Annals of Geophysics (INGV, Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia)

Caloi, p.

S U I P E R I O D I D I O S C I L L A Z I O N E L I B E R A D E L V E R B A N O 
PIETRO CALOI 
1. — I n un lavoro precedente , dedicato al le sesso del lago Mag-
giore ( ' ) , osservavamo c h e la f o r m a della curva n o r m a l e relat iva al 
lago era così compl ica ta da rendere « ardua se non imposs ib i le » l ' a p -
pl icazione di uno dei metodi propost i da Chrys ta l . H o voluto! egual-
m e n t e c i m e n t a r m i in questo senso, a n c h e p e r c h é , la complessi tà del 
lago fa sì cl ic i valori ca lcolat i per i per iod i del le ses=c re la t ive siano 
sens ib i lmente diversi a seconda del metodo usato, specie per quanto 
si r i fer isce a l le oscil lazioni di m i n o r nodal i tà . 
Fig. 1 
F r a quell i proposti da Chrysta l , ho r i tenuto c l ic il solo m e t o d o 
c h e schematizza la curva n o r m a l e in trat t i re t t i l ine i raccordat i fosse 
a p p l i c a b i l e , con q u a l c h e speranza di successo. 
Nel la seconda par te di un m i o lavoro sulle sesse del Garda ( 2 ) 
ho riassunto la re lat iva teoria , ret t i f icando una sua inesattezza. P e r -
tanto. mi l i m i t o qui a r ipor tare le equazioni che danno gli sposta-
menti orizzontale e vert ica le 
lic = | ! JJiv) 4- B Y ^ o j sin n ( t — r) 
'C = — i A JUM + B *„(«>) ! sin n(l _ t ) , 
2 a ( ) 
[1] 
s u i PERIODI r i O S C I L L A Z I O N E LÌBERA I E L \ERRANO 3 7 7 
..ve ti. li sono costanti lesa le dalla relazione /i(.0 = /i(l —• ). rela-
u 
iva al fondo del lago (supposto a tratti rett i l inei) . .1 e B costanti 
he risultano dall ' integrazione dell 'equazione di Chry-ta l . Ji (.ir). 1 i ( " ' ) 
— i = 0 . 1 — funzioni di Bessel e Neumann deH'arsiomento 
ir— 2ri a | 1 x a | gh , ' 2] 
2 rt 
-•cndo n = - { I = periodo). 
T 
La curva normale del \ erhano. quale fu da noi detcrminata con 
ila fitta rete di 77 sezioni sL) una carta hatimetrica al 50000, è ri-
odotta nella fig. 1. 
La schematizzazione che ne ho fatto è del tipo rappresentato 
ella fig. 2. P o n i a m o 
O !,=«, O f , Ii: 0 , 1 / - Il n o - q M I, 2 
O ! - (( O O, r2 O O r () \ I, Y . f = 3 
O . I - a, OA\ — h, o r --• /. 1. M = 1 V I ! . 
Rifer iamo la curva normale cosi schematizzata a tre sistemi ili 
--i cartesiani ortogonali . L 'or ig ine del primo si Ilenia sia in O,: l a s s e 
diretto positivamente verso A , , l 'a-se \ posi l ivamenle verso M. Oue-
lo pr imo sistema rappresenta la parte di curva normale fra A.j e A , , 
ia O l 'origine del secondo sistema cartesiano. Le coordinate di O.. 
ispetto al primo sistema sono (—'" . . o) : x è inteso positivo da O, 
A, Q A- Oj 0, 02A, P A0 
h, 
/ / 
p i e t r o c a i x j i 
\erso ( ) , . y2 posit ivo da O., verso N, . Il terzo sistema ha or igine ii 
(),, x:, essendo posit ivo eonla lo verso O , , y3 posi t ivo da 0:l verso -V 
he coordinate di 0 3 r i spet to al p r i m o s istema sono (—r.... o> 
liceo le equazioni del le re t te I e 2 . r i f e r i te al p r i m o s i s t e m a : 
hi{x)=hl 11 — J L j , h.Jx) = Jil 1 1 - f . [ 3 ] 
L 'analoga della 3 r i fer i ta al secondo sistema 
»:,(*) = »* (i—-] r-n 
e quel la della I r i fer i ta al terzo sistema 
FT1(*) = 7 L . , ( l + — J [ 5 ] 
Vengono i n o l t r e le relazioni 
<i.—r. ; a.. = r„ — . 
h, li.. " _ hL h. 
P o n i a m o , r i cordando la [ 2 ] , 
X 
; « , 
2«, 
fi - I1 
r, 
1 A'/', 1 
2nn„ . 
l «. — , > 1 "/Ì 1 tv 1 a, 
I 
X 
: « . , 
2r;2 « 
1 1 
V 
1 g'>. 1 
2na„ . 
1 
•~ — —r— 
1 a., 
1 + 
:V 
; f ' : i 
2(i.. 2 ( 7 . . . 
F1 
r„ 
1 g'h 1 
2 n n i -
a.. 1 g^i ' 1 a. 
' 1 + 
X 
; « i fi " 
<1 
1 1 1 a, 
[ 6 ] 
5 er le [ 1 ] a v r e m o 
? , » ' , = } A J A i v J + B ^ , ( „ - , ) | sin ti (t t| 
-L = T " S A M « ' i ) + B i Y M ! s i n n ( £ - r ) ^ 
2 o i t ) 
? s « - s = L./ 1 («r 2 ) - i -/i 2 Y 1 ( , r 2 ) j sin „ ( / — t ) 
S U I PE1U0UI DI OSCILI .AZIONE LIBERA DEL \ERRANO l ' I 
= - * - ) AJ0(H\j) + B2Yu(IC2) j «in f i ( f—T) 
2(i„ I \ 
: , "•» = j AJXUJ + B.Y^W,) | « i n n ( f — t ) 
l,J,,(«•,)+ B:J„(u-,) { «in r i ( f — t ) r : i 
2a.. I ' 
AJ^irJ + BJ^ir,) j s i n r i ( f — T ) 
f ' ] J 1 J „ ( i O + £ f 4 Y 0 ( i f 4 ) j « i n n ( t — T) -1 4 ' ' 
dove le p r i m e due. la ó:l e la 6 a sono r i fer i te al p r i m o sistema, men-
tre la 3 a e la f sono r i fer i te al secondo sistema e le u l t i m e due a. 
terzo sistema. 
Nel le [ 7 ] sono da de terminare le nove eostanti I,. B,. - L . B ... 
B,, n, valendoci delle condizioni ai l imit i . Cons ider iamo del le pr ime 
otto il rappor to ii/Bi. L e condizioni ai l imit i «olio: 
agli estremi P e Q del lago dev'essere c = 0 : 
x,- p , ?. = 0 ; .v:; —q , ?< = () . [8] 
Inol t re , per 
* t = o ; , . [ 9 ] 
P e r il punto fL. 
.r. = + r , , a\, = 0 ; = , [ 107 
P e r iì punto 0 
•V1 ~~'ri , *i: = 0 i = U , = [ 1 1 ] 
Dalle [ 7 ] , r icordando le [ 6 ] e ]>er le 1 8 ] , si h a 
+ = 0 , BJA.,=—Ji{nÌK'] , [ 1 2 ] 
1 t(n |L) 
oppure 
B„ L [ 1 3 ] 
Per . T , = 0 è — - = — - ; per ;VT= + R , , = 0 «Ì ha ir, ir.,— 3, U._ 
ir. a. 
per xl — —r... x = 0 è ancora n\ i c , = P e r cui , r icordando le [ 9 j 
[ 1 0 ] e [ 1 1 ] e posto 
P j t f L , " ; ) •"= l ' i (n|L) / , ( « « „ ) — J l [ n \ i i ) Y 1 (rido) 
p 0 ( P s , a j = y , ( r i [ g /„(««„)—/ 1 (np 2 )y„f f i« ; ) n r 
F,!!'1), , (/1) = V 1 (nP 4 ) ./,(nu.,)—,/,(ri|i,)l',(ri(i4) 
PoU'i 7 «i» = /clnit,) - J . ( n ( 3 4 ) l ' 0 ( » « 4 ) , 
l'I P I E T R O CALOl 
ha 
.-/j/jInUj) - I^Y.JrmJ = 
/(./-.lix.i : « , ! ' „ ( ; m , ) = 
A..J{(n<i...) lì ) .(/!•' ' 
•L,./„(««..) - lì Yjn «..I 
• t J ^ i - l i ^ M ^ - LL - _ F (|-5.„<(.,) 
/ 1 / 0 ( ' J p 1 ) - r B i y i l ( n P l j ) = - - ' - ^ L F0(|j.,,((.,) 
</., /(j ) , (fi p„) 
1, 1\In |i..) + 113Y, (n £,) = -^2- P,(II,,</..,) 
; ,/ : ;ì0I«Ì-!3I B31'0(«Po)=~~.. JQ 
".1 /'1 » i («p 4 ) 
II determinante dei coefficienti delle incognite .-(,, B, 
B . _/, uguagliato a zero, dà l 'equazione dei p e r i o d i : 
[ 1 5 ] 
1 , (mi , ) (J - "1 . 
0 — / „ ( « « . . ) 
•Ai «Pi) _ i L p i ( 
a g 1 , 
P a . " s ) 
(np„> 
() 
/ 0 !npi) "l 1*2 
a : //, 
1' 0 (P. .« 8 ) 
0 
0 (1 0 
0 0 0 
- r 
«.. 
0 
• " i l 
" : 
0 
0 0 
(1 0 
v (n P,3 Ps P i i P a " , 
= 0 [ 1 6 j 
V . („,3..| 
"4 l ' i ( " P j ) 
S U I PERIODI DI OSCILLAZIONE LIBERA DEL YERBANO 
L a [ 1 6 ] vale nel! ipolesi clic gli estremi del lago siano smussati . 
In rea l tà , in .-/,,- A„ il la<ro termina ad angolo acuto. Considerando, 
questo come un caso l imi te della precedente rappresentaz ione , p o -
siamo porre j>~(i-,, q = al. Nel le [ 4 ] , [ 5 ] avremo pertanto 
E ' inoltre 
, 1 , = 0 , p 4 = o . 
Hm'I±Wà=0 : l u n ^ ^ - U 
0 l ' i O ^ , ) j34 = 0 Ì'I("ÌJj.|1 
per cui dal le [ 1 4 ] 
P . ( ? - . ((..I , . . P01,3., , (/„) , hm 1 1 ' - = , / , ( / ? « . , ) ; /im r — -./0(MH„) 
Imi ' r ' ^ = . / 1 ( n « j | ; /mi — ! - = . / „ ( « « . , ) 
j34 = 0 , 3 4 = 0 5 ' i C " ^ ) 
La [ 1 6 ] , osservando clic 
j3( a , A., <7.. /;., 
«„ A, « 4 « 4 /(, 
(7, 
diviene a l lora , mol t ip l i cando la 5a e la 6 1 riga p e r — - , 
a.. 
./,(/)((,) Y,(/ut , ) o — j j i m t . , ) - y , ( r i a . , ) 0 
-/0(n«,) Y 0 ( m V 0 •/„(««..) Yo("<t : .) <> 
« J X K , •/,(«?,) Y I ( n ^ ) 0 0 0 ,) 
«i:-,,../,!., -/.("Pi) W i > «A><«"«> 0 0 0 , 
0 0 0 ^ ( n ^ , ) -/,(«'(.,) 
0 0 » .7„(»P..) y „ ( " H , | ,/0{na t) 
[ ! " ] 
2. — Passiamo alla soluzione della [ 1 7 ] . 
Dai dati relativi alla curva normale , per i quali r imando al la-
voro c i ta to ( ' ) - si ot t iene , nel caso della schematizzazione prescel ta . 
/K = 16.0 x 10 o r ' , «, = 1.3025x 10'ni" . Ir,= 1-1.8 x 10" m1 a , = 71* , 175 
« , = •2920 x 10' ni r, = -256 x]0" in" <t,=164s . 2935 P3 = ll - 977 
a 2 = -481 xio- HI- r, = -0825x10 nr |3,= 57 . (>88 «,. = 1212 . 6 
« , = •1265 x 1 0 ' n r h, = 128,8 x 10" ni2 re, = 772 - 645 . 
Ì L = .07466 
<1., 
—i- = 2 . 3 0 8 3 
= . 0 3 3 7 8 
PIETRO CALOI 
L equazione (lei periodi diviene per lanlo I ) ( n ) 
J,( 164,29») ì^116l,29/i i 0 — J, • 71.175» i 1',(71.175»i n 
70(164,29H) !'„( 164,29«.) il J,j 71.175//) V„i 71.175» i II 
7,157,688») 1,(57,688/n 7„l 772,645/n 0 II II () 
7,(57,688») V*0(57,688»,l 7,(772.645/n I) 0 II 
I) 0 II 7,(41,977/11 1^(41,977/1) 7,(1242,6») 
0 II n 7„t41,977»i }"0(41,977//i 7„(1242.6»> 
[18] 
f.a risoluzione della [ 1 8 ] è siala proposta al l ' Ist i luto per le Appli -
cazioni del Calcolo, tanto benemer i to per l 'ausil io validissimo che 
tornisce alla r icerca scientif ica. 
Furono desunti per le pr ime sei radici positive di I ) ( n ) i se-
guenti valori 
= 0 . 0 0 2 3 1 , ri i = 0 .00682 
71, = 0 .00352 ?i, = 0 .00778 
7i, = 0 .00505 7i ,, = 0 .00963 . 
cui corrispondono, a meno di 5\ i periodi 
T , = 15'",35 TV, = 2 0 " ' . 7 5 T , = 13"'.5 
T-, = 29"', 75 J , = 1 5 " , 3 5 T , = I0"\85 
per le pr ime sei sesse del \ c ibano . 
3 . — Nel lavoro precedente sulle sesse del lago Maggiore si sono 
ottenuti i seguenti valori per le sesse uni-bi- e Lrinodali: 
ri\ V, 
col metodo Defani 48"\7 37"' .4 23 m , 4 
» » Hidaka 47 m ,4 33"' ,7 2 ] " ' , 0 . 
L accordo tra i valori ottenuti con i ti c metodi , soddisfacente 
per la scssa uninodale, cessa di esserlo per la b inodale . mentre è 
buonissimo per la Irinodale. Queste diversità, part icolarmente sen-
sibili per la binodale , vanno at tr ibuite al le notevoli variazioni clic il 
bacino del Iago presenta in larghezza e ne l l ' andamento della l inea 
dì va l le ; variazioni che lo discostano sensibilmente dalle ipolesi su 
ni poggiano le varie teorie. Comunque, e interessante osservare elle, 
prescindendo dalla binodale . i periodi delle scsse uninodale ci trino-
dale calcolati con Ire metodi differiscono molto poco e la differenza 
è part icolarmente piccola per la Ir inodale. per la quale i valori ot-
tenuti con i melodi di Hidaka e di Chrystal prat icamente coincidono. 
S U I PERIODI DI O S C I L L A Z I O N E L1IÌERA DEL VERSANO 383 
E" nolo clic, qualunque «ia il metodo usato, i valori calcolati 
per i pei iodi delle sesse di maggiore nodalità dineriscono sempre 
meno col crescere della nodalità. Per tanto i valori dei periodi delle 
sess3 a quattro, c inque e sei nodi calcolati in questo lavoro, possono 
ritenerci molto prossimi a quelli reali . 
Ancora non è stalo possibile ottenere buone registrazioni delle 
se«-e del \ orbano. Comunque dai valori finora osservali, sembra clic 
i periodi forniti dal metodo di Hidaka siano i più at tendibi l i . 
Roma — Istituto Nazionale (li Geolìsica — aprile 1918. 
RIASSUNTO 
Partendo dalle busi della teoria di Clirystal, si sviluppa un me-
todo analitico per la determinazione dei periodi di oscillazione libera 
delle acque del Lago Maggiore. Risolta Vequazione dei periodi — 
costituita da un determinante di sesto ordine — . .si sono calcolati i 
ndori dei periodi corrispondenti alle oscillazioni libere di uno. due, 
tre. ... sei nodi. 
B I B L I O G R A F I A 
I ) C A L O I I ' . . D E P A N F I L I » M . . GIOIICI M . . P E H O N A C I F . , Le sesse del l.m>o Mag-
giore. « Annal i di Gcofisiea » . I , 2 (1948) . 
( - ) C A L O I /'.. Le sesse del Lago di Garda. Par te I I « Ann . di Geof . » I , 2 (19481. 


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Sui periodi di oscillazione libera del Verbano

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