学分野 
獣医学分野 
化学分野 
物理分野 
生物学分野 
生物化学分野 
工業化学分野 
電子工学分野 
情報工学分野 
建築分野 
文学・語学分野 
人文科学分野 
事 務 局 榊 原  道 夫 図書館長 
 
 
 
岡山理科大学紀要 第 58 号 B（人文・社会科学）2022 
 
 令和 4 年 12 月 5 日編集 
 令和 5 年  1 月 10 日発行 
 
発 行 者 
 
平 野  博 之 
岡山理科大学紀要委員会 
（代表者 中川 惠友） 
 
発 行 所 
 
岡 山 理 科 大 学 
〒700-0005 岡山市北区理大町１－１ 
電話 086-256-8431（代） 
 
©岡山理科大学 2023 
 
 
 


奥付

佐藤, 友彦

サトウ, トモヒコ

Sato, Tomohiko

青木, 一勝

アオキ, カズマサ

Aoki, Kazumasa

76 
 
京都府宇治市天ヶ瀬地域のデュープレックス構造の観察 
－モンゴル国の海洋プレート層序復元にむけて－  
 
佐藤  友彦・青木  一勝  
岡 山 理 科 大 学  教 育 推 進 機 構  基 盤 教 育 セ ン タ ー  
 
 沈 み 込 み 帯 前 弧 域 で は、 付 加 を 特 徴 づ け る デュ ー プ レ ッ ク ス 構 造 が発 達 す る た め 、 そ の
痕跡 を 露 頭 ス ケ ー ル で 観察 す る こ と に よ り 、 当時 の 海 洋 プ レ ー ト の 沈み 込 み 方 向 や 層 序 な
ど、 付 加 体 形 成 プ ロ セ スの 理 解 が 可 能 と な る 。し か し 、 そ う い っ た 痕跡 は 後 の 造 構 運 動 に
より 改 変 さ れ る こ と が 多く 、 基 盤 の 多 く が 付 加体 で あ る 日 本 で さ え 、デ ュ ー プ レ ッ ク ス 構
造を 明 瞭 に 観 察 で き る 露頭 の 報 告 は 多 く な い 。  
京 都 府 宇 治 市 東 部 の 天 ヶ 瀬 地 域 に は 、 ジ ュ ラ 紀 付 加 体 （ 丹 波 帯 ） の 構 成 要 素 で あ る
「天 ヶ 瀬 砂 岩 層 」 と 呼 ばれ る 砂 岩 ・ 泥 岩 主 体 のユ ニ ッ ト が 分 布 し 、 数十 メ ー ト ル 規 模 の デ
ュ ー プ レ ッ ク ス 構 造 が 報 告 さ れ て い る （ 楠 ,  2 0 2 0 ）。 今 後 行 う モ ン ゴ ル 国 で の 海 洋 プ レ ー
ト層 序 や 付 加 体 構 造 の 復元 を 見 据 え 、 デ ュ ー プレ ッ ク ス 構 造 に 対 す る見 識 お よ び 付 加 体 形
成プ ロ セ ス の 理 解 を 深 める た め 、 同 地 域 の 露 頭観 察 を 行 っ た 。 ま た 、同 露 頭 を 付 加 体 の 三
次 元 構 造 の 理 解 を 必 要 と す る 地 質 調 査 や 巡 検 の 補 助 資 料 ・ 教 材 と し て 活 用 す る た め 、
L i D A R カ メラ を用 い た 3 D スキ ャン を行 い 、約 1 5  m × 3 0  m の範 囲の 露 頭 の 3 D モデ ル
を作 成 し た （ 図 １ ）。  
 
 
図１ .  天ヶ 瀬地 域の 付加 体露 頭 の 3 D スキ ャン モデ ル 。  
5 本の I S T と 2 本の O S T 、お よび それ らを 切 る 3 本の 断 層 を 確 認 で きる 。  
 
77 
 
 露 頭 の 観 察 に よ り 、 デュ ー プ レ ッ ク ス 構 造 認定 の 際 に 重 要 な ラ ン プに 挟 ま れ る 複 数 の ホ
ー ス が 確 認 さ れ 、 当 時 の デ コ ル マ で あ る イ ン シ ー ケ ン ス 衝 上 断 層 （ I S T ： ル ー フ ／ フ ロ ア
衝 上 断 層 ） が 5 つ （ I S T 1 ~ I S T 5 ） 記 載 で き た 。 ま た 、 I S T を 切 る 順 序 外 衝 上 断 層
（ O S T 1 ,  O S T 2 ） や 、 そ れ ら を さ ら に 切 る 断 層 （ F a ,  F b ,  F c ） も 記 載 で き た 。 そ の 他 に 、
ホー ス 内 部 を 示 す 鞘 状 褶曲 も 確 認 で き 、 デ ュ ープ レ ッ ク ス 構 造 の 外 形が 推 定 可 能 で あ っ た 。
これ ら 一 連 の 構 造 は 、 デコ ル マ の 構 造 的 下 位 への ジ ャ ン プ と 、 底 付 け付 加 の 繰 り 返 し で 説
明 で き 、 ホ ー ス や I S T の 形 成 順 序 か ら 当 時 の プ レ ー ト の 沈 み 込 み 方 向 は 、 概 ね 南 か ら 北
向き で あ る こ と が 復 元 でき た 。  
 露 頭 の 3 D ス キャ ン モ デル は、 シー ムレ ス な 拡大 ・縮 小お よび 多 様 な角 度か らの 観察 を
可能 に し 、 各 断 層 の 連 続性 や そ の 三 次 元 的 な 関係 を 議 論 す る 上 で 、 非常 に 有 効 で あ っ た 。
一方 で 、 本 露 頭 は 天 ヶ 瀬ダ ム の 再 開 発 工 事 終 了に 伴 い 水 没 す る 可 能 性が あ る 。 そ う い っ た
意味 で 、 今 回 の 3 D デ ータは 模式 的な デュ ー プレッ クス 構 造 が観 察 可能な 露頭 の記 録と し
て重 要 に な る だ ろ う 。  
 今 後 の 展 望 と し て 、 今回 用 い た 付 加 体 の 構 造観 察 手 法 を 、 モ ン ゴ ル国 、 ウ ラ ン バ ー ト ル
近郊 の セ ル ゲ レ ン 地 域 に分 布 す る 中 央 ア ジ ア 造山 帯 デ ボ ン 紀 〜 石 炭 紀付 加 体 露 頭 に 適 用 し 、
その 形 成 過 程 の 理 解 を 目指 す 。 同 地 域 で は 、 露頭 記 載 や 砕 屑 性 ジ ル コン 年 代 な ど い く つ か
の 予 察 的 な デ ー タ が 報 告 さ れ て い る （ S a v i n s k i y  e t  a l . ,  2 0 2 2 ） が 、 十 分 と は 言 い 難 い 。
現地 調 査 に よ る 変 形 構 造解 析 や 、 砕 屑 性 ジ ル コン の 年 代 頻 度 分 布 か ら、 当 時 の 古 ア ジ ア 海
北縁 で 発 達 形 成 し た 中 央ア ジ ア 造 山 帯 に お け る付 加 ・ 侵 食 シ ス テ ム の解 読 を 試 み る 。  
 
 
楠  利 夫 ,  （ 2 0 2 0 ） 丹 波 帯 東 南 部 ， 天 ヶ 瀬 の デ ュ ー プ レ ッ ク ス 群 .   G S J  地 質 ニ ュ ー ス ,  9 ,  1 5 7 -
1 6 7 .  
S a v i n s k i y  I .  e t  a l .  ( 2 0 2 2 )  A  s t o r y  o f  D e v o n i a n  o c e a n  p l a t e  s t r a t i g r a p h y  h o s t e d  b y  
t h e  U l a a n b a a t a r  a c c r e t i o n a r y  c o m p l e x ,  n o r t h e r n  M o n g o l i a :  i m p l i c a t i o n s  f r o m  
g e o l o g i c a l ,  s t r u c t u r a l  a n d  U - P b  d e t r i t a l  z i r c o n  d a t a .  I n t e r n a t i o n a l  J o u r n a l  o f  
E a r t h  S c i e n c e s  D O I : 1 0 . 1 0 0 7 / s 0 0 5 3 1 - 0 2 1 - 0 2 1 5 0 - 5 .   
 


キョウトフ ウジシ アマガセ チイキ ノ デュープレックス コウゾウ ノ カンサツ モンゴルコク ノ カイヨウ プレート ソウジョ フクゲン ニ ムケテ

令和５年４月 印刷・発行
編集・発行者 岡山理科大学大学院
〒700-0005 岡山市北区理大町１－１
TEL 086-256-8431（代）


T(目次、総目次)departmental bulletin pape

岡山理科大学教育実践研究
第 6 号
目次
【研究論文】
教員養成系大学の大学生のPCKの変容 －熟達者による授業の授業参観及び模擬授業を通して－
保森 智彦　　	  1
英語教員に求められる英語力の検証 －英検準1級レベルの語彙力に焦点を当てて－
竹野 純一郎，藤城 孝輔，西野 友一朗，奥西 有理　　	  15
中国語教授について覚書（発音編）――若干の疑問提示と提案――
淺野 純一　　	  33
基盤教育科目におけるジェネリックスキルの成長感要因の検証
－こころ豊かに生きる科目「アサーティブ・コミュニケーション」を基に－
中山 紘之，野間川内 一樹　　	  43
【教育実践報告】
課題解決型学習の学修効果測定のための調査結果分析と課題の抽出
－岡山理科大学イノベーション・ラボの受講生アンケートの分析から－
鷲見 哲男，松村 博行，安井 正也　　	  57
アクティブ・ラーニングにおけるクラウドサービスの活用
－Google Apps Script (GAS) による効率向上を中心に－
水谷 直樹　　	  73
地学基礎実験：岩石の観察
青木 一勝，佐藤 友彦，山口 一裕，土屋 裕太，佐藤 成修　　	  87
マンダラチャートを活用した「目標達成ゼミ」の実践報告
野間川内 一樹，中山 紘之，山崎 和哉　　	  99
数学教育におけるより良いオンライン試験問題作成の検討
－オンライン試験での理解度をはかる効果的な問題の作成を目指して－
安田 貴徳，小野 舞子，大熊 一正　　	  109
岡山理科大学におけるティーチング・ポートフォリオ作成ワークショップの成果と課題
山口 一裕，笹井 香，秦 敬治　　	  117
【ノート】
岡山理科大学初年次教育におけるアカデミック・ライティングの教育改革
－「フレッシュマンセミナー」「探求ゼミⅠ」におけるライティングの指導－
荻原 桂子　　	  125
岡山理科大学における教職課程履修学生の環境に関する実態
－「特別活動の理論と方法」での環境教育の充実を目指して－
白神 憲一，岡本 弥彦　　	  129
【その他】
学校英語教育の質保証を支える教師教育の試み －映像教材を用いた英語探究の実践－
奥西 有理，藤城 孝輔，西野 友一朗，竹野 純一郎　　	  133
小学生を対象とする人材育成事業へのトレーナーとしての獣医学部学生の参加
深瀬 徹，中村 有加里，相原 朋香，網田 健太朗，大澤 輝，角 悠夏，品部 行秀，田中 久志　　	  147
タイ・バンコクの私立小学校の教育と生徒の日常
－イングリッシュ・プログラム・コース（EPC）低学年を事例として－
徳澤 啓一　　	  153


表紙

藤本, 義博

フジモト, ヨシヒロ

Fujimoto, Yoshihiro

フクスウ ノ ガッカカン ダイガクカン ノ キョウドウ ニヨル キョウショク カテイ ノ ジッシ タイセイ ニ カンスル チョウサ ケンキュウ

土井, 貴子

ドイ, タカコ

Doi, Takako

センカンキ イギリス ニオケル ソーシャル スタディ ノ タメノ ダイガクカン キョウギカイ デノ ギロン : ギジロク 1989-35 ノ ブンセキ オ チュウシン ニ

渡邊, 道之

ワタナベ, ミチユキ

Watanabe, Michiyuki

Inverse Scattering Problems for Restricted Hartree
Equations in Spatial Two-Dimensions
Michiyuki WATANABE∗
Department of Applied Mathematics, Faculty of Science,
Okayama Uniervsity of Science,
1-1 Ridai-cho Kita-ku, Okayama 700-0005, Japan
Abstract. We consider the inverse scattering problem for restrected Hartree type equation with interaction
inversely proportional to power of distance in spatial two-dimensions. In this paper it will be shown that the
interaction can be determined explicitly from just the knowledge of the scattering operator.
Keywords: Inverse Scattering problems; Quantum N -body problems; Hartree approximation.
1 Introduction
The inverse scattering problem for many-particle systems asks whether the interaction Vint between particles and the
external potential Vext acting on all particles can be determined from their scattering states. A mathematical analysis
of the N -body Schrödinger equation has been made for this problem (see e.g. [1]).
On the other hand, by using the Hartree-Fock approximation, it is proved that the interaction Vint and the external
potential Vext can be uniquely determined from the scattering operator of the Hartree-Fock equation, and explicit
reconstruction formulas for each are also given in [2].
The Hartree-Fock approximation is an approximate method for computing many-body wave functions. Previous
research has utilized this approximation to analyze inverse scattering problems in three or more spatial dimensions.
However, it has been pointed out that this method is not suitable for numerical experiments. It is believed that the
same reconstruction formulas may hold in the two-dimensional space as in the three-dimensional case. Nevertheless,
technical difficulties exist in two-dimensional space, and the proof has not yet been carried out. Therefore, it is crucial
to develop methods and formulas for reconstructing unknown potentials from observed data in spatial two-dimensions.
This could open the path to numerical experiments and lead to appropriate methods for handling complex and realistic
phenomena.
The main aim of this study is to provide a computable solvable model in order to be able to perform numerical
experiments. In [3], the point interaction model is mentioned as a solvable model in quantum mechanics. This model
is given by using the Schrödinger Hamiltonian with a delta function as potential. The point interaction model is
referred to as “solvable” because physical quantities such as resolvent, spectra, and scattering data can be determined
explicitly.
In this paper, we focus on the Hartree equation, which is more tractable than the Hartree-Fock equation, in order
to explicitly describe the reconstruction formula for inverse scattering problems. In addition, as a solvable model for
the inverse scattering problem of many-particle systems using the Hartree approximation, we propose an interaction of
the form q(x) = λ|x|−σ that is inversely proportional to the power of the distance between the particles. Interactions
of this form are commonly found in physics, such as the Coulomb interaction and the gravitational interaction.
Let N be a natural number and xj ∈ Rn, j = 1, 2, · · · , N . The Hartree equation is an equation in which the
N -body wave function is expressed as the product of one-body wave functions:
Ψ(t,x1, · · · ,xN ) = u1(t,x1) · · ·uN (t,xN ).
The equation derived through the variational method, with uj as the unknown functions is as follows:
i
∂uj
∂t
= H0uj + qH(x,u)uj ,
qH(x,u)uj =
q ∗ N∑
k=1
k ̸=j
|uk|2
uj =

∫
Rn
q(x− y)
N∑
k=1
k ̸=j
|uk(t, y)|2 dy
uj(t, x),
THE BULLETIN OF OKAYAMA UNIVERSITY OF SCIENCE No.59 A pp. 1-5 (2023)
(Received October 30, 2023; accepted November 20, 2023)
where i =
√
−1, H0 = −
1
2
∆ and u = {uj}1≤j≤N = {uj(t, x)}1≤j≤N is the unknown function on (t, x) ∈ R × Rn.
The detailed explanations of the Hartree approximation and the Hartree-Fock approximation can be found in [4]. In
particular, when N = 2 and u1 = u2, the equation is referred to as the restricted Hartree equation:
i
∂u
∂t
= H0u+ (q ∗ |u|2)u. (1.1)
This restricted Hartree equation is commonly encountered with respect to helium (see, [4, p. 36]).
Let λ and σ be real. In this paper, we consider the inverse scattering problem for the restricted Hartree equation
(1.1) with the interaction
q(x) = λ
1
|x|σ (1.2)
in spatial two-dimensions.
In [5], it was proved that σ and λ are uniquely determined from the scattering operator when σ satisfies 2 ≤ σ ≤ 4
and σ < n. Obviously, this condition dose not include the two-dimensional case n = 2.
This paper presents that by introducing an appropriate function space, the scattering operator in two-dimensional
space can be defined. Through asymptotic analysis in the zero neighborhood of the scattering operator, we derive an
explicit formula for the reconstruction of the interaction q(x) in terms of the scattering operator and the free solutions
of the Schrödinger equation.
The structure of the paper is as follows: In Section 2, we construct the scattering operator for the Hartree equation
(1.1). In the case of two-dimensional space, it is important to introduce an appropriate weighted Sobolev space. The
scattering operator is defined in the zero neighborhood of this weighted Sobolev space and is shown to be a one-to-one
continuous mapping. The inverse scattering problem is formulated in Section 3. Through asymptotic analysis in the
zero neighborhood of the scattering operator, we derive reconstruction formulas for the unknown variables λ and σ.
2 The scattering problem
In this section, we consider the scattering theory for the restricted Hartree equation (1.1) with (1.2). It should be
mention that there is a large literature on the scattering theory for nonlinear Schrödinger and Hartree equation (see for
instance [6] and references therein). In spatial two-dimentional scattering theory, we introduce the follwing weighted
Sobolev spaces.
We denote
(f, g) :=
∫
R2
f(x) · g(x) dx.
Let l,m ∈ N. We define the Hilbert space Hlm = Hlm(R2) as follows:
Hlm = {f ∈ L2(R2) ; ∥f∥Hlm < ∞},
where
∥f∥Hlm =
∑
|α|≤l
∥Dαf∥2L2 +
∑
|β|≤m
∥xβf∥2L2 ,
with the inner product
(f, f)Hlm =
∑
|α|≤l
(Dαf,Dαf) +
∑
|β|≤m
(xβf, xβf).
Let 1 < σ < 2 and q = 8/(4− σ). Then, the Banach spaces Bl,m1 and B
l,m
2 can be defined as
Bl,m1 := { e
itH0u(t) ∈ C(R ; Hlm) ; ∥u∥l,m,1 < ∞},
Bl,m2 := { e
itH0u(t) ∈ C(R ; Hlm), Dαu(t) ∈ L8/σ(R;Lq),
e−itH0xβeitH0u(t) ∈ L8/σ(R;Lq) ; ∥u∥l,m,2 < ∞},
where
∥u∥l,m,1 := sup
t∈R
∥eitH0u(t)∥Hlm ,
∥u∥l,m,2 := ∥u∥l,m,1 +
∑
|α|≤l
∥Dαu∥L8/σ(R;Lq) +
∑
|β|≤m
∥e−itH0xβeitH0u∥L8/σ(R;Lq).
Theorem 2.1. Let l,m ∈ N. Assume that 1 < σ < 2. Then, there exists ρ > 0 with the following properties. For any
ϕ− ∈ Σρ := {ϕ ∈ Hlm : ∥ϕ∥Hlm < ρ},
there exists a unique pair of functions (u, ϕ+) ∈ Bl,m1 × Σ4ρ if 1 < σ ≤ 4/3 and (u, ϕ+) ∈ B
l,m
2 × Σ4ρ if 4/3 < σ < 2
such that u satisfies equation (1.1) and
∥u(t)− e−itH0ϕ±∥Hlm → 0 as t → ±∞.
The scattering operator S : ϕ− → ϕ+ is a one-to-one continuous mapping from Σρ into Σ4ρ.
2 Michiyuki WATANABE
The proof of this theorem will be found in [7, Theorem 4.2, p. 206].
Remark 2.2. The scattering operator S is represented as
(Sϕ−)(x) = ϕ−(x) +
1
i
∫ ∞
−∞
(
eitH0(q ∗ |u|2)u
)
(t, x) dt. (2.1)
3 The inverse scattering problem
The inverse scattering problem considerd in this paper is
Derive a formula to reconstruct q(x) from S and e−itH0 .
See [8, pp. 64–70] for a formulation of an abstract inverse scattering problem.
The asymptotic expansion of the scattering operator in the neighborhood of zero states is the key to solving the
problem.
Theorem 3.1. Let l,m ∈ N. Suppose that σ satisfies 1 < σ < 2. Then for any ϕ ∈ Hlm and ε > 0, we have
i (S(εϕ), ϕ) = i(ϕ, ϕ)ε+A(q, ϕ)ε3 +O(ε5), ε → 0,
where
A(q, ϕ) =
∫
R
∫
R2
(q ∗ |e−itH0ϕ|2)(x)|e−itH0ϕ(x)|2 dx dt.
Proof. Let v = e−itH0(εϕ) and w = u− v. Then it follows from (2.1) that
i((S − I)(εϕ), ϕ) =
∫
R
((q ∗ |u|2)u, e−itH0ϕ) dt
= I1 + I2 + I3
+ ε3
∫
R
∫
R2
(q ∗ |e−itH0ϕ|2)|e−itH0ϕ|2 dx dt,
where
I1 =
∫
R
((q ∗ |u|2)w, e−itH0ϕ) dt,
I2 =
∫
R
((q ∗ [uw̄])v, e−itH0ϕ) dt,
I3 =
∫
R
((q ∗ [wv̄])v, e−itH0ϕ) dt.
Using estimates proved by Hayashi-Tsutsumi [7, Lemma 2.7 and (4.3)-(4.11)], we have
|I2| ≤
∫
R
|(q ∗ [uw̄])v, e−itH0ϕ)| dt
≤ C
∫
R
∥ (|x|−σ ∗ [uw̄])v∥Hlm dt
≤ Cε5.
With the computation presented above, it follows that
|I1| ≤ Cε5, |I3| ≤ Cε5.
The proof is complete.
Let us recall that we are considering a special case of interaction q = λ|x|−σ. For simplicity we consider the case
λ > 0. The unknown constant λ and σ can be reconstructed from the asymptotic coefficient A(q, ϕ) of the scattering
operator S. Let ε > 0. Then it follows from Theorem 3.1 that
A(q, ϕ) = lim
ε→0
i
ε3
((S − I)(εϕ), ϕ).
Theorem 3.2. Let l,m ∈ N and ϕe(x) = ϕ(ex). Suppose that σ satisfies 1 < σ < 2. Then for any ϕ ∈ Hlm, we have
σ = 6 + ln
A(q, ϕe)
A(q, ϕ)
.
Inverse Scattering Problems for Restricted Hartree Equations in Spatial Two-Dimensions 3
Theorem 3.3. Let l,m ∈ N. Suppose that σ satisfies 1 < σ < 2. Then for any ϕ ∈ Hlm and ε > 0, we have
λ = lim
ε→0
1
ε3
∥(S − I)(εϕ)∥Hlm∥∥∥∥∫ ∞
−∞
eitH0(|x|−σ ∗ |e−itH0ϕ|2)e−itH0ϕ dt
∥∥∥∥
Hlm
.
Remark 3.4. Theorem 3.1 shows that A(q, ϕ) exists for any ϕ ∈ Hlm, and that A(q, ϕ) is real due to the fact λ ∈ R.
Consequently, for any ϕ ∈ Hlm and λ ∈ R,
A(q, ϕe)
A(q, ϕ)
> 0.
Proof of Theorem 3.2
First, we will show that
(e−itH0ϕR)(x) = (e
−iR2tH0ϕ)(Rx) (3.1)
for any R ∈ R. Indeed, using the integral representation of the free solution for the Schrödinger equation, we obtain
(e−itH0ϕR)(x) =
1
(4πit)
∫
R2
e−
|x−z|2
4it ϕ(Rz) dz
=
1
(4πiR2t)
∫
R2
e
− |Rx−z|
2
4iR2t ϕ(z) dz
= (e−iR
2tH0ϕ)(Rx).
Futhermore, one has for any R > 0∫
R2
(|x|−σ ∗ ϕR)ϕR(x) dx = Rσ−4
∫
R2
(|x|−σ ∗ ϕ)ϕ(x) dx. (3.2)
In view of (3.1) and (3.2), and then Theorem 3.1 gives that
A(q, ϕR) = R
σ−6
∫ ∞
−∞
∫
R2
(q ∗ |e−itH0ϕ|2)|e−itH0ϕ(x)|2 dx dt = Rσ−6A(q, ϕ).
Therefore, taking R = e, Theorem 3.2 follows.
Proof of Theorem 3.3
Put F (u) = (|x|−σ ∗ |u|2)u. Using estimates proved by Hayashi-Tsutsumi [7, Lemma 2.7 and (4.3)-(4.11)], we obtain∥∥∥∥ 1ε3
∫ ∞
−∞
eitH0(F (u(t))− F (e−itH0(εϕ))) dt
∥∥∥∥
Hlm
≤ cε2.
In view of (2.1), one has
i
ε3
(S − I)(εϕ) = λ
ε3
∫ ∞
−∞
eitH0F (u(t)) dt
= λ
∫ ∞
−∞
eitH0F (e−itH0ϕ) dt+
λ
ε3
∫ ∞
−∞
eitH0(F (u)− F (e−itH0εϕ)) dt
→ λ
∫ ∞
−∞
eitH0F (e−itH0ϕ) dt
in Hlm as ε → 0. Thus, we obtain Theorem 3.3.
Acknowledgment
This work was supported by JSPS KAKENHI Grant Number 19K03617.
4 Michiyuki WATANABE
References
[1] Gunther Uhlmann and András Vasy. Inverse problems in N -body scattering. In Inverse problems and spectral
theory, volume 348 of Contemp. Math., pages 135–154. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.
[2] Michiyuki Watanabe. Inverse N -body scattering with the time-dependent Hartree-Fock approximation. Inverse
Probl. Imaging, 15(3):499–517, 2021.
[3] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn, and H. Holden. Solvable models in quantum mechanics. AMS Chelsea
Publishing, Providence, RI, second edition, 2005. With an appendix by Pavel Exner.
[4] P.-L. Lions. Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems. Comm. Math. Phys., 109(1):33–97, 1987.
[5] Michiyuki Watanabe. Reconstruction of the Hartree-type nonlinearity. Inverse Problems, 18(6):1477–1481, 2002.
[6] K. Nakanishi and T. Ozawa. Scattering problem for nonlinear Schrödinger and Hartree equations. Number 1234,
pages 105–112. 2001. Tosio Kato’s method and principle for evolution equations in mathematical physics (Sapporo,
2001).
[7] Nakao Hayashi and Yoshio Tsutsumi. Scattering theory for Hartree type equations. Ann. Inst. H. Poincaré Phys.
Théor., 46(2):187–213, 1987.
[8] W. A. Strauss. Nonlinear scattering theory. In J. A. Lavita and J.-P. Marchand, editors, Scattering Theory in
Mathematical Physics, pages 53–78, Dordrecht, 1974. Springer Netherlands.
Inverse Scattering Problems for Restricted Hartree Equations in Spatial Two-Dimensions 5


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Inverse Scattering Problems for Restricted Hartree Equations in Spatial Two-Dimensions

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目次

扉

表紙

フクスウノガッカカンダイガクカンノキョウドウニヨルキョウショクカテイノジッシタイセイニカンスルチョウサケンキュウ

センカンキイギリスニオケルソーシャルスタディノタメノダイガクカンキョウギカイデノギロン : ギジロク 1989-35 ノブンセキオチュウシンニ

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