6 research outputs found
Density of hyperbolicity in families of complex rational maps
No full textUn dels problemes oberts centrals és la densitat d’hiperbolicitat. En aquest treball ho investiguem en la dinàmica complexa unidimensional, i ens concentrem en el cas polinòmic (cas particular d’una funció racional) com a model on els mecanismes principals poden ser exposats i comprovats en detall. La via procedimental és clara: primer, la construcció de peces de puzle en un entorn del conjunt de Julia; segon, l’ús d’aquestes per definir una funció de caixa complexa; i finalment, l’aplicació de teoremes de rigidesa a aquestes. Aquest procés tradueix la informació combinatòria en rigidesa per als polinomis, demostrant que un polinomi no renormalitzable pot ser aproximat per un polinomi hiperbòlic.In this work, we address the fundamental open problem of whether hyperbolic rational maps, the ones for which every critical point lies in the basin of an attracting cycle, are dense in the space of rational maps of the same degree. By this, we mean if any such map can be uniformly approximated on compact sets by hyperbolic ones. Conjecturally, the answer is ’yes’, and this is known as the Density of Hyperbolicity Conjecture. After reviewing key tools from complex dynamics such as puzzle pieces constructions, quasi-conformal conjugacies, Böttcher coordinates and holomorphic motions, we introduce complex box mappings as a natural extension of polynomial-like maps and discuss their rigidity under combinatorial equivalence. Focusing on non-renormalisable polynomials without neutral periodic points, we reproduce, clarify and check the Kozlovski–van Strien result that such polynomials admit approximating hyperbolic maps by constructing dynamically natural box mappings and applying topological and rigidity results. In conclusion, we outline how this framework, with a careful setting, promises to extend beyond the polynomial case to prove density of hyperbolicity in broader families such as Newton and McMullen maps, thereby sketching a clear path for future advances in complex dynamics
Density of hyperbolicity in families of complex rational maps
No full textTreballs finals del Màster en Matemàtica Avançada, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona: Any: 2025. Director: Kostiantyn DrachIn this work, we address the fundamental open problem of whether hyperbolic rational maps, the ones for which every critical point lies in the basin of an attracting cycle, are dense in the space of rational maps of the same degree. By this, we mean if any such map can be uniformly approximated on compact sets by hyperbolic ones. Conjecturally, the answer is ’yes’, and this is known as the Density of Hyperbolicity Conjecture. After reviewing key tools from complex dynamics such as puzzle pieces constructions, quasi-conformal conjugacies, Böttcher coordinates and holomorphic motions, we introduce complex box mappings as a natural extension of polynomiallike maps and discuss their rigidity under combinatorial equivalence. Focusing on non-renormalisable polynomials without neutral periodic points, we reproduce, clarify and check the Kozlovski–van Strien result that such polynomials admit approximating hyperbolic maps by constructing dynamically natural box mappings and applying topological and rigidity results. In conclusion, we outline how this framework, with a careful setting, promises to extend beyond the polynomial case to prove density of
hyperbolicity in broader families such as Newton and McMullen maps, thereby sketching a clear path for future advances in complex dynamics
Dynamics in chaotic regions of area-preserving maps and the separatrix map
No full textTreballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2024, Director: Arturo Vieiro Yanes i Ainoa Murillo LópezTransversal homoclinic intersections lead to chaotic behaviours, and understanding them is the aim of our work. We will consider area and orientation preserving maps, such as the standard map, to study these intersections of the invariant manifolds of a saddle point and their splitting due to perturbation. S.Smale contributed to understanding transversal homoclinic intersections with the horseshoe map, which helps us describe the characteristics of the orbits when such intersections occur. The result is the presence of infinitely many periodic and non-periodic orbits, studied with the help of bi-infinite sequences.
To study the dynamics near the intersection of these invariant manifolds, we will consider the separatrix map and derive it for the Chirikov standard map.Les interseccions homoclíniques transversals impliquen comportaments caòtics, aprofundir en ells i entendre’ls és l’objectiu d’aquest treball. Consideram el cas d’aplicacions que preserven àrea i orientació, com és per exemple l’aplicació estàndard, per estudiar les interseccions entre les varietats invariants d’un punt de sella i la seva escissió a causa de pertorbacions. S. Smale va contribuir amb la comprensió de les interseccions homoclíniques
transversals amb l’aplicació coneguda com a "horseshoe", la qual ajuda a descriure característiques de les òrbites quan hi ha interseccions. El resultat és la presència d’infinites òrbites periòdiques i no periòdiques, analitzades amb l’ajuda de seqüències infinites de dos símbols.
Per estudiar les dinàmiques aprop de les interseccions d’aquestes varietats invariants, considerarem la funció separatriu i la derivarem pel cas de la funció estàndard de Chirikov
Dynamics in chaotic regions of area-preserving maps and the separatrix map
No full textTreballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2024, Director: Arturo Vieiro Yanes i Ainoa Murillo LópezTransversal homoclinic intersections lead to chaotic behaviours, and understanding them is the aim of our work. We will consider area and orientation preserving maps, such as the standard map, to study these intersections of the invariant manifolds of a saddle point and their splitting due to perturbation. S.Smale contributed to understanding transversal homoclinic intersections with the horseshoe map, which helps us describe the characteristics of the orbits when such intersections occur. The result is the presence of infinitely many periodic and non-periodic orbits, studied with the help of bi-infinite sequences.
To study the dynamics near the intersection of these invariant manifolds, we will consider the separatrix map and derive it for the Chirikov standard map.Les interseccions homoclíniques transversals impliquen comportaments caòtics, aprofundir en ells i entendre’ls és l’objectiu d’aquest treball. Consideram el cas d’aplicacions que preserven àrea i orientació, com és per exemple l’aplicació estàndard, per estudiar les interseccions entre les varietats invariants d’un punt de sella i la seva escissió a causa de pertorbacions. S. Smale va contribuir amb la comprensió de les interseccions homoclíniques
transversals amb l’aplicació coneguda com a "horseshoe", la qual ajuda a descriure característiques de les òrbites quan hi ha interseccions. El resultat és la presència d’infinites òrbites periòdiques i no periòdiques, analitzades amb l’ajuda de seqüències infinites de dos símbols.
Per estudiar les dinàmiques aprop de les interseccions d’aquestes varietats invariants, considerarem la funció separatriu i la derivarem pel cas de la funció estàndard de Chirikov
Density of hyperbolicity in families of complex rational maps
No full textTreballs finals del Màster en Matemàtica Avançada, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona: Any: 2025. Director: Kostiantyn DrachIn this work, we address the fundamental open problem of whether hyperbolic rational maps, the ones for which every critical point lies in the basin of an attracting cycle, are dense in the space of rational maps of the same degree. By this, we mean if any such map can be uniformly approximated on compact sets by hyperbolic ones. Conjecturally, the answer is ’yes’, and this is known as the Density of Hyperbolicity Conjecture. After reviewing key tools from complex dynamics such as puzzle pieces constructions, quasi-conformal conjugacies, Böttcher coordinates and holomorphic motions, we introduce complex box mappings as a natural extension of polynomiallike maps and discuss their rigidity under combinatorial equivalence. Focusing on non-renormalisable polynomials without neutral periodic points, we reproduce, clarify and check the Kozlovski–van Strien result that such polynomials admit approximating hyperbolic maps by constructing dynamically natural box mappings and applying topological and rigidity results. In conclusion, we outline how this framework, with a careful setting, promises to extend beyond the polynomial case to prove density of
hyperbolicity in broader families such as Newton and McMullen maps, thereby sketching a clear path for future advances in complex dynamics
Art Nouveau in the city of Tortosa: one century of inaccuracies and wrong attributions
No full text[SPA] A pesar de no ser miembro de la Ruta Europea del Modernismo, la localidad tarraconense de Tortosa, capital del Baix Ebre, cuenta con
una notable muestra de obras modernistas por las que debería ser incluida en dicha institución. Pocas ciudades pueden presumir de haber
tenido arquitectos municipales de la talla de Gaietà Buigas, Pau Monguió, Víctor Beltrí o Francesc Mora, que con los años fueron los
principales artífices de la introducción del modernismo en lugares como Montevideo, Teruel, Cartagena o Valencia, y que también dejaron,
junto con otros profesionales que trabajaron en Tortosa, un legado digno de ser puesto en valor. No obstante se vienen arrastrando desde
hace más de cien años, numerosos errores e inexactitudes en cuanto a la autoría de muchas de estas obras. Unas veces porque otros
profesionales foráneos firmaban los planos de los verdaderos autores, bien por la prohibición existente de que los titulares municipales
pudiesen realizar obras de tipo particular, como ocurrió en el caso de August Font con Víctor Beltrí, Jaume Gustà con Joan Abril, o Pere
Casellas con Pau Monguió, o bien porque el verdadero autor no había podido terminar sus estudios, como en el caso de Francesc Escudé,
al que el maestro de obras Josep María Vaquer le firmaba los proyectos. Otras veces los errores proviene de la equivocada interpretación
de las firmas, como ocurre con el arquitecto Josep Plantada al que se confundió con el maestro de obras Josep Muntada. Y por último, porque
algunos personajes de pocos escrúpulos se dedicaron a auto alabarse, llegando incluso a atribuirse las obras de otros profesionales,
creando una gran confusión, que se ha ido arrastrando hasta nuestros días. En esta ponencia hemos tratado de aportar luz y aclarar estas
inexactitudes, además de poner en valor la desconocida obra del gran artista Francesc Escudé. Para ello, y partiendo de una lista inicial
de obras modernistas en la ciudad de Tortosa, hemos procedido a realizar una revisión exhaustiva de la bibliografía existente, así como a
consultar diversos trabajos de investigación, algunos de ellos todavía inéditos.
A continuación pasamos cotejar los planos originales en el Arxiu Comarcal del Baix Ebre y en Arxiu Històric del COAC, de forma que se
pudo comprobar el nombre de los arquitectos que los firmaban y la fecha exacta de los proyectos. Así mismo, se procedió a revisar de
forma sistemática las distintas publicaciones periódicas existentes en la época en la ciudad, y en las que a menudo se hacían comentarios
sobre los verdaderos autores de los proyectos. Tras este trabajo inicial, entre los tres autores se cotejaron las posibles analogías estilísticas
de los arquitectos que trabajaron en Tortosa, y a continuación se sacaron conclusiones
[ENG] Despite not being a member of the Art Nouveau European Route, the town of Tortosa, capital of Baix Ebre, has a remarkable example of
modernist works which should allow it to be included in this institution. Few cities can pride themselves on having municipal architects of the
level of Gaietà Buigas, Pau Monguió, Victor Beltrí or Francesc Mora, who, over the years, were the main accountable for the introduction of
modernism in places like Montevideo, Teruel, Cartagena or Valencia, and along with other professionals working in Tortosa, left legacy worthy
of being put in value. However, for over a hundred years, numerous mistakes and inaccuracies about the authorship of many of these works
have been made, persisting through time. These mistakes were caused, in some cases, because other foreign professionals signed the plans of
the real authors, in other cases due to an existing prohibition on the municipal architects carrying out particular works, as in the case of August
Font with Victor Beltrí, Jaume Gustà with Joan Abril, or Pere Casellas with Pau Monguió; or because the real author was not able to finish their
studies, as in the case of Francesc Escudé, whose projects were signed by the master builder Josep María Vaquer. Sometimes errors come from
the misinterpretation of signatures, as in the case of the architect Josep Plantada who got confused with the master builder Josep Muntada.
And finally, these mistakes were intentionally caused by some unscrupulous individuals were devoted to self-praise, even to the point to attribute
to themselves the works of other professionals, creating great confusion which has persisted until today. In this paper we will try to shed light
and clarify these inaccuracies, in addition to value the work of the great unknown artist Francesc Escudé
