Fukuyama University Repository / 福山大学学術情報リポジトリ

今井, 航

Imai, Wataru

福山大学 大学教育センター 大学教育論叢 
第 10号（2023年度） 2024年 3月発行 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
第 10回福山大学教育改革シンポジウム記録 
 
大学生に求められる障害のある学生への支援 
―その組織的対応のあり方― 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Japanese

The 10th Symposium on University Education Reform (SD): “Support for students with Disabilities Required by Universities”

福山大学大学教育センター

 
 
 
 
福山大学大学教育センター紀要編集委員会 
 
編集委員長  地主弘幸 
編 集 委 員  小原友行 
坂口勝次 
佐藤英治 
編 集 幹 事  日暮美紀 
英 文 校 閲  Jason LOWES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
大学教育論叢 第 10号（2023年度） 
2024年 3月 発行 
 
発 行／福山大学 大学教育センター 
〒729-0292 福山市東村町字三蔵 985-1 
 
印 刷／三原プリント株式会社 
〒723-0041 三原市和田 1丁目 5-13 
 
 


『大学教育論叢』第10号巻末

津田, 泰行

Yasuyuki, Tsuda

Visionary Leadership to Transition a Company to a CSV Strategy: Case study analysis of innovation in Small and Medium Enterprises

福山大学工学部紀要委員会

English

スマートシステム学科研究業績

Temma, Seiya

Matsuno, Hiroshi

 
 
 
Effect of Untrained Strange Words in Mail Filtering 
 
Seiya TEMMA*  Hiroshi MATSUNO** 
 
 
ABSTRACT 
Numerous email filtering approaches based on machine learning have been proposed, 
enabling classifications approaching complete filtering. These methods categorize newly 
received emails based on features extracted from past received emails; thus their 
classification performance decreases for emails with altered features. To accurately classify 
such emails, it is imperative to extract features from newly emerged words untrained by 
machine learning. Therefore, upon examining the occurrence tendencies of these words, we 
discovered a trend that over time, spam emails contain more out-of-dictionary words. To 
utilize this trait for classification, we proposed a method to facilitate categorizing emails 
with many out-of-dictionary untrained words as spam. Consequently, applying this 
approach reveals that by assigning a relatively high spam probability around 0.7 to 
untrained words untrained, the filtering performance improves.  
 
Keywords: Email filtering, Strange words, untrained words, Changes in occurrence 
tendencies. 
 
 
1. Introduction 
With the growth of the Internet, various spam 
filtering methods have been employed to classify the 
increasing amount of spam emails.  
These approaches performance is the more words 
appearing in a similar tendency to the mails used in 
machine learning a test mail contains, the higher its 
classification performance, and conversely, the more 
words exhibiting different tendencies, the lower its 
performance. Among these words, those appearing for 
the first time in a test mail, namely untrained words 
that have not been machine learned, are particularly 
difficult to use for classification, deteriorating 
performance. 
To intentionally decrease this performance, spam 
senders use symbols, spaces, and HTML tags in words 
as shown below [1]. 
 price$ for be$t drug$! 
 Sym8oL 
 priceC I A L I S 
 <font>se</font>xu<font>al</font> 
*福山大学工学部情報工学科  **山口大学大学院創成科学研究科 
85
Such words are not listed in dictionaries (hereafter 
called strange words) and can be easily altered by 
changing said combinations, creating new ones daily, 
many becoming untrained words. This is one reason 
why spam features temporally change easily. 
We have previously confirmed that the 
classification accuracy by trained strange words is 
higher than other words like nouns, verbs, and 
adjectives [2], indicating this new viewpoint of 
utilizing trained strange words can be a technique to 
bring us closer to perfect filtering, but we have not 
dealt with untrained strange words. 
In this paper, we newly propose a technique for 
applying untrained strange words to email filtering. 
Specifically, to further verify the utility of strange 
words, we analyze the characteristics of untrained 
strange words appearing in email subjects and bodies, 
present a model for utilizing the extracted features in 
classification, and by applying this to bsfilter [3], 
experimentally confirm improved classification 
performance. 
2. Experimental Setup 
2.1 Email dataset 
To enable reproduction and comparison by third 
parties, publicly available datasets were used in this 
study, comprised of relatively old emails but still 
widely utilized in recent studies, containing the 
strange words with integrated symbols and HTML 
tags. 
2.1.1 SpamAssassin public corpus [4] 
Used extensively in many prior email filtering 
studies (hereafter, SpamAssassin). Comprised of 
emails received over approximately 2 years from 
January 2002 to December 2003 (4,150 ham emails, 
1,987 spam emails, total 6,173 emails), not including 
emails received by spam traps. 
 
2. 1. 2 TREC 2007 spam corpus [5], [6] 
Employed in the Text REtrieval Conference and 
numerous other email filtering studies (hereafter, 
TREC). Comprised of emails received by a specific 
server over about 3 months from April 8 to July 6, 
2007 (25,220 ham emails, 50,199 spam emails, total 
75,419 emails), including emails obtained by spam 
traps. 
 
2.2 Data Set Partitioning and Usage 
To compare experimental results using two data sets 
with different numbers of emails and reception periods, 
as shown in Figure 1, the oldest 20% of emails were 
assigned as the learning set and the remainder as the 
test mail set for both ham and spam emails. These 
were ordered chronologically and divided evenly into 
8 sections, numbered 1 through 8. 
In actual filter operation, newly received emails 
would normally be added to update machine learning. 
However, to focus on feature changes over time, fixed 
training emails were analyzed. 
To limit information to that actually needed by 
recipients, only subjects and bodies were used 
(headers and attachments were removed and emails 
without bodies were excluded). 
Words split by NLTK's tokenizer were used as words, 
with those not registered in WordNet [7] defined as 
strange words.  
 
Figure 1: The categorization of training emails and 8 
pattern test emails. 
86
3. Analysis of Untrained Word Characteristics 
3.1 Temporal Changes in Ham and Spam Email 
Classification Performance 
Ham email features also change due to shifts in 
content related to activities, topics, and personal 
relationships. In addition to trend changes, spam email 
features alter via the aforementioned creation and 
replacement of strange words. 
As these feature changes accumulate over time, 
classification performance can be expected to decrease 
for both ham and spam emails. 
To closely examine this, classification experiments 
were conducted using SpamAssassin and TREC 
described in Section 2.1 with bsfilter. Results are 
shown in Figure 2. 
The horizontal axis denotes the test email set number, 
with larger numbers indicating longer elapsed times 
from the training email set. The vertical axis shows 
the mean spam probability value calculated for each 
test email set, presented separately for ham and spam 
emails. 
It can be seen that SpamAssassin and TREC 
demonstrate the same tendency, with ham emails 
maintaining a low spam probability around 0.0, 
indicating time-independent and highly accurate 
classification. 
In contrast, even for test email set 1 with the shortest 
elapsed time, spam email spam probability is low at 
around 0.85, decreasing to around 0.6 thereafter, 
suggesting deteriorating classification accuracy. This 
may be attributed to the previously mentioned trend 
changes and creation/replacement of strange words 
increasing untrained words. 
 
3.2 Potential Applicability of Untrained Words to 
Classification 
To investigate the potential for utilizing untrained 
words, temporal changes in the proportion of 
untrained word types were examined. Results are 
shown in Figure 3. 
The horizontal axis denotes the test email set number, 
with larger numbers indicating longer elapsed times 
from the training email set. The vertical axis shows 
the proportion of untrained word types out of all word 
types appearing in an email, averaged over each test 
email set. Results are separated into strange and in the 
dictionary words, for ham and spam emails 
respectively. 
From this figure, it can be seen that for both 
SpamAssassin and TREC, the proportion of untrained 
strange words is higher and exhibits an increasing 
trend over time for spam emails compared to ham 
emails. 
In other words, when the proportion of untrained 
strange words in an email is high, that email tends to 
be spam, with this tendency strengthening over 
elapsed days. 
 
Figure 2: The classification performance of 
bsfilter. 
87
4. Applying Untrained Strange Words to 
Classification 
4.1 Incorporating Untrained Strange Words into 
Existing Filters 
To apply untrained strange words to existing 
methods, classification can be biased to more easily 
categorize emails containing greater numbers of them 
as spam. Specifically, the following processing flow 
shown in Figure 4 is used: 
(a) For each word in a test email, divide into 
untrained words (not contained in the training email 
set) and trained words (contained in the training email 
set). 
(b) Divide untrained words into strange and in the 
dictionary words. 
(c) Count untrained strange words, and incorporate 
processing into the existing filtering method to bias 
classification towards spam for larger numbers. 
(d) Classify the email using trained words with the 
existing filtering method. 
In this study, the utility of applying untrained strange 
words was experimentally investigated by 
incorporating them into the currently widely used 
bsfilter. Specifically, Figure 4 (c) was implemented by 
uniformly setting a spam probability for untrained 
strange words, and classification results were 
compared with the original bsfilter. 
Experiments similar to above were conducted across 
spam probabilities spanning 0.0 to 1.0 to identify 
values improving classification accuracy. Results are 
presented in Figure 5. 
The horizontal axis shows the set spam probability. 
The vertical axis gives values averaged over test email 
sets 1 through 8 for: 
(Revised spam probability) - (Original spam 
probability) 
Positive values indicate increased and negative 
values indicate decreased email spam probabilities. 
From the figure, setting untrained strange word spam 
probability around 0.7 yielded improved classification 
for both SpamAssassin and TREC data sets.  
 
Figure 4: The process of handling words in the 
proposed methodology. 
 
Figure 3: The percentage of untrained words in the 
email body. 
88
4.2 Classification Performance Changes from 
Utilizing Untrained Strange Words 
To alter the training email set, in addition to Pattern 
1 used thus far in analysis, Pattern 2 employing email 
sets 1 and 2, Pattern 3 with email sets 3 and 4, and 
Pattern 4 using email sets 5 and 6 for learning were 
prepared as shown in Figure 6. Test emails were 
newer than learning set emails.  
Classification accuracy was determined using TREC 
and SpamAssassin for Patterns 1 through 4. Results 
are presented in Figure 7 with pattern numbers on the 
horizontal axis and AUC values on the vertical axis; 
higher pattern numbers indicate more recent training 
email reception dates. 
An additional comparative test with bsfilter fixed to 
not use untrained strange words (unused) to examine 
utility of the 0.7 spam probability revised bsfilter and 
original bsfilter in leveraging untrained strange words. 
It can be seen in the figure that with a 0.7 spam 
probability setting, classification accuracy remained 
high for SpamAssassin at 0.98 or above and TREC at 
0.99 or above regardless of training email reception 
date. 
For TREC results, classification accuracy converged 
across all methods when using newer training emails. 
This likely owes to the short approximately 3 month 
TREC reception span, resulting in minor emergence of 
new features and decreases in untrained words due to 
proximity of learning and test email reception dates. 
5. Conclusion 
This paper focused on spam senders’ creation of 
untrained strange words and examined potential 
applicability to email classification. 
First, classification experiments employing the 
original bsfilter confirmed decreasing spam email 
classification performance over time. 
Investigating this cause revealed greater quantities of 
 
Figure 6: 4 patterns of email dataset. 
 
Figure 5: The relationship between the spam 
probability assigned to untrained 
words and classification performance. 
89
untrained strange words in spam versus ham emails, 
with the number increasing over time. 
To incorporate this tendency into existing techniques, 
a model was proposed to facilitate categorizing emails 
with more untrained strange words as spam (Figure 4).  
To experimentally validate efficacy of the proposed 
model, uniform spam probability assignment to 
untrained strange words was tested in bsfilter, 
confirming optimal classification improvement with a 
value of 0.7. 
Email filtering has seen ongoing enhancements, 
reaching performance limits. Further accuracy gains 
approaching perfect filtering necessitate new 
perspectives, with this paper introducing the 
previously unexploited viewpoint of leveraging 
untrained strange words. 
Acknowledgments 
 This research was supported by the JST Exploratory 
Research for Next Generation Researchers Program, 
under the grant number JPMJSP2111. 
References 
[1] Fawcett, T. "In vivo" spam filtering: a challenge 
problem for KDD. ACM SIGKDD Explorations 
Newsletter, Vol. 5, No. 2, pp. 140–148, 2003. 
[2] S.Tenma, and H.Matsuno, "Feature Analysis of 
Strange Words for More Effective Mail Filtering" 
The Institute of Electronics, Information and 
Communication Engineers, Vol. J105-D, No. 11, 
2022. In Japanese. 
[3] bsfilter, available from 
⟨https://ja.osdn.net/projects/bsfilter/⟩ (accessed 
2021-10-01). 
[4] SpamAssassin public corpus, available from 
⟨https://spamassassin.apache.org/old/publiccorpu
s/⟩ (accessed 2022-05-23). 
[5] Spam Track, available from 
⟨https://trec.nist.gov/data/spam.html⟩ (accessed 
2021-10-01). 
[6] Cormack, G.V. "TREC 2007 spam track 
overview," Proc. 16th Text REtrieval Conference, 
TREC 2007. 
[7] Miller, G.A. "WordNet: A lexical database for 
English," Comm. ACM, Vol.38, No.11, pp.39–41, 
1995. 
 
Figure 7: The improvement in classification 
accuracy by setting a spam probability 
of 0.7 for untrained words. 
90


Effect of Untrained Strange Words in Mail Filtering

福山大学生命工学部海洋生物科学科

海洋生物科学科2023年研究業績

福山大学経済学研究会

第 48 巻　2024 年 3 月
福山大学経済学論集
福山大学経済学研究会
ビジョナリーリーダーシップによる企業のCSV戦略への移行
―中小企業のイノベーション事例分析―
津田　泰行　　
　･････････････････････････････････   1
Who Gets in?
A Pragmatic View on the Future Course of the Expanding TPP
Tatsuji Hayakawa　　
　･････････････････････････････････  15
How decades of low interest rates have impeded investment and distorted Japanese citizens’ 
perceptions of financial risk
Ian James Bisset　　
　･････････････････････････････････  24
Simulating and Visualizing the Performance of Leveraged Investing
Akatsuki Sukeda　　
　･････････････････････････････････  32
Solving Numerically and Visualizing an IS-MP Model with Financial Intermediation
Akatsuki Sukeda　　
　･････････････････････････････････  41
Structure of division of labor in the machinery industry in Bingo
―From prewar era to the present―
Fu Cho　　
　･････････････････････････････････  53
著作権侵害の経済理論：“役割分担均衡” と“対象均衡” の頑健性について
村松　悠次　　
　･････････････････････････････････  76
ウルグアイの高齢化とその経済成長への影響
鍋島正次郎　　
　･････････････････････････････････  88
国民経済計算体系におけるフランスの影響に関する考察
―プラン・コンタブル・ジェネラルの歴史的経緯を踏まえ―
高山　和夫　　
　･････････････････････････････････ 101
地域中小企業における持続的経営のための人材育成エコシステムモデルの構築に向けて
―アスカカンパニー株式会社と株式会社アスカコネクトの起業事例を通して
荒木　利雄　　
　･････････････････････････････････ 116
「価値に関連する手法（Value-Based Approach）」スキームの整理 
―構造的文献レビューを用いた研究動向の解明―
関下　弘樹　　
　･････････････････････････････････ 134
インボイス制度導入から前景化する課題
―制度の精緻化のみがもたらす限界―
飯田　哲也　　
　･････････････････････････････････ 152


表紙_福山大学経済学論集 第48巻

Hayakawa, Tatsuji

Who Gets in? A Pragmatic View on the Future Course of the Expanding TPP

福山大学工学部紀要 
第 47巻 
2024年 3月 
The Memoirs of the Faculty of Engineering 
Fukuyama University 
Vol. 47 
March 2024 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
スマートシステム学科 Smart System  
建 築 学 科 Architecture       
情 報 工 学 科 Computer Science 
機械システム工学科 Mechanical Systems Engineering 
 
ISSN 0000-000X 


福山大学工学部紀要第47巻 表紙

尾関, 孝史

Ozeki, Takashi

行列の階数の視覚化と基底ベクトル 
尾関 孝史* 
Visualization of Matrix Rank and Basis Vectors 
Takashi OZEKI* 
ABSTRACT 
Although one of the goals of linear algebra is to solve simultaneous linear equations, that is not 
the ultimate goal. One of the ultimate goals is to represent a point as a coordinate in an 
N-dimensional space using N basis vectors. The most well-known basis is the 𝑥𝑦 coordinate, 
known as Cartesian coordinates. However, when learning linear algebra in university lectures, 
the abstracted concepts are expressed in mathematical formulas, which often fail to create an 
image for beginning students. Therefore, in this paper, each row of the simultaneous linear 
equations is regarded as a hyperplane, and it is visualized in the 2-dimensional and 
3-dimensional cases that the linearly independent number of their normal vectors is equal to the 
rank of the coefficient matrix of the simultaneous linear equations. 
 
キーワード：連立一次方程式，行列式，超平面，基底ベクトル，行列の階数 
Keywords: Linear Simultaneous Equations, Determinant, Hyperplane, Basis Vectors, Matrix Rank 
 
１．まえがき 
線形代数は連立一次方程式を解くことが目的の 1
つではあるが、それが最終目的ではない。最終目的の
1つは、N次元空間を N個の基底ベクトルを利用して、
点を座標として表現することである。その最もよく知
られている基底が、デカルト座標で知られている𝑥𝑦
座標である。しかしながら、大学の講義で線形代数を
学ぶ際、抽象化された概念を数式で表現するため
[1,2]、初学者にはイメージが湧かないことが多い。
そこで、本論文では、連立一次方程式の各行を超平面
とみなし、それらの法線ベクトルの線形独立な個数が
連立一次方程式の係数行列の階数に等しいことを 2
次元と３次元の場合で視覚化することを試みる。 
２．２元連立一次方程式と𝑥𝑦平面 
２元連立一次方程式 
(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦) = (
𝑒
𝑓)   (1) 
の解は、その行列式の値が 0 でない、すなわち 
|
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 
の時、ただ一つの解が存在する。その解は、逆行列を
用いると 
(
𝑥
𝑦) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)
−1
(
𝑒
𝑓) 
=
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
) (
𝑒
𝑓) 
=
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
(
𝑑𝑒 − 𝑏𝑓
−𝑐𝑒 + 𝑎𝑓
) 
と表される。それでは、行列式の値が 0 の時、すなわ
ち、𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0の時はどうなるのか？ 
式(1)は、𝑥𝑦平面上で考えると、2 直線 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 
と考えることができる。𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0が成り立つ場合、
２つの直線が平行である。なぜなら、２つの直線が平
行であれば、その２つの直線の垂直方向である法線ベ
クトル(
𝑎
𝑏
)と(
𝑐
𝑑
)も平行であり、 
𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑 
だ成り立つため、𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0となるからである。こ
の時、以下の２つの場合がある。 
（１） 𝑎: 𝑏: 𝑒 = 𝑐: 𝑑: 𝑓の場合、２つの直線は同一であ
り、連立一次方程式(1)の解は、この直線の
点全てとなる。即ち解は一意に定まらない
（不定という）。 
（２） 𝑎: 𝑏: 𝑒 ≠ 𝑐: 𝑑: 𝑓の場合、２つの直線は平行であ
るが異なる。ユークリッドの公理によると
「異なる平行線は交わらない」ため、交点は
存在しない。すなわち、連立一次方的式(1)
の解は存在しない（不能という。図１参照）。 
*情報工学科 
57
 
 
 
 
 
図１：行列式の値が 0で異なる平行な２直線の場合 
 
また、２つの直線の法線ベクトル(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑)が平
行でない場合、２つの直線も平行でないため、交点が
ただ１つ存在する。すなわち、連立一次方程式(1)は
解をただ１つ持つ。 
これを行列(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)で見ると、２つの行ベクトル（２
つの平面の法線ベクトル）(𝑎, 𝑏)と(𝑐, 𝑑)が平行でなけ
れば、その行列式は 0 でなく、連立一次方程式は解を
持つということができる。数学の用語では、行列
(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)はその階数（rank）が２であるという。また、
２つの行ベクトル(𝑎, 𝑏)と(𝑐, 𝑑)は互いに線形独立と
いう。なお、２つの行ベクトル（法線ベクトル）が平
行な場合は、その行列の階数は１であり、２つの行ベ
クトルは、互に線形従属であるという。実は、行列式
の絶対値|𝑎𝑑 − 𝑏𝑐|は、２つの行ベクトル(𝑎, 𝑏),(𝑐, 𝑑)が
作る平行四辺形の面積に等しい（図２参照）。従って、
行列式の値が𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0の場合は、平行四辺形の面
積が 0、すなわち、２つの行ベクトルが平行なことを
意味する。 
 
図２：２つの行ベクトルと平行四辺形の面積 
（行列式の絶対値） 
 
２つの行ベクトルが平行でなければ、２つの媒介変
数𝑠,𝑡を用いた式 
(
𝑥
𝑦) = 𝑠 (
𝑎
𝑏
) + 𝑡 (
𝑐
𝑑
) 
は、𝑥𝑦平面のすべての点を表すことが可能である。
一般に、平行でない（線形独立な）２つのベクトルを
利用すると、𝑥𝑦平面全体の点を表すことができるた
め、𝑥𝑦平面の基底ベクトルという。特に、(
1
0
)と(
0
1
)の
ような２つの直交する基底を直交基底といい、更に、
全ての基底の大きさが 1 の場合を正規直交基底とい
う。２次元平面では、基底の数はちょうど２個必要で
ある。 
転置行列の行列式の値は元の行列の行列式の値と
変わらない。実際、 
|
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = |
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
が成り立つので、２つの行ベクトル(𝑎, 𝑏),(𝑐, 𝑑)が線
形独立（平行でない）なら、２つの列ベクトル(
𝑎
𝑐
)と
(
𝑏
𝑑
)も線形独立（平行でない）である。すると、連立
一次方程式(1)は 
(
𝑒
𝑓) = 𝑥 (
𝑎
𝑐
) + 𝑦 (
𝑏
𝑑
) 
と表され、(
𝑎
𝑐
),(
𝑏
𝑑
)が２次元平面の基底であることか
ら、点(
𝑒
𝑓)をこの基底で表す媒介変数𝑥, 𝑦が存在するこ
とになる。すなわち、これが、連立一次方程式(1)の
解に該当する。 
３．３元連立一次方程式と𝑥𝑦𝑧空間 
３変数の場合は２変数の場合ほど単純ではない。３
元連立一次方程式 
(
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
) (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
𝑗
𝑘
𝑙
)  (2) 
の解はその行列式の値 
|𝐴| = |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| = 𝑎(𝑒𝑖 − 𝑓ℎ) − 𝑏(𝑑𝑖 − 𝑓𝑔)
+ 𝑐(𝑑ℎ − 𝑒𝑔) ≠ 0 
の時、逆行列を用いて、 
(
𝑥
𝑦
𝑧
) =
1
|𝐴|
(
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
)
−1
(
𝑗
𝑘
𝑙
) 
と表される。それでは、|𝐴| = 0の場合、解はどうな
るのであろうか？ 
まず、２変数の場合と同じように考える。式(2)は、
𝑥𝑦𝑧空間で考えると３平面 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑗 
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓𝑧 = 𝑘 
𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 = 𝑙 
と考えることができ、解はその３平面の交点を意味す
58
る。最初の２平面が平行でなければ、その２平面には
交線が１つ存在する（図３参照）。 
 
図３：2平面とその交線 
 
更に、第３の平面がその交線と平行でなければ、ただ
１つの交点が存在する（図４参照）。 
 
 
図４：交線と第 3の平面 
 
しかし、３平面が平行でない場合でも、ただ１つの
交点とならない場合がある。すなわち、３平面が共通
交線を持つ場合である。この場合、３平面が交線の周
りを回転している（図５参照）。 
 
図５：3平面と共通交線 
 
このことを３平面の３つの法線ベクトルを利用し
て明らかにする。３平面の３つの法線ベクトル
(𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑑, 𝑒, 𝑓), (𝑔, ℎ, 𝑖)は全て交線に垂直であること
から、３つの法線ベクトルはある平面に含まれる。言
い換えると、３つの法線ベクトルは２次元平面内にあ
り、３次元を成すことはない。従って、この場合は行
列(
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
)の階数は３ではなく２となる。また、平
面では、基底は２つでよいので、３つの各法線ベクト
ルは他の２つの法線ベクトルで表すことができる。例
えば、 
(
𝑔
ℎ
𝑖
) = 𝛼 (
𝑎
𝑏
𝑐
) + 𝛽 (
𝑑
𝑒
𝑓
) 
を満たす定数𝛼, 𝛽が存在する。すなわち、３つの法
線ベクトルは線形独立ではなく線形従属の関係にあ
る（図６参照）。 
 
 
図６：線形従属の関係 
 
では、３つの法線ベクトルが３次元空間の基底、す
なわち３次元をなす場合はどうなるのであろうか。実
は、行列式の絶対値は、３つの法線ベクトルがなす平
行六面体の体積に等しい（図７参照）。 
 
 
図７：3つの法線ベクトルが成す平行六面体 
 
以上のことから、３つの法線ベクトルが平行六面体
を成せば、その行列式の値が 0 でないため、逆行列が
存在し、３元連立一次方程式(2)はただ一つの解を持
つ。すなわち、３平面はただ１つの交点を持つ。もし、
３つの法線ベクトルが２次元または１次元を成す場
合、平行六面体は平行四辺形または線分に縮退し、体
積が 0 となることから、その行列式も 0 となる。この
ため、逆行列は存在せず、不定または不能となる。一
方、３つの法線ベクトルが３次元を成すなら、３つの
媒介変数 s, t, u を用いた式 
(
𝑥
𝑦
𝑧
) = 𝑠 (
𝑎
𝑏
𝑐
) + 𝑡 (
𝑑
𝑒
𝑓
) + 𝑢 (
𝑔
ℎ
𝑖
) 
ここが解（交点） 
59
は、𝑥𝑦𝑧空間のすべての点を表すことができる。一般
に、線形独立な任意の３つのベクトルは𝑥𝑦𝑧空間を表
すことができ、𝑥𝑦𝑧空間の基底ベクトルという。特に、
(
1
0
0
), (
0
1
0
), (
0
0
1
)のような３つの直交する基底を直交
基底といい、更に、全ての基底の大きさが 1 の場合を
正規直交基底という。３次元空間では、基底の数はち
ょうど３個必要である。 
転置行列の行列式の値は元の行列の行列式の値と
変わらない。実際、 
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| = |
𝑎 𝑑 𝑔
𝑏 𝑒 ℎ
𝑐 ℎ 𝑖
|
= 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖
− 𝑐𝑒𝑔 
が 成 り 立 つ の で 、 ３ つ の 行 ベ ク ト ル
(𝑎, 𝑏, 𝑐),(𝑑, 𝑒, 𝑓), (𝑔, ℎ, 𝑖)が線形独立なら、３つの列ベ
クトル(
𝑎
𝑑
𝑔
),(
𝑏
𝑒
ℎ
), (
𝑐
𝑓
𝑖
)も線形独立である。すると、連
立一次方程式(2)は 
(
𝑗
𝑘
𝑙
) = 𝑥 (
𝑎
𝑑
𝑔
) + 𝑦 (
𝑏
𝑒
ℎ
) + 𝑧 (
𝑐
𝑓
𝑖
) 
と表され、(
𝑎
𝑑
𝑔
),(
𝑏
𝑒
ℎ
) , (
𝑐
𝑓
𝑖
)が３次元空間の基底である
ことから、点(
𝑗
𝑘
𝑙
)をこの基底で表す媒介変数𝑥, 𝑦, 𝑧が
存在することになる。すなわち、これが、連立一次方
程式(2)の解に該当する。 
４．Ｎ元連立一次方程式への一般化 
Ｎ元連立一次方程式 
(
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
)(
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
)  (3) 
のＮ個の超平面(𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑁) 
𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑖  
のＮ個の法線ベクトル（行ベクトル） 
(
𝑎11
𝑎12
⋮
𝑎1𝑁
) ,(
𝑎21
𝑎22
⋮
𝑎2𝑁
) ,⋯ ,(
𝑎𝑁1
𝑎𝑁2
⋮
𝑎𝑁𝑁
), 
が互いに線形独立であれば、そのＮ個の法線ベクトル
が成す平行超２Ｎ面体の体積は、その係数行列の行列
式に等しく、0 でない。従って、係数行列は逆行列を
持つ。その結果、Ｎ元連立一次方程式(3)はただ一つ
の解を持つ。また、全ての法線ベクトルが線形独立で
あることから、Ｎ個の媒介変数𝑡𝑖を用いた式 
(
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑁
) = 𝑡1(
𝑎11
𝑎12
⋮
𝑎1𝑁
) + 𝑡2(
𝑎21
𝑎22
⋮
𝑎2𝑁
)+⋯+𝑡𝑁 (
𝑎𝑁1
𝑎𝑁2
⋮
𝑎𝑁𝑁
) 
はＮ次元空間を表すことができ、法線ベクトルは基
底ベクトルとなる。そして、転置行列の行列式の値は
元の行列の行列式の値と変わらない。従って、係数行
列の列ベクトル 
(
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑁1
) ,(
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑁1
) ,⋯ ,(
𝑎1𝑁
𝑎2𝑁
⋮
𝑎𝑁𝑁
) 
も基底ベクトルとなる。すると、連立一次方程式(3)
は 
(
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
) = 𝑥1 (
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑁1
) + 𝑥2(
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑁1
)+⋯ ,+𝑥𝑛(
𝑎1𝑁
𝑎2𝑁
⋮
𝑎𝑁𝑁
) 
と表され、点(
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
)をこの基底で表す媒介変数𝑥𝑖が存
在することになる。すなわち、これが、連立一次方程
式(3)の解に該当する。 
５．まとめ 
本論文では、連立一次方程式の各行を超平面とみな
し、そのＮ個の法線ベクトルの線形独立な個数が連立
一次方程式の係数行列の階数に等しいことを 2 次元
と３次元の場合で視覚化した。その結果、全ての法線
ベクトルが互いに線形独立であれば、それらのベクト
ルが基底ベクトルになることも示した。このように、
視覚化することで、初学者が線形代数を学ぶ際、少し
でも理解が深まることを期待する。 
 
参考文献 
[1]  斎藤正彦，線型代数入門，東京大学出版会，1990． 
[2]  小松醇郎，永田雅宜，代数学と幾何学，1966． 
[3]  石原繁，竹村由也，解析幾何，森北出版株式会
社，1993． 
[4]  尾関 孝史，あたたかい代数幾何，福山大学工
学部情報工学科「線形代数」講義テキスト，2023． 
 
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