172 research outputs found
Scaling laws associated with a symmetry-break in the energy distribution in a set of dynamical systems: application to discrete mappings
No full textNesta dissertação, investigamos propriedades estatísticas de alguns sistemas dinâmicos descritos por mapeamentos discretos nas proximidades de duas transições: (i) integrabilidade para não integrabilidade e; (ii) crescimento limitado de energia para crescimento ilimitado de energia (aceleração de Fermi). O foco principal está na descrição do comportamento da distribuição de probabilidade da velocidade/energia das partículas em dinâmica caótica. A quebra de simetria da distribuição de probabilidade leva a uma escala adicional àquelas já conhecidas na literatura e, com este estudo, acreditamos que a quebra de simetria também possa explicar um fenômeno que já vem sendo observado em mapeamentos discretos. Fenômeno este, até então descrito apenas fenomenologicamente, teve sua primeira observação na publicação seminal de investigação de leis de escala em mapeamentos discretos no periódico Phys. Rev. Let. 93, 014101 (2004), de Edson D. Leonel, Peter V. E. McClintock e Jafferson K. L. Silva. Nossa contribuição para o problema está no desenvolvimento de descrições analíticas e verificações numéricas, baseadas em um estudo sistemático do comportamento difusivo das trajetórias caóticas no espaço de fases dos sistemas dinâmicos de interesse.In this dissertation, we investigate statistical properties of some dynamical systems described by discrete mappings near two types of transitions: (i) integrability to non-integrability; (ii) limited to unlimited diffusion in energy (Fermi acceleration). The main goal is to describe the behaviour of the probability density of the velocity/energy for a set of particles moving in a chaotic dynamics. The break of symmetry in the probability distribution leads to an additional scaling to those are already known in the literature and, with this study, we believe that the symmetry break might also explain a well-known phenomenon observed for discrete mappings. This phenomenon, it has been reported so far phenomenologically. A first observation in an area-preserving mapping was in a letter published in Phys. Rev. Let. 93, 014101 (2004), authored by Edson D. Leonel, Peter V. E. McClintock and Jafferson K. L. Silva. Our contribution to the problem is on the development of an analytical approach and numerical verifications, based essentially on a systematic study of the diffusive behaviour of chaotic trajectories on the phase space of dynamical systems of interest.Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)FAPESP: 2014/27260-
Phase Transition in Dynamical Systems: Defining Classes of Universality for Two-Dimensional Hamiltonian Mappings via Critical Exponents
No full textA phase transition from integrability to nonintegrability in two-dimensional Hamiltonian mappings is described and characterized in terms of scaling arguments. The mappings considered produce a mixed structure in the phase space in the sense that, depending on the combination of the control parameters and initial conditions, KAM islands which are surrounded by chaotic seas that are limited by invariant tori are observed. Some dynamical properties for the largest component of the chaotic sea are obtained and described in terms of the control parameters. The average value and the deviation of the average value for chaotic components of a dynamical variable are described in terms of scaling laws, therefore critical exponents characterizing a scaling function that describes a phase transition are obtained and then classes of universality are characterized. The three models considered are: The Fermi-Ulam accelerator model, a periodically corrugate waveguide, and variant of the standard nontwist map. Copyright (C) 2009 Edson D. Leonel.Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Fundação para o Desenvolvimento da UNESP (FUNDUNESP)Univ Estadual Paulista, Dept Estatist Matemat Aplicada & Computacao, Inst Geociencias & Ciencias Exatas, BR-13506700 Rio Claro, SP, BrazilUniv Estadual Paulista, Dept Estatist Matemat Aplicada & Computacao, Inst Geociencias & Ciencias Exatas, BR-13506700 Rio Claro, SP, Brazi
Characterization of the boundaries of basins of attraction of Fermi-Ulam model
No full textEm muitos sistemas clássicos suas leis de formação geralmente resultam em trajetórias altamente determinísticas. Entretanto, mesmo modelos de construção simples, ao serem adicionadas pequenas perturbações nas condições iniciais acarretam diferenças significativas na órbita das partículas. Em outras palavras, mesmo duas partículas que iniciaram seu percurso muito próximas, em poucas iterações suas trajetórias apresentam diferenças de ordens de grandeza consideráveis. Uma maneira de se estudar estes sistemas é a partir de mapas discretos, uma formulação matemática que o estado subsequente depende do estado anterior. Neste trabalho, foi realizado um estudo sobre o modelo de Fermi-Ulam, um mapa discreto idealizado para descrever partículas da radiação cósmica. Especificamente, encontramos os atratores do sistema, pontos ou conjuntos de pontos os quais a dinâmica converge para eles. Dessa forma foram localizados o conjunto de pontos no espaço os quais, em tempo suficiente longo convergem para cada um dos atratores, as bacias de atração. Ao analisar a forma dessas estruturas, além de fronteira bem determinadas, assim como uma fronteira compartilhada por três bacias, conhecida como bacia de Wada.In many classical systems, their general formation laws often result in highly deterministic trajectories. However, even in simple constructed models, when small perturbations are introduced to the initial conditions, significant differences arise in the particle orbits. In other words, even two particles that initially started their course very close to each other exhibit differences of magnitude orders in their trajectories after a few iterations. One way to study these systems is through discrete maps, a mathematical formulation where the subsequent state depends on the previous state. In this work, a study was conducted on the Fermi-Ulam model, a discrete map designed to describe cosmic radiation particles. Specifically, we identified the system's attractors, which are points or sets of points to which the dynamics converge. Consequently, we located the set of points in space that, for long enough time, converge to each of these attractors, known as the basins of attraction. By analyzing the shape of these structures, we identified well-defined boundaries, as well as a boundary shared by three basins, known as the Wada basin.Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)FAPESP: 2023/02744-
Particle diffusion and phase transition
No full textEstudamos o comportamento do deslocamento médio para um conjunto de partículas movendo-se aleatoriamente ao longo de um eixo na ausência de forças externas. Cada partícula pode dar passos discretos e variáveis com amplitude no limite xϵ[-E, E]. As partículas não interagentes entre si e estão confinadas a se moverem entre xϵ[-L, L], com L >> E. Mostramos que o comportamento do deslocamento médio obedece uma função de escala com expoentes críticos bem determinados.We study the average displacement behavior for a set of particles moving randomly along an axis in the absence of external forces. Each particle can take discrete and variable steps with amplitude in the limit xϵ[-E, E]. The particles do not interact between with each other and are confined to move between xϵ[-L, L], with L >> E. We show that the behavior of the average displacement obeys a scaling function with well-determined critical exponents.Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)CNPq: 123035/2023-6
Understanding and describing a phase transition from limited to unlimited energy growth for a billiard system
No full textNeste trabalho estudamos diferentes aspectos das propriedades dinâmicas de um sistema bilhar ovóide. Apesar de ser um caso integrável para epsilon=0, para valores não nulos deste parâmetro observamos uma dinâmica mista no espaço de fases. A presença de caos, bem como a existência de órbitas heteroclínicas é, segundo a conjectura Loskutov-Ryabov-Akinshin (LRA), condição suficiente para observarmos aceleração de Fermi (crescimento ilimitado de energia) quando uma perturbação temporal na fronteira é introduzida. Este fenômeno, no entanto, não é robusto uma vez que a introdução de colisões inelásticas das partículas com a fronteira, bem como outras dissipações possíveis para o sistema, é suficiente para que o crescimento ilimitado de energia seja suprimido. A investigação e caracterização dessa específica transição de fase observada no bilhar dependente do tempo, de difusão limitada para ilimitada, conforme variamos um parâmetro de controle, é também objetivo deste projeto. É descrito na literatura que em uma transição de fase de segunda ordem, a variável dinâmica que descreve o parâmetro de ordem se aproxima a zero continuamente conforme nos aproximamos da transição, enquanto a susceptibilidade diverge. Além disso os observáveis que caracterizam a dinâmica são descritos por leis de potência, levando ao fenômeno de invariância de escala que é típico de transições de fase contínuas. Neste trabalho descreveremos propriedades do bilhar ovóide estático e dependente do tempo usando um conjunto de hipóteses de escala e uma função homogênea generalizada. A partir disso obtemos uma relação entre os expoentes críticos levando a leis de escala. A caracterização e definição destas classes de universalidade são essenciais para a descrição desse modelo uma vez que, apesar de muito se saber sobre os fenômenos de escala, o tipo de transição observada ainda é um caso a ser investigado, sendo os parâmetros de ordem, susceptibilidade e quebra de simetria do sistema ainda problemas em aberto.In this work we investigate different aspects of the dynamical properties of a oval billiard system. Despite being an integrable system for epsilon=0, for non-zero values of this parameter we observe a mixed dynamics in the phase space. The presence of caos, as well as the existence of heteroclinic orbits is, according to the Loskutov-Ryabov-Akinshin (LRA) conjecture, sufficient condition to the occurrence of Fermi acceleration (unlimited energy growth) when a time perturbation of the boundary is introduced. However, this phenomenon is not robust since the introduction of inelastic collisions with the boundary, such as others possible dissipations in the system, is enough to suppress the unlimited energy growth. The investigation and characterization of the specific observed phase transition in the time dependent billiard from limited to unlimited diffusion due to the variation of a control parameter is also a goal of this project. It is described in the literature that in a second-order phase transition, the dynamic variable describing the order parameter approaches zero continuously as we approach the transition, while the susceptibility diverges. Furthermore, the observables that characterize the dynamics are described by power laws, leading to the phenomenon of scale invariance that is typical of continuous phase transitions. In this thesis we will describe properties of ovoid static and time-dependent billiards using a set of scaling hypotheses and a generalized homogeneous function. From this we obtain a relationship between the critical exponents leading to scaling laws. The characterization and definition of these universality classes are essential for the description of this model since, although much is known about the scale phenomena, the type of transition is still under investigation, being the parameters of order, susceptibility and system symmetry breaking still open problems
Introduction to Billiard Dynamics
No full textWe discuss in this chapter the elementary concepts of billiards. In a billiard, a particle or in an equivalent way an ensemble of non-interacting particles move freely along a closed boundary to where they collide. The characterization of the time evolution of the particles is made by using a discrete mapping in the variables describing the position of the particle at the boundary given by the polar angle and the angle the trajectory the particle makes with the tangent line at the instant of the impact. We use three different types of boundary leading to different dynamics. One of them is the circular billiard, which is integrable. The other shape is the elliptical billiard, which is also integrable and finally an oval billiard, which shows mixed phase space being then non-integrable.Departmamento de Física Sao Paulo State UniversityDepartmamento de Física Sao Paulo State Universit
The Logistic-Like Map
No full textThis chapter is dedicated to discuss some dynamical properties of a generalized version of the logistic map called as logistic-like map. The fixed points and their stability are discussed as well as the convergence to the stationary state at and near at the bifurcations. We show the critical exponents defining the convergence to stationary state for the transcritical and supercritical pitchfork bifurcations are not universal and do depend on the nonlinearity of the mapping. On the other hand the critical exponents obtained for the period doubling bifurcations are universal and are independent on the nonlinearity of the map. We use both phenomenological approach with a set of scaling hypothesis and also an approximation transforming the equation of differences into a differential equation in which the solution gives analytically the critical exponents.Departmamento de Física Sao Paulo State UniversityDepartmamento de Física Sao Paulo State Universit
One-Dimensional Mappings
No full textThis chapter is dedicated to the concept of discrete mappings. We show that applications of the discrete mappings come from the idea of surface of section also called as Poincaré section. We briefly discuss how to obtain the fixed points and classify their stability particularly addressed to the logistic map.Departmamento de Física Sao Paulo State UniversityDepartmamento de Física Sao Paulo State Universit
A Fermi Accelerator Model
No full textIn the earlier chapter we discussed the concepts of two dimensional mappings. This chapter is dedicated to the investigation of the Fermi accelerator model, also called as Fermi-Ulam model, which is made via a two-dimensional mapping. We discuss how to construct the equations governing the dynamics of the model, the main properties of the phase space including an investigation of the fixed points stability and show that the chaotic sea admits a scaling invariance property.Departmamento de Física Sao Paulo State UniversityDepartmamento de Física Sao Paulo State Universit
Suppression of Fermi Acceleration in the Oval Billiard
No full textWe consider in this chapter the introduction of drag force in the oval billiard. As we have seen in Chap. 13 from the LRA conjecture, the chaotic dynamics in the static billiard is a sufficient condition to produce unlimited diffusion in the energy, i.e, Fermi acceleration, when a time perturbation to the boundary is introduced. We show in this chapter that the introduction of a drag force of the type F∝ - V, or F∝ ± V2 or F∝ - Vδ with δ≠ 1 and δ≠ 2 destroys the unlimited energy growth for an ensemble of particles. This result is a clear indication that Fermi acceleration is not a robust phenomena.Departmamento de Física Sao Paulo State UniversityDepartmamento de Física Sao Paulo State Universit
- …
