195 research outputs found
Jacobi-Angelesco meervoudige orthogonale veeltermen en toepassingen
No full textWe investigate type I multiple orthogonal polynomials on r intervals which have a common point at the origin and endpoints at the r roots of unity. We use the weight function |x|^β (1-x^r)^α, with α,β >-1 for the multiple orthogonality relations. We give explicit formulas for the type I multiple orthogonal polynomials, the coefficients in the recurrence relation, the differential equation, and we obtain the asymptotic distribution of the zeros.sponsorship: This work was supported by FWO research project G.086416N and EOS project PRIMA 30889451. The authors thank the referees for their constructive suggestions. (FWO|G.086416N, EOS project PRIMA|30889451)status: Published onlin
De Hermite-Padé benaderingstechniek om de irrationaliteit van bepaalde getallen aan te tonen.
No full textHet doel van deze doctoraatsthesis is het opstellen van rijen van goede rationale benaderingen voor een vooraf vastgelegd reëel getal x.&n bsp; Een belangrijk lemma hiervoor zegt dat, als men twee gehele rijen < I>a_n en b_n kan vinden, zodanig dat de rij b_n x - a_n niet nul is, maar wel naar nul convergeert, dan x irrationaal is. Bovendien bestaat er het begrip irrationaliteitsmaat van een r eëel getal x. Deze maat geeft informatie over hoe goed x benaderd kan worden door rationale getallen. Hoe beter de benaderende rijen a_n en b_n zijn (dus hoe sneller de r ij b_n x - a_n naar nul convergeert vergeleken met de groei van&nb sp;b_n), hoe beter de grenzen zijn voor de irrationaliteitsmaat va n x. De techniek die hier vooral gebruikt wordt voor het opstellen van deze r ijen, is de (Hermite-)Padé techniek. Bij de Padé-techniek zoe kt men rationale functies met gegeven teller- en noemergraad, die een fu nctie f(z) benaderen in een bepaald punt (gewoonlijk is& nbsp;z oneindig). De Hermite-Padé techniek is een uitbr eiding, waarbij meer dan één functie gelijktijdig wordt benaderd. De voorwaarden om goede rationale benaderingen te verkrijgen blijken ort hogonaliteitsvoorwaarden voor de noemerveeltermen te geven, vandaar de l ink met orthogonale veeltermen. Het blijkt dat de oplossingen van deze benaderingsproblemen vaak makkeli jk kunnen beschreven worden in functie van een bepaalde integraaltransfo rmatie: de (q)-Mellin transformatie. Een afzonderlijk h oofdstuk werd hieraan gewijd, vooral dan in verband met meervoudige Jaco bi-Piñeiro en kleine q-Jacobi veeltermen. Doorheen de thesis duiken vaak q-extensies op. Hierin is < I>q een parameter met modulus kleiner dan 1, met de eigenschap dat <I >q naar 1 laten gaan ons opnieuw de klassieke grootheid gee ft. Er bestaan q-extensies van orthogonale veeltermen,& nbsp;zeta- en betawaarden, integratie and afleiding, integraaltransforma ties,... In deze thesis wordt de (Hermite-)Padé techniek toegepast op enkele fami lies reële getallen. Er is een familie van Lambertreeksen, die afh angt van drie parameters (een teken, een rationaal getal < 1 en een gehe el getal). De irrationaliteit van elk getal in deze familie wordt aangetoond. Deze familie omvat enkele gekende q-co nstanten: de q-zeta- en q-betawaarden in 1 en de < I>q-extensie van ln(2). Om dit resultaat over de irrationalitei t (en bijhorende irrationaliteitsmaat) te bekomen, was het nodig een enk elvoudig Padéprobleem op te lossen. Om de irrationaliteit van een q-extensie van de zetawaarde in 2 aan te tonen, werd een Hermite-Padé probleem voor twee functies opgesteld en opgelost. De bekomen benaderingen laten toe om de (ge kende) irrationaliteit van deze familie weer aan te tonen, maar ook om d e bovengrens voor de irrationaliteitsmaat van deze familie te verlagen.& nbsp; De parameter 1/q is hier een geheel getal. De Hermite-Padé techniek en enkele andere benaderingstechnieken&nbs p;werden ook toegepast op twee andere gevallen: de constante van Ca talan, en een q-extensie van de zetawaarde in 3 (ook hie r weer is de parameter 1/q een geheel getal). De bekome n approximaties zijn echter in beide gevallen niet goed genoeg om de (ve rmoede) irrationaliteit aan te tonen. De moeilijkheid is tweeërlei : enerzijds is het moeilijk om benaderingen op te stellen voor enkel het gewilde getal, zonder dat er andere getallen in opduiken (Pi in het gev al van Catalan, de q-zeta's in 1 en 2 in het andere geval).&n bsp; Anderzijds geeft de Hermite-Padé techniek ons gewoonlijk ra tionale rijen, terwijl we voor resultaten in verband met irrationalit eit gehele rijen nodig hebben. De snelle groei van de f actor, nodig om van deze rationale rijen gehele rijen te maken doet vaak de intrinsiek goede kwaliteit van deze benaderingen teniet.status: Publishe
Some properties of multiple orthogonal polynomials associated with Macdonald functions
No full textAbstractMultiple orthogonal polynomials corresponding to two weights on [0,∞) associated with modified Bessel functions (Macdonald functions) Kν and Kν+1 were introduced in Van Assche, Yakubovich (Integral Transforms Special Funct. 9 (2000) 229–244) and recently also studied by Ben Cheikh, Douak (Meth. Appl. Anal., to appear). We obtain explicit formulas for type I vector polynomials (An,n,Bn,n) and (An+1,n,Bn+1,n) and for type II polynomials Pn,n and Pn+1,n. We also obtain generating functions for types I and II polynomials
Unique positive solution for an alternative discrete Painlevé I equation
No full textWe show that the alternative discrete Painleve I equation has a unique solution which remains positive for all n >0. Furthermore, we identify this positive solution in terms of a special solution of the second Painleve equation involving the Airy function Ai(t). The special-function solutions of the second Painleve equation involving only the Airy function Ai(t) therefore have the property that they remain positive for all n>0 and all t>0, which is a new characterization of these special solutions of the second Painlevé equation and the alternative discrete Painlevé I equation
A Golub-Welsch version for simultaneous Gaussian quadrature
No full textThe zeros of type II multiple orthogonal polynomials can be used for
quadrature formulas that approximate integrals of the same function
with respect to measures in the spirit of Gaussian
quadrature. This was first suggested by Borges in 1994, even though he does not
mention multiple orthogonality. We give a method to compute the quadrature
nodes and the quadrature weights which extends the Golub-Welsch approach using
the eigenvalues and left and right eigenvectors of a banded Hessenberg matrix.
This method was already described by Coussement and Van Assche in 2005 but it
seems to have gone unnoticed. We describe the result in detail for and
give some examples.Comment: 21 pages, 4 table
Discrete Painlevévergelijkingen en orthogonale veeltermen.
No full textWe bestuderen het verband tussen bepaalde semi-klassieke orthogonale veeltermen en discrete Painlev\'evergelijkingen. De hoofdrol in dit verband is weggelegd voor de recursieco\"effici\"enten van de drietermsrecursierelatie waaraan alle rijen van orthogonale veeltermen voldoen. Concreet hebben we aangetoond dat de recursieco\"effici\"enten van semi-klassieke Laguerre, Stieltjes-Wigert, -Laguerre en kleine -Laguerre veeltermen, na een simpele transformatie, voldoen aan discrete Painlev\'evergelijkingen. Voor verschillende andere rijen van semiklassieke veeltermen hebben we de recursieco\"effici\"enten kunnen beschrijven als oplossingen van stelsels die limietgevallen zijn van asymmetrische discrete Painlev\'evergelijkingen. Eens de vergelijkingen zijn opgesteld, hebben we getracht deze te gebruiken om de recursieco\"effici\"enten effectief te berekenen. De na\"ieve aanpak blijkt numeriek instabiel te zijn. Dit probleem hebben we proberen op te lossen door de gezochte recursieco\"effici\"enten te omschrijven als oplossingen van de discrete Painlev\'evergelijkingen die op een bepaalde manier uniek zijn. Hiervoor hebben we een operator nodig die zodanig gekozen is dat de recursieco\"effici\"enten van de semi-klassieke veeltermen overeen komen met een vast punt van de operator. Hoewel we er niet in geslaagd zijn de bewijzen exact te maken, geeft deze aanpak ons wel een stabiele en snelle manier om de recursieco\"effici\"enten te berekenen.status: Publishe
Recursierelaties voor nabije buren van meervoudig orthogonale veeltermen
No full textThe goal of this thesis is to study the nearest neighbor recurrence rela tions for multiple orthogonal polynomials, which are a generalization of the concept of orthogonal polynomials. They satisfy higher order recurr ence relations. Most of the people work with the so-called step-line rec urrence relation, however it is not necessarily the most natural one cou ld consider. It is also one of the objectives of the thesis to convince the reader that the nearest neighbor recurrence relations are the more i nteresting object in this context. We believe that many important properties of orthogonal polynomials can be generalized using the nearest neighbor recurrence relation as the pro per analog of the three term recurrence relation. As an example one coul d point out the Christoffel-Darboux type formula for multiple orthogonal polynomials, which can be obtained in a similar way as in the classical case. Another example is the interlacing property, which can be derived from the recurrence relation, just as in the case of orthogonal polynom ials. Since this system of recurrences was less studied in the past compared t o the step-line recurrence relation, we investigate the relation between these two main recurrences for multiple orthogonal polynomials and also the relation with the classical orthogonal polynomials. We should not talk about these objects without giving a few concrete exa mples. We introduce some multiple orthogonal polynomials and compare the recurrence coefficients of the step-line, nearest-neighbor recurrence r elations as well as the coefficients of the classical orthogonal polynom ials.status: Publishe
Gauss-type quadrature
No full textWalter Gautschi's work in this area had a profound impact, especially on the computational and practical aspects of Gauss quadrature. I have heard people refer to it as Gautschian quadrature, just to emphasize Walter's many contributions to the theory and computation.status: Publishe
The Impact of Stieltjes’ Work on Continued Fractions and Orthogonal Polynomials
No full textStieltjes' work on continued fractions and the orthogonal polynomials related to continued fraction expansions is summarized and an attempt is made to describe the influence of Stieltjes' ideas and work in research done after his death, with an emphasis on the theory of orthogonal polynomials.status: Publishe
- …
