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Tides and dumbbell dynamics
Full text linkWe discuss a model describing the effects of tidal dissipation on satellite's
orbits. Tidal bulges are described in terms of a dumbbell, coupled to the
rotation by a dissipative interaction. The assumptions on this dissipative
coupling turns out to be crucial in the evolution of the system.Comment: 2 figure
La terza proposizione della misura del cerchio di Archimede: una nuova lettura
No full textNella proposizione 3 della Misura del cerchio, Archimede mostra che: La circonferenza di ogni cerchio è tripla del diametro e lo supera
ancora di meno di un settimo del diametro, e di più di dieci settantunesimi.
In questo lavoro vogliamo porre l’accento su due aspetti della prova di Archimede, che a nostra conoscenza sono commentati in letteratura solo parzialmente. Il primo aspetto riguarda le approssimazioni razionali utilizzate all’inizio della procedura di calcolo. Per giungere alle sue approssimazioni sulla misura del cerchio Archimede utilizza infatti poligoni regolari, circoscritti ed inscritti alla circonferenza, di 96 lati, partendo da un esagono e raddoppiando di volta in volta il numero dei lati . All’inizio di questa procedura è necessario fornire delle approssimazioni per eccesso e per difetto di √3, ossia del rapporto tra l’altezza del triangolo equilatero e la metà del lato, rapporto (λoγoς) che ovviamente era ben noto essere irrazionale (αλoγoς) e quindi scrivibile solo in modo approssimato attraverso una frazione. I valori utilizzati da Archimede per √3 in termini moderni vengono chiamati migliori approssimanti , possono essere ottenuti dalla teoria delle frazioni continue, che è equivalente al noto algoritmo euclideo.
Ipotizziamo dunque in questo lavoro che, in un linguaggio diverso dal nostro, la teoria delle frazioni continue fosse nota ai greci, che la
utilizzavano come strumento di calcolo, controllando anche il segno dell’errore di approssimazione. Il secondo aspetto riguarda le stime successive utilizzate da Archimede che, nella sezione dedicata al poligono inscritto, sembrano non giustificate e soprattutto non ottimali. Knorr in nota che le scelte di Archimede sono “lungimiranti” ma non fornisce una spiegazione esauriente in proposito. Nel processo iterativo utilizzato dal Siracusano, ogni scelta dei valori frazionari utilizzati per le approssimazioni delle radici quadrate rende il passo successivo tale da fornire frazioni con numeratori e denominatori molto piccoli rispetto a quelli che si otterrebbero con le stime ottimali. Termini più piccoli nella frazione corrispondono a procedure di calcolo con riga e compasso molto più semplici. Secondo la nostra ipotesi, dunque, questa scelta di approssimazioni sub-ottime non è casuale, ma è il frutto di un preciso procedimento logico che abbiamo cercato di ricostruire in linguaggio moderno in termini di un algoritmo
Shaken Dynamics: An Easy Way to Parallel Markov Chain Monte Carlo
Full text linkWe define a class of Markovian parallel dynamics for spin systems on arbitrary graphs with nearest neighbor interaction described by a Hamiltonian function H(σ). These dynamics turn out to be reversible and their stationary measure is explicitly determined. Convergence to equilibrium and relation of the stationary measure to the usual Gibbs measure are discussed when the dynamics is defined on Z2. Further it is shown how these dynamics can be used to define natively parallel algorithms to face problems in the context of combinatorial optimization
Shaken Dynamics on the 3-D Cubic Lattice
Full text linkOn the space of spin configurations on the 3-square lattice, we
consider the \emph{shaken dynamics}, a parallel Markovian dynamics that can be
interpreted in terms of Probabilistic Cellular Automata. The transition
probabilities are defined in terms of pair ferromagnetic Ising-type
Hamiltonians with nearest neighbor interaction , depending on an additional
parameter , measuring the tendency of the system to remain locally in the
same state. Odd times and even times have different transition probabilities.
We compute the stationary measure of the shaken dynamics and we investigate its
relation with the Gibbs measure for the 3 Ising model. It turns out that the
two parameters and tune the geometry of the underlying lattice. We
conjecture the existence of unique line of critical points in plane. By a
judicious use of perturbative methods we delimit the region where such curve
must lie and we perform numerical simulation to determine it. Our method allows
us to find in a unified way the critical values of for Ising model with
first neighbors interaction, defined on a whole class of lattices, intermediate
between the two-dimensional hexagonal and the three-dimensional cubic one, such
as, for example, the tetrahedral lattice. Finally we estimate the critical
exponents of the magnetic susceptibility and show that our model captures a
dimensional transition in the geometry of the system at
Gaussian Mean Field Lattice Gas
No full textWe study rigorously a lattice gas version of the Sherrington-Kirckpatrick spin glass model. In discrete optimization literature this problem is known as unconstrained binary quadratic programming and it belongs to the class NP-hard. We prove that the fluctuations of the ground state energy tend to vanish in the thermodynamic limit, and we give a lower bound of such ground state energy. Then we present a heuristic algorithm, based on a probabilistic cellular automaton, which seems to be able to find configurations with energy very close to the minimum, even for quite large instances
Probabilistic Cellular Automata for Low-Temperature 2-d Ising Model
No full textWe construct a parallel stochastic dynamics with invariant measure converging to the Gibbs measure of the 2-d low-temperature Ising model. The proof of such convergence requires a polymer expansion based on suitably defined Peierls-type contours
Effects of Boundary Conditions on Irreversible Dynamics
Full text linkWe present a simple one-dimensional Ising-type spin system on which we define a completely asymmetric Markovian single spin-flip dynamics. We study the system at a very low, yet nonzero, temperature, and we show that for free boundary conditions the Gibbs measure is stationary for such dynamics, while introducing in a single site a + condition the stationary measure changes drastically, with macroscopical effects. We achieve this result defining an absolutely convergent series expansion of the stationary measure around the zero temperature system. Interesting combinatorial identities are involved in the proofs
Criticality of Measures on 2-d Ising Configurations: From Square to Hexagonal Graphs
No full textOn the space of Ising configurations on the 2-d square lattice, we consider a family of non Gibbsian measures introduced by using a pair Hamiltonian, depending on an additional inertial parameter q. These measures are related to the usual Gibbs measure on Z2 and turn out to be the marginal of the Gibbs measure of a suitable Ising model on the hexagonal lattice. The inertial parameter q tunes the geometry of the system. The critical behaviour and the decay of correlation functions of these measures are studied thanks to relation with the Random Cluster model. This measure turns out to be interesting also because it is the stationary measure of a class of Probabilistic Cellular Automata (PCA). Such PCA can be used to obtain a fast sample of the Ising measures on 2-d lattices
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