1,720,957 research outputs found
3nj-symbols and identities for q-Bessel functions
No full textThe 6j-symbols for representations of the q-deformed algebra of polynomials on SU(2) are given by Jackson’s third q-Bessel functions. This interpretation leads to several summation identities for the q-Bessel functions. Multivariate q-Bessel functions are defined, which are shown to be limit cases of multivariate Askey–Wilson polynomials. The multivariate q-Bessel functions occur as 3nj-symbols.Analysi
Orthogonal Stochastic Duality Functions from Lie Algebra Representations
No full textWe obtain stochastic duality functions for specific Markov processes using representation theory of Lie algebras. The duality functions come from the kernel of a unitary intertwiner between ∗-representations, which provides (generalized) orthogonality relations for the duality functions. In particular, we consider representations of the Heisenberg algebra and su(1,1). Both cases lead to orthogonal (self-)duality functions in terms of hypergeometric functions for specific interacting particle processes and interacting diffusion processes.Analysi
De Hankeltransformatie via de Cherednik algebra: The Hankel transform via the Cherednik algebra
No full textIn deze Bachelorscriptie bestuderen we een integraaltransformatie welke een generalisatie is van de Fouriertransformatie, deze integraaltransformatie wordt de Hankeltransformatie genoemd. Allereerst bestuderen we de symmetrische variant waarna we overstappen op de niet-symmetrische Hankeltransformatie. We gaan de niet-symmetrische Hankeltransformatie beschrijven aan de hand van een algebra met behulp van representatietheorie wat ons in staat stelt om een Hankeltransformatie te definiëren op een eindig-dimensionale ruimte.Electrical Engineering, Mathematics and Computer ScienceDelft Institute of Applied Mathematic
The Ruijsenaars Function Transform
No full textAnalysisApplied mathematicsElectrical Engineering, Mathematics and Computer Scienc
Tensor product representations and special functions
No full textElectrical Engineering, Mathematics and Computer Scienc
Jacobi polynomen en representaties van SU(2)
No full textIn deze scriptie beginnen we met het opbouwen van wat algemene Lie-theorie. Om dat te doen leggen we eerst uit wat variëteiten zijn. Ook zullen we enkele eigenschappen van matrix Lie groepen en Lie algebra's bestuderen. Daarna definiëren we Jacobi polynomen door middel van hypergeometrische reeksen. Ook zullen we een aantal eigenschappen van Jacobi polynomen, op een analytische manier, afleiden. In hoofdstuk 4 introduceren we representatietheorie. We zullen laten zien hoe Jacobi polynomen terug zijn te vinden in de representaties van SU(2). Ook bekijken we wat het verband is tussen SU(2) en Schurs orthogonaliteitsrelaties. Vervolgens bekijken we hoe representatietheorie van SU(2) binnen de Lie-theorie past en zullen daarmee enkele eigenschappen voor Jacobi polynomen afleiden.Industrial and Applied MathematicsApplied mathematicsElectrical Engineering, Mathematics and Computer Scienc
Bolfuncties in Rn: Spherical harmonics in Rn
No full textIn de wiskunde hebben we bij het modelleren van fysische problemen vaak te maken met randwaardeproblemen. Voor een randwaardeprobleem met een cirkel als rand en een L2- functie als randvoorwaarde, kan deze randvoorwaarde beschreven worden door een Fourierreeks. Hierdoor kan zo'n randwaardeprobleem makkelijker opgelost worden. In dit werk wordt het uitdrukken van functies in Fourierreeksen in R2 uitgebreid naar Rn door bolfuncties in Rn te gebruiken. Eerst wordt er een introductie gegeven in bolfuncties in R2 en er wordt een aantal nuttige eigenschappen van deze functies besproken. Vervolgens worden enkele handigheden voor het werken in Rn genoemd en komen de kwadratisch integreerbare functies aan bod. Tot slot zien we dat de eigenschappen van de bolfuncties in R2 nog steeds gelden in Rn en dat elke kwadratisch integreerbare functie op de eenheidssfeer te schrijven is als lineaire combinatie van bolfuncties.Electrical Engineering, Mathematics and Computer ScienceDelft Institute of Applied Mathematic
Orthogonal functions related to Lax pairs in Lie algebras
No full textWe study a Lax pair in a 2-parameter Lie algebra in various representations. The overlap coefficients of the eigenfunctions of L and the standard basis are given in terms of orthogonal polynomials and orthogonal functions. Eigenfunctions for the operator L for a Lax pair for sl(d+ 1 , C) is studied in certain representations.</p
Fourier analysis on finite groups and the irreducible representations of the symmetric group
No full textIn this paper we will naturally extend the concept of Fourier analysis to functions on arbitrary groups. We will generalise the idea of a convolution and try to find a formula for Fourier coefficients in such way that the coefficients of the convolution can easily be calculated. In the first section we will start off in familiar territory as we work our way through the Abelian groups. On the cyclic groups the comparison with the torus and the Fourier series is easily made and this enables us to easily copy the functions from the Fourier series and use them on our group. We then expand this idea by comparing the other groups to Fourier series on multiple variables. Here we can again copy the functions over and after some calculations we end up with our desired theorems. Then we will continue working on groups in general but sadly for the non-Abelian groups the idea of comparing it to the Fourier series does not work. To remedy this problem we will introduce representations, homomorphisms between the group and invertible matrices. After introducing the concept of a representation we will show some remarkable theorems from Representation theory, such as Maschke’s theorem and Schur’s lemma. With the help of these theorems we can find the irreducible representations, whose matrix entries from an orthogonal basis. These representations are what we will use to transform the convolution into matrix multiplication. In the last chapter we will go into more specifics on the representations of the symmetric group. The representations on this group can be found with the help of the Young tableaux. Among these tableaux we will find the Specht Modules, on which the group action of Sn action will give rise to the irreducible representations. To conclude we will show how to turn these irreducible representations of the symmetric group into matrices.Applied Mathematic
A Combinatorial Proof of Wigner’s Semicircle Law
No full textA combinatorial proof of Wigner’s Semicircle Law for the Gaussian Unitary Ensemble (GUE) is presented in this report. The distribution of eigenvalues of different samples of general Wigner matrices is shown to converge to the semicircle distribution, with the aid of histograms created in Python. The type of convergence that is shown is that of the averaged moments of the eigenvaluedistribution of sample GUE matrices to the moments of the semicircle distribution, as the size of the matrices grow large. This is done by using a method known as the ‘method of moments’. The concepts of random matrices, Catalan numbers, mixed moments of standard Gaussian random variables, (non-crossing) pairings, Wick’s formula and permutation cycles are introduced in this method. The aim of this report is to provide a detailed proof of Wigner’s Semicircle Law in expectation, understandable for bachelor level mathematics students.Applied Mathematic
- …
