The topic of the paper is the investigation of the homology groups of the (2n+1)-dimensional CW-complex CΩn. The spaces CΩn consist of complex-valued functions and are the analogue of the spaces Ωn, widely known in the approximation theory. The spaces CΩn have been introduced in 2015 by A.M. Pasko who has built the CW-structure of the spaces CΩn and using this CW-structure established that the spaces CΩn are simply connected. Note that the mentioned CW-structure of the spaces CΩn is the analogue of the CW-structure of the spaces Ωn constructed by V.I. Ruban. Further A.M. Pasko found the homology groups of the space CΩn in the dimensionalities 0,1,…,n,2n−1,2n,2n+1. The goal of the present paper is to find the homology group Hn+1(CΩn). It is proved that Hn+1(CΩn)=Z2n+1 if n is odd and Hn+1(CΩn)=Z2n+2 if n is even
In the present paper the spaces $\Omega_n(m)areconsidered.ThespacesΩn(m),introducedin2018byA.M.PaskoandY.O.Orekhova,arethegeneralizationofthespacesΩn(thespaceΩn(2)coincideswithΩn).TheinvestigationofhomotopypropertiesofthespacesΩnhasbeenstartedbyV.I.Rubanin1985andfollowedbyV.A.Koshcheev,A.M.Pasko.InparticularV.A.KoshcheevhasprovedthatthespacesΩnaresimplyconnected.WegeneralizedthisresultprovingthatallthespacesΩn(m)aresimplyconnected.InordertoprovethesimplyconnectednessofthespaceΩn(m)weconsiderthe1−skeletonofthisspace. Using1−cellsweformtheclosedwaysthatcreatethefundamentalgroupofthespaceΩn(m).Using2−cellsweshowthatalltheseclosedwaysareequivalenttothetrivialway.SothefundamentalgroupofthespaceΩn(m)istrivialandthespaceΩn(m)issimplyconnected.УданійстаттірозглядаютьсятопологічніпросториΩn(m).Ціпросторибуловведено2018рокувроботіА.М.ПаськатаЄ.О.ОрєховоїтаєоднимізузагальненьпросторівΩn(простірΩn(2)збігаєтьсязΩn).ДослідженнягомотопічнихінваріантівпросторуΩnбулорозпочато1985рокуВ.І.РубаномтапродовженоВ.А.Кощєєвим,А.М.Паськом.Зокрема,В.А.Кощєєвдовіводнозв′язністьпросторівΩn.ВційроботімиузагальнюєморезультатВ.А.Кощєєва,довівши,щопросториΩn(m)−однозв′язні.Щобдовестице,мирозглядаємоодновимірнийкістякпросторуΩn(m).Використовуючиодновимірніклітинивцьомукістякубудуємозамкненішляхи,якіутворюютьфундаментальнугрупупросторуΩn(m).Відтак,використовуючидвовимірніклітини,доводимо,щоцішляхигомотопнітривіальномушляху.Цеозначає,щофундаментальнагрупапросторуΩn(m)$ тривіальна, а сам простір - однозв'язний
The paper continues the investigation of the spaces of complex-valued perfect splines Ωn(m). These spaces were introduced as generalization of the spaces Ωn, the topology of which has been studied by V.I. Ruban, V.A. Koshcheev, A.M. Pasko. In our previous papers the homology groups of the spaces Ωn(m) have been found and their simply connectedness was established. The topic of the paper is finding of the homology groups of the Cartesian product Ωn1(m1)×Ωn2(m2). In order to find the homology groups of this Cartesian product the Kunneth theorem has been used. Using the Kunneth theorem and the fact that Tor(A,B)=0 if at least one of the group A,B is free we presented the homology group of the Cartesian product Ωn1(m1)×Ωn2(m2) as the sum of the tensor products of the homology groups of this spaces. Calculating the tensor products we found the homology groups of Ωn1(m1)×Ωn2(m2)
In the paper the homology groups of the (2n+1)-dimensional CW-complex CΩn are investigated. The spaces CΩn consist of complex-valued functions and generalize the widely known in the approximation theory spaces Ωn. The research of the homotopy properties of the spaces Ωn has been started by V.I. Ruban who in 1985 found the n-dimensional homology group of the space Ωn and in 1999 found all the cohomology groups of this space. The spaces CΩn have been introduced by A.M. Pasko who in 2015 has built the structure of CW-complex on these spaces. This CW-structure is analogue of the CW-structure of the space Ωn introduced by V.I. Ruban. In present paper in order to investigate the homology groups of the spaces CΩn we calculate the relative homology groups Hk(CΩn,CΩn−1), it turned out that the groups Hk(CΩn,CΩn−1) are trivial if 1≤k<n and Hk(CΩn,CΩn−1)=ZCn+1k−n if n≤k≤2n+1, in particular Hn(CΩn,CΩn−1)=Z. Further we consider the exact homology sequence of the pair (CΩn+1,CΩn) and prove that its inclusion operator i∗:Hk(CΩn)→Hk(CΩn+1) is zero. Taking into account that the relative homology groups Hk(CΩn+1,CΩn) are zero if 1≤k≤n and the inclusion operator i∗=0 we have derived from the exact homology sequence of the pair (CΩn+1,CΩn) that the homology groups Hk(CΩn),1≤k<n, are trivial. The similar considerations made it possible to calculate the group Hn(CΩn). So the homology groups Hk(CΩn),n≥2,k=1,...,n, have been found
CUR; Proefproject: Open colloidaal beton a/s dijkbekleding; PT civiele techniek, april 1990. Burger, A.M., Eversdijk, P.J. en Hendriksma, A.M.; Open cementbeton toegepast a/s bekleding voor dijken; Zeewering Breskens, proefproject voor colloidaal beton; Land + Water, mei 1990. Burger, A.M., Eversdijk, P.J. en Hendriksma, A.M.; Colloidaal beton weerstaat zware storm en hoge golven; De praktijk van open cementbeton a/s Plaatbekleding; Land + Water, juni 1990. CUR; Cementbetonnen plaatbekledingen op dijken; Proefprojecten CUR; Civiele Techniek, No4, 1990. Vrieze, C.G. de; Betonnen dijken, groen a/s gras; Proeven met colloidaal beton voor begroeide rivierdijken; Land + Water No.6, juni 1991. Eversdijk, P.J. en Fase, A.G.; Breuksteen met colloidaal beton pakt rivierdijken goed in; Proefproject Opijnen in Julianakanaal; Land + Water No. 7/8, augustus 1991. Rijke, W.G. de en Burger, A.M.; Cementbetonnen plaatbekledingen op dijken en oevers; Praktische ontwerpmethode (1); Civiele Techniek, jaargang 46, No.3, 1991. Rijke, W.G. de en Burger, A.M.; Cementbetonnen plaatbekledingen op dijken en oevers theoretisch waterdicht; Praktische ontwerpmethode (2); Civiele Techniek, jaargang 46, No.4, 1991. CUR; oemonstratieproject open colloidaal beton Noordoostpolder; Civiele Techniek, No.3, 1991
The space $\mathbb{C}\Omega_3isconsidered.TheBettinumbersofthespaceCΩ3arecalculated.ЗапропонованупрацюприсвяченовивченнютопологічногопросторуCΩ3.ПросториCΩnєаналогомпросторівузагальненихдосконалихсплайнівΩnдлявипадкукомплекснозначнихфункцій.КоженсплайнпросторуCΩnзадаєтьсясистемоювузліввідрізка[0,1]тасистемоючиселодиничногоколакомплексноїплощини,яківизначаютьзначеннясплайнанапроміжкахміжвузлами.ЦимкомплекснозначнісплайнипросторуCΩnвідрізняютьсявідузагальненихдосконалихсплайнівпросторуΩn,значеннякотрихнапроміжкахміжвузламизадаютьсядійснимичисламимножини{±1}.ЯкідляпросторуΩn,топологіяпросторуCΩnнаслідуваназпросторусумовнихфункційL1,вцьомувипадкукомплекснозначних.СистематичнедослідженнягомотопічнихінваріантівпросторуΩnбулозапочаткованеВ.І.Рубаном,якийпобудувавклітиннуструктуруцьогопростору,ізїїдопомогою1985рокузнайшовгрупиn−вимірнихгомологійпросторуΩn,а1999рокуповністюрозв′язавзадачувідшуканнягрупйогокогомологій.ВподальшомугомотопічніінваріантипросторуΩnвивчалисяВ.А.Кощеевим,якийвстановиводнозв′язністьΩn,таА.М.Паськом,якийзнайшовгомотопічнігрупицихпросторівувимірностяхвід2доn.ТопологічніпросториCΩnбуловведеновроботі2015рокуА.М.Паськом,вякійавторпобудувавнаCΩnструктуруклітинногопростору,аналогічнувведенійВ.І.РубаномклітиннійструктуріпроторуΩn,ізїїдопомогоюдовіводнозв′язністьпросторівCΩnдлявсіхn≥2.Уроботі2016рокуА.М.ПаськознайшовгомологіїпросторуCΩnувимірностях0,1,2,2n−1,2n,2n+1(клітиннийпростірCΩnмаєвимірність2n+1),тавстановиврівністьнулюейлеровоїхарактеристикипросторуCΩnдлявсіхn≥1.УзапропонованійстаттідосліджуютьсячислаБетті(рангигомологічнихгруп)просторуCΩ3.Використовуючиобчисленийупраці[3]явнийвиглядоператорамежі,вроботізнайденобезпосередньогрупи3−вимірнихциклівтагрупи3−вимірнихмежпросторуCΩ3,щодозволилознайти3−вимірнугрупугомологійцьогопростору.Враховучивідоміз[4]групигомологійпросторуCΩ3увимірностях0,1,2,5,6,7,знайдоночислаБеттіпросторуCΩ3увсіхвимірностях,крімвимірності4.ЧислоБеттіувимірності4знаходимошляхомпідрахункуейлеровоїхарактеристики.Такимчином,устаттізнайденовсічислаБеттіпросторуCΩ3$
The pointwise estimation of the one-sided approximation of the class $\breve{W}_\infty^r,\; 01встановилиасимптотичноточнуоцінкунайкращихнаближеньалгебраїчнимиполіномамикласівW∞rзурахуваннямположенняточкинавідрізку.Прицьому,якголовний,такізалишковийчленуцихоцінкахзалежатьвідрозташуванняточкинавідрізку.В.П.Моторнийпоширивцірезультатинавипадокнецілогоr,встановившиасимптотичноточнуоцінкунайкращихнаближеньалгебраїчнимиполіномамикласівW∞rпринеціломуr>0зурахуваннямположенняточкинавідрізку.Вінжеу2001р.знайшовоцінкинайкращихнаближенькласівсингулярнихінтегралівW^∞r,W˘∞r,r>0,алгебраїчнимиполіномамизурахуваннямположенняточкинавідрізку,знепокращуваноюконстантоювголовномучленіувипадкуцілогоr,атакож−асимптотичноточніоцінкинайкращихнаближенькласівсингулярнихінтегралівWˉ∞r,r∈N,алгебраїчнимиполіномамизурахуваннямположенняточкинавідрізку.А.М.Паськом,О.О.Колесником2013р.одержанооцінкунайкращихпоточково−односторонніхнаближеньнавідрізкуалгебраїчнимимногочленамифункційкласуW˘∞r,r≥1.Однак,випадок,коли0<r<1,залишавсянедослідженим.Результатиданоїстаттізаповнюютьцюпрогалину−встановленооцінкунайкращихпоточково−односторонніхнаближеньнавідрізкуалгебраїчнимимногочленамикласівW˘∞rпри0<r<1$
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
