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Poincaré-Bendixson theorems for meromorphic connections and holomorphic homogeneous vector fields
No full textWe first study the dynamics of the geodesic flow of a meromorphic connection on a Riemann surface, and prove a Poincaré– Bendixson theorem describing recurrence properties and ω-limit sets of geodesics for a meromorphic connection on P^1(C). We then show how to associate to a homogeneous vector field Q in C^n a rank 1 singular holomorphic foliation F of P^(n−1)(C) and a (partial) meromorphic connection ∇ along F so that integral curves of Q are described by the geodesic flow of ∇ along the leaves of F, which are Riemann surfaces. The combination of these results yields powerful tools for a detailed study of the dynamics of homogeneous vector fields. For instance, in dimension two we obtain a description of recurrence properties of integral curves of Q , and of the behavior of the geodesic flow in a neighborhood of a singularity, classifying the possible singularities both from a formal point of view and (for generic singularities) from a holomorphic point of view. We also get examples of unexpected new phenomena, we put in a coherent context scattered results previously known, and we obtain (as far as we know for the first time) a complete description of the dynamics in a full neighborhood of the origin for a substantial class of holomorphic maps tangent to the identity. Finally, as an example of application of our methods we study in detail the dynamics of quadratic homogeneous vector fields in C^2
A general approach to index theorems for holomorphic maps and foliations
No full textLet M be a smooth complex manifold, and S(subset of M) be a compact irreducible subvariety with dim(C) S > 0. Let be given either a holomorphic map f : M -> M with f(|S) = id(S), f not equal id(M), or a holomorphic foliation F on M: we describe an approach that can be applied to both map and foliation in order to obtain index theorems
Formal normal forms for holomorphic maps tangent to the identity
No full textWe describe a procedure for constructing formal normal forms of holomorphic maps with a hypersurface of fixed points, and we apply it to obtain a complete list of formal normal forms for 2-dimensional holomorphic maps tangential to a curve of fixed points
Residual indices of holomorphic maps relative to singular curves of fixed points on surfaces
No full textLet M be a two-dimensional complex manifold and let be a holomorphic map that fixes pointwise a (possibly) singular compact reduced and globally irreducible curve . We give a notion of degeneracy of f at a point of C. It turns out that f is non-degenerate at one point if and only if it is non-degenerate at every point of C. When f is non-degenerate on C we define a residual index for f at each point of C. Then we prove that the sum of the indices is equal to the self-intersection number of C. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002
Dalla costruzione di un videogioco agli algoritmi decisionali di scelta
No full textL’articolo descrive l’attività svolta in una classe seconda di liceo scientifico durante le ore di didattica a distanza (DAD): nata come progetto conclusivo del percorso di informatica svolto durante il biennio, l’attività ha favorito la riflessione su numerosi argomenti di matematica e sulle strategie del pensiero. Seguendo, in particolare, le indicazioni di Bright et al. (1985), la proposta didattica si basa su un gioco, che svolge il ruolo di strumento didattico per coinvolgere attivamente e appassionare i ragazzi.
Il gioco utilizzato, Mastermind, si presta a essere progettato e programmato in linguaggi informatici; esso consente di introdurre elementi di insiemistica, logica e combinatoria e ne favorisce la sperimentazione. La ricerca delle strategie vincenti permette di parlare di algoritmi di scelta decisionali. Il gioco coinvolge due giocatori: uno dei due giocatori sceglie un codice formato da una sequenza di quattro colori scelti da un insieme di sei. Il secondo giocatore ha l’obiettivo di indovinare il codice in un numero limitato di mosse; per ciascun tentativo riceve una risposta che lo aiuta.
L’attività didattica è stata finalizzata alla progettazione e all’implementazione in Python di un videogioco basato sulle regole di Mastermind. Sono state considerate due versioni del videogioco: la prima è quella in cui il codice segreto è scelto dal pc, mentre la seconda prevede che sia il pc ad indovinare il codice segreto scelto dal giocatore. Questa ultima versione è molto più interessante dal punto di vista algoritmico e didattico; inoltre, a differenza della prima, non è così diffusa sulla rete. Tale versione viene indicata con il nome reverse, perché in essa i ruoli sono invertiti.
Il laboratorio proposto prevede una prima fase di gioco online, che favorisce la riflessione sulle strategie di gioco: si evidenziano le competenze di matematica necessarie, si esplicita una descrizione delle strategie di risposta utilizzate inizialmente in modo intuitivo e si analizzano le procedure che determinano la scelta dei tentativi. Questa fase è fondamentale per la comprensione dell’algoritmo risolutivo della versione reverse. Viene infine presentato, discusso e implementato l’algoritmo di scelta minimax proposto una decina di anni or sono da Knuth.
In classe, gli studenti hanno prima progettato il videogioco in cui il codice è scelto dal pc; la codifica in Python ha fornito spunti per introdurre molti elementi di informatica e rafforzare concetti di matematica. Poi, in un secondo momento è stata implementata la versione reverse.
La possibilità di lavorare ciascuno dal proprio pc ha favorito la riuscita del progetto in regime DAD, più che se si fosse svolto in presenza; seppur da remoto, non è mancata l’interazione tra studenti e la produzione del progetto è stata organizzata in gruppi di lavoro
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