BICTEL/e - ULg

Lugo Ramirez, Zulay del Rosario

SCHNAKERS, Caroline

SORGER, Bettina

NOIRHOMME, Quentin

PHILLIPS, Christophe

LAUREYS, Steven

KUBLER, Andrea

GOLDMAN, Serge

DETECTION OF CONSCIOUSNESS AND COMMUNICATION IN NON-RESPONSIVE BRAIN LESIONED PATIENTS USING A BRAIN-COMPUTER INTERFACE

Vion, Alexandre

Geuzaine, Christophe

Bechet, Eric

Académie universitaire Wallonie–Europe
Université de Liège — Faculté des Sciences Appliquées
Collège de doctorat en Électricité, électronique et
informatique
Multi-Domain Approaches
for the Solution of High-Frequency
Time-Harmonic Propagation Problems
Doctoral Dissertation presented by
Alexandre VION
in fullfilment of the requirements for the degree of
Docteur en Sciences de l’Ingénieur
October 2014

Contents
Contents i
Introduction 1
1 A challenging problem: the numerical solution of HF wave propagation 7
1.1 Problem description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Time-dependent wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 The Helmholtz equation and boundary conditions . . . . . . 9
1.1.3 Model problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Numerical techniques for the Helmholtz equation . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Boundary integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 PDE-based methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Asymptotic methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 The finite element method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Weak formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Nodal finite element methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Absorbing boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4 Perfectly matched layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.5 Difficulties with FEM at high frequency . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Sparse linear solvers for propagation problems . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 Direct solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2 Usual iterative methods and preconditioners . . . . . . . . . 31
1.4.3 Domain decomposition methods . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 Extension to Maxwell’s equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.1 Time-harmonic Maxwell’s equations . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.2 Weak formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Multi-domain methods and linear systems 39
2.1 Common framework of multi-domain methods . . . . . . . . . . . . 40
2.1.1 General iterative scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.2 Iteration operators and linear systems . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Introduction to iterative linear solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Basic iterative scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Krylov solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.3 Preconditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
i
ii Contents
2.3 Domain partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1 Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Schwarz methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1 Classical Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 Optimized Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.3 Transmission conditions for optimized Schwarz methods . . 61
2.4.4 Coarse grid and scalability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5 Multiple obstacles scattering algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.1 Multiple scattering as coupled problems . . . . . . . . . . . . 68
2.5.2 Iterative solution of the coupled problem . . . . . . . . . . . 69
2.6 Optimized Schwarz for Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6.1 Problem setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.2 Optimized transmission boundary conditions . . . . . . . . . 74
2.6.3 Localization of the square-root GIBC . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Double sweep preconditioner for Schwarz methods 79
3.1 Matrix representation of the Schwarz operator . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.1 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.2 Simplified case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.3 Analysis of the 1d case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.4 Cyclic decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Inverse operator as preconditioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.1 Inversion of the simplified Schwarz operator . . . . . . . . . 88
3.2.2 Spectrum of the preconditioned operator . . . . . . . . . . . 89
3.2.3 Interpretation as the double sweep . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.4 Inverse operator for cyclic decompositions . . . . . . . . . . 93
3.2.5 Relation with incomplete decompositions . . . . . . . . . . . 97
3.3 Parallelization of the double sweep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.1 Full sweeps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.2 Sweeps with cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Amplitude formulation for the multiple obstacles scattering algorithm 127
4.1 Phase reduction formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.1 Phase reduction formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.2 Phase estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Efficient implementation of the MOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.1 Discretization for PR-FEM and MOSA . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.2 Fast iterations and stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.1 PR-FEM for single scattering problems . . . . . . . . . . . . . 139
4.3.2 Multiple scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4 Related methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Contents iii
4.4.1 Preconditioning the MOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.4.2 Macro Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Conclusion 151
A Formal construction of the double sweep preconditioner 155
B Integral representation of the fields (scalar case) 159
B.1 Boundary integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
B.2 Dirichlet-to-Neumann map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
C Non-local approximation of the DtN map based on PMLs 165
C.1 Explicit construction of the DtN map from the black box . . . . . . . 165
C.2 DtN map approximation via probing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C.3 Implicit application of the black blox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
D Numerical dispersion relation 169
Bibliography 171



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