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DERIVING A NEW DOMAIN DECOMPOSITION METHOD FOR THE STOKES EQUATIONS USING THE SMITH FACTORIZATION
No full textIn this paper the Smith factorization is used systematically to derive a new domain decomposition method for the Stokes problem. In two dimensions the key idea is the transformation of the Stokes problem into a scalar bi-harmonic problem. We show, how a proposed domain decomposition method for the bi-harmonic problem leads to a domain decomposition method for the Stokes equations which inherits the convergence behavior of the scalar problem. Thus, it is sufficient to study the convergence of the scalar algorithm. The same procedure can also be applied to the three-dimensional Stokes problem. As transmission conditions for the resulting domain decomposition method of the Stokes problem we obtain natural boundary conditions. Therefore it can be implemented easily. A Fourier analysis and some numerical experiments show very fast convergence of the proposed algorithm. Our algorithm shows a more robust behavior than Neumann-Neumann or FETI type methods
Numerical solution for a portable medical scanner
No full textLes déchirures de la coiffe des rotateurs (RCTs) représentent l'une des blessures les plus fréquentes de l'épaule et évoluent souvent vers des conditions plus graves au fil du temps. Bien que l'IRM soit la modalité d'imagerie standard pour détecter les RCTs, son utilisation est limitée aux centres d'imagerie et elle n'est pas toujours précise pour représenter la présence et l'étendue des déchirures. Un outil de diagnostic portable, non invasif et rentable pour le diagnostic sur site des RCTs est en demande. Cette thèse présente les contributions apportées au développement d'un modèle numérique pour ce scanner médical, qui repose sur la résolution répétée du problème Maxwell. La discrétisation par éléments finis de ce problème aboutit à un système linéaire de grande taille et mal conditionné, difficile à résoudre. Notre première contribution est le développement d'un préconditionneur de type Schwarz basé sur le PML qui améliore l'efficacité de la résolution de ce problème, en termes de taux de convergence et de temps de calcul. Ensuite, nous utilisons une modélisation numérique de pointe pour introduire un système d'imagerie portable pour la reconstruction tridimensionnelle de l'épaule. Cette tâche est difficile en raison de la grande taille électrique de l'épaule, de son anatomie complexe et de la nature hétérogène des tissus, caractérisée par des pertes élevées. L'étude de faisabilité montre des résultats prometteurs dans la détection des RCTs. Cependant, cette méthode peut être limitée par de forts niveaux de bruit ou les habitudes corporelles du patient. Pour remédier à cela, nous générons un grand ensemble de données, en utilisant une version optimisée du système d'imagerie et nous employons un algorithme d'apprentissage automatique pour la détection automatique et en temps réel des RCTs.Rotator cuff tears (RCTs) represent one of the most frequent shoulder injuries and often progress to more severe conditions over time. Although MRI is the standard imaging modality for detecting RCTs, it is limited to use in imaging centers, and it is not always accurate in depicting the presence and extent of the tears. A portable, non-invasive, and cost-effective diagnostic tool for on-site diagnosis of RCTs is in demand. This thesis presents the contributions made to the development of a numerical model for this medical scanner which relies on repeated solves of Maxwell's equations. The finite element discretization of this problem results in a large-scale, ill-conditioned linear system that is challenging to solve. Our first contribution is the development of a PML-based Schwarz-type preconditioner that improves the efficiency of the solution method, in terms of convergence rate and computing time. Next, we utilize state-of-the-art numerical modeling to design a wearable imaging system for three-dimensional image reconstruction of the shoulder. This task is challenging due to the electrically large size of the shoulder, its complex anatomy, and the heterogeneous nature of the tissues, which are characterized by high losses. The feasibility study shows promising results in the detection of RCTs. However, this method can be limited by high noise levels or the patient's body habits. To address this, we generate a large dataset, using an optimized version of the numerical imaging system and employ a machine learning algorithm, for automatic and real-time detection of RCTs
Domain decomposition and multi-scale numerical methods for the modelling of urban floods
No full textLes travaux de cette thèse sont consacrés à la simulation et à l'analyse numérique des problèmes d'inondations urbaines. Les inondations urbaines provoquées par des précipitations exceptionnelles sont particulièrement dévastatrices en termes de dégâts économiques et humains. La modélisation numérique peut être utilisée pour prédire, anticiper et contrôler de tels événements. Du point de vue numérique, le défi majeur réside dans le grand contraste entre la taille typique du domaine de simulation (10-100km) et la taille des caractéristiques structurelles pertinentes, qui doivent être représentées à des échelles métriques ou infra-métriques. Cette thèse aborde le caractère multi-échelle des inondations urbaines en mobilisant la décomposition de domaine (DD) et les méthodes numériques multi-échelles (Ms). La première partie de la thèse se concentre sur un problème de diffusion linéaire posé dans des domaines contenant un grand nombre de perforations polygonales représentant des structures réalistes dans les zones urbaines. Nous proposons un espace d'approximation grossier de faible dimension basé sur un partitionnement polygonal grossier du domaine. Comme dans la méthode d'éléments finis multi-échelles, cet espace est constitué des fonctions de base discrètes localement harmoniques. La principale contribution théorique de cette section est une estimation de l'erreur concernant la projection H¹ de la solution sur l'espace grossier. L'analyse d'erreur est indépendante de la régularité globale de la solution, ce qui est un atout majeur compte tenu des singularités géométriques du domaine. En combinant la méthode de Schwarz avec recouvrement et la correction de l'espace grossier à la base de la méthode multi-échelle proposée, on parvient à un solveur itératif et un préconditionneur efficaces, dont les performances sont étudiées numériquement.La deuxième partie de la thèse étend notre méthodologie numérique aux modèles d'écoulement non linéaires. En particulier, nous nous intéressons à l'équation de l'onde diffusive, obtenue à partir des équations de Saint-Venant en négligeant les termes d'inertie. Nous montrons que le préconditionneur à deux niveaux que nous avons conçu pour les problèmes de diffusion linéaire se prête également au problème de l'onde diffusive linéarisé qu'on obtient à chaque itération de la méthode de Newton. En outre, nous présentons des techniques de préconditionnement non linéaires, y compris la méthode RASPEN à un et deux niveaux, ce qui permet de réduire considérablement le nombre d'itérations par rapport à la méthode de Newton traditionnelle. Les exemples numériques illustrant les performances des méthodes proposées comprennent un cas test basé sur des données topographiques de la ville de Nice.Dans la dernière partie, pour les EDP elliptiques non linéaires, nous étudions une méthode multi-échelle qui combine des outils de la méthode d'éléments finis multi-échelles classique avec ceux de l'apprentissage automatique. Notre approche repose sur la formulation sous-structurée approchée dans laquelle les traces de la fonction inconnue sont recherchées dans un espace d'éléments finis grossier. Le problème sous-structuré est résolu par la méthode de Newton, faisant appel à des opérateurs Dirichlet-to-Neumann (DtN) locaux à chaque itération. Dans le but de réduire le coût de calcul associé à l'évaluation des opérateurs DtN, ces derniers sont remplacés par des modèles approchés construits sur la base des réseaux de neurones artificiels. Les expériences numériques concernant les problèmes non linéaires de p-Laplace et de diffusion dégénérée en 1D et 2D aboutissent à des résultats prometteurs. Avec seulement quelques points d'entraînement par dimension du domaine des opérateurs DtN, le modèle approché atteint une précision de quelques pour cent. Une amélioration supplémentaire peut être obtenue en utilisant la solution approché comme le point initial de la méthode de Newton appliquée à la formulation originale.The work of this thesis is dedicated to the simulation and numerical analysis of urban flood problems.While urban flooding caused by exceptional rainfall is particularly devastating in terms of economic and human damage, numerical modeling can be used to predict, anticipate and control such events.From the numerical perspective, the major challenge comes from a large contrast between a typical size of the simulation domain (10-100km) and the size of the relevant structural features, which have to be represented at metric or infra-metric scales. This thesis addresses the multi-scale character of the urban flows by means of Domain Decomposition (DD) and Multi-scale (Ms) numerical methods.The first part of the thesis focuses on linear diffusion problems posed in domains containing a large number of polygonal perforations representing realistic structures in urban areas. We propose a low-dimensional coarse approximation space based on a coarse polygonal partitioning of the domain. Similarly to other multiscale numerical methods, this coarse space is spanned by locally discrete harmonic basis functions. The main theoretical contribution of this part is an error estimate regarding the H¹-projection over the coarse space; this error estimate is independent of the global regularity of the solution, which is expected to be low due to multiple corner singularities.Additionally, this part numerically explores the combination of the coarse space with overlapping Schwarz domain decomposition methods. This combination leads to an efficient two-level iterative linear solver and preconditioner for a Krylov method.The second part of the thesis extends our methodology to nonlinear urban flow models. That is, we design DD and Ms methods to numerically solve the Diffusive Wave equation, which is obtained from Shallow Water systems by neglecting inertia terms. We show that the two-level preconditioner previously designed for linear diffusion problems performs well on the linearized Diffusive Wave model which arises at each iteration of Newton's method. Furthermore, we present nonlinear preconditioning techniques, including one and two-level RASPEN, which significantly reduce iteration counts when compared to Newton's method. These nonlinear preconditioning techniques use the coarse space to form robust two-level methods. Numerical experiments are conducted, with the main example being the numerical solution of the Diffusive Wave equation on a large urban area of Nice, France.In the last part of the thesis, for nonlinear elliptic PDEs, we investigate a multi-scale method that combines tools from the classical Multi-scale Finite Element Method and Machine Learning. Our approach is based on the approximate substructured formulation in which the traces of the unknown function belong to a coarse finite element space. The substructured problem is solved by Newton's method, using local Dirichlet-to-Neumann (DtN) operators at each iteration. In order to reduce the computational cost associated with the evaluation of DtN operators, the latter are replaced by approximate models built on the basis of artificial neural networks.Numerical experiments on nonlinear p-Laplace and degenerate scattering problems in 1D and 2D show promising results. With only a few training points per dimension of the DtN operator domain, the approximate model achieves an accuracy of a few percent
Resolution of electromagnetic radiation problem applied to medical imaging with FreeFEM++
No full textL'utilisation des microondes pour le diagnostic est en plein essor dans le domaine médical. Une des toutes dernières applications concerne la détection d'AVC (Accident vasculaire Cérébral) par imagerie microonde. La Société EMTensor GmbH basée à Vienne en Autriche étudie actuellement un tel système en collaboration avec le LEAT, le LJAD de l’Université Côte d’Azur et le LJLL de Sorbonne Université, pour le diagnostic et le contrôle de l'efficacité de traitement. Le but de ce travail était de modéliser le système de mesure de l'imagerie du cerveau, développé par la société EMTensor GmbH. Il s'agit d'un système d'émission/réception composé de 160 antennes disposées en 5 couronnes de 32 antennes réparties sur une cuve métallique cylindrique de section circulaire semi-ouverte. Un des enjeux majeurs de ce travail consiste en la modélisation et la simulation électromagnétique (EM) du système complet incluant un modèle réaliste de cerveau. La difficulté réside à la fois dans la taille du problème EM à simuler en raison du rapport entre la taille considérable du système et la taille très faible de certaines inhomogénéités à l’intérieur du cerveau, et dans la grande hétérogénéité des permittivités diélectriques présentes à l’intérieur du cerveau. Nous avons décidé d’utiliser un code open source, FreeFem++ pour cette modélisation car il permet de déployer du calcul hautement parallèle et la décomposition de domaines, qui sont bien adaptés à la complexité du problème EM. Dans un premier temps, nous avons comparé les résultats de simulation du système de mesure à vide (sans le cerveau) aux mesures et aux résultats obtenus par le logiciel de simulation EM HFSS basé sur la FEM comme FreeFem++. Nous avons ensuite simulé un modèle de tête tridimensionnel virtuel, à partir de coupe d’image du cerveau (scanner et IRM), en partenariat avec EMTensor en recherchant la position et le type d'AVC (ischémique et hémorragique). L'influence du bruit de mesure, la valeur du gel d'adaptation utilisé, le couplage entre les capteurs et le couplage entre la tête et les capteurs sont également étudiés. Afin de valider ces modèles, deux cas simples ont été étudiés. Un grand tube et un petit tube en plastique sont remplis de liquide d'adaptation symbolisant les caractéristiques diélectriques d'un cerveau afin de retrouver la forme du tube utilisé. Nous avons montré qu’il est possible de développer des algorithmes de reconstruction pour montrer permettant de retrouver la forme des objets par imagerie qualitative. Enfin, avec les partenaires et l'entreprise d'EMTensor nous avons appliqué une méthode quantitative à la détection d’un AVC ischémique par la tomographie microonde. Le problème direct repose sur l’utilisation de FreeFem++, en utilisant des éléments d'ordre supérieur et des préconditionneurs parallèles pour la méthode de décomposition de domaine. Nous avons résolu le problème inverse par un algorithme de minimisation, afin de reconstruire des images tomographiques du cerveau dans des temps compatibles avec les impératifs médicaux définis par les cliniciens.The use of microwaves for diagnosis is booming in the medical field. One of the latest applications is the detection of strokes by microwave imaging. The company EMTensor GmbH based in Vienna, Austria is currently studying such a system in collaboration with LEAT, the LJAD of the Côte d’Azur University and the LJLL of Sarbonne University, for the diagnosis and control of the treatement efficiency. The purpose of this work is to model the brain imaging measurement system developed by EMTensor GmbH. It is a transmission/ reception system consisting of 160 antennas arranged in 5 rings of 32 antennas distributed on a cylinder metal tank of semi-open circular section. One of the major issues of this work is the modeling and electromagnetic simulation (EM) of the complete system including a realistic brain model. The difficulty lies both in the size of the EM problem to be simulated beacause of the relationship between the considerable size of the system and the the very small size of certain inhomogeneities within the brain, and the great heterogeneity of the dielectric permittivities present inside the brain. We decided to use an open source software, FreeFem++ for this modelling because it is well adapted to high performance computing through domain decomposition methods, which is mandatory for the complexity of the EM problem. First, we compared the simulation results of the vacuum matching measurement system (without the brain) to the measurements and the results obtained by the FEM-based EM HFSS simulation software to those obtained by FreeFem++. We then simulated a virtual threedimensional head model, from brain imaging system cuts (CT scan and MRI), in partnership with EMTensor, looking for the position and type of stroke (ischemic and hemorragic). The influence of the measurement noise, the value of the adaptation gel used, the coupling between the sensors and the coupling between the head and the sensors are also studied. In order to validate these models, two simple cases have been studied. A large tube and a small plastic tube are fielld with adaptation liquid with the dielectric characteristic of a brain to find the shape of the tubes used by qualitative imaging. Finally, with the MEDIMAX project partners and the EMTensor company we applied a quantitative method to the detection of ischemic stroke by the microwave tomography. The direct problem has been solved with the help of FreeFem++, using hight order elements and parallel preconditioners for the domain decomposition method. We solved the inverse problem by a minimization algorithm, in order to reconstruct tomographic images of the brain in times compatible with medical imperatives defined by clinicians.
Algorithmes par decomposition de domaine et méthodes de discrétisation d'ordre elevé pour la résolution des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Application aux problèmes issus de la mécanique des fluides et de l'électromagnétisme
Full text linkMy main research topic is about developing new domain decomposition algorithms for the solution of systems of partial differential equations. This was mainly applied to fluid dynamics problems (as compressible Euler or Stokes equations) and electromagnetics (time-harmonic and time-domain first order system of Maxwell's equations). Since the solution of large linear systems is strongly related to the application of a discretization method, I was also interested in developing and analyzing the application of high order methods (such as Discontinuos Galerkin methods) to Maxwell's equations (sometimes in conjuction with time-discretization schemes in the case of time-domain problems). As an active member of NACHOS pro ject (besides my main afiliation as an assistant professor at University of Nice), I had the opportunity to develop certain directions in my research, by interacting with permanent et non-permanent members (Post-doctoral researchers) or participating to supervision of PhD Students. This is strongly refflected in a part of my scientific contributions so far. This memoir is composed of three parts: the first is about the application of Schwarz methods to fluid dynamics problems; the second about the high order methods for the Maxwell's equations and the last about the domain decomposition algorithms for wave propagation problems
Efficient high order and domain decomposition methods for the time-harmonic Maxwell's equations
No full textLes équations de Maxwell en régime harmonique comportent plusieurs difficultés lorsque la fréquence est élevée. On peut notamment citer le fait que leur formulation variationnelle n’est pas définie positive et l’effet de pollution qui oblige à utiliser des maillages très fins, ce qui rend problématique la construction de solveurs itératifs. Nous proposons une stratégie de solution précise et rapide, qui associe une discrétisation par des éléments finis d’ordre élevé à des préconditionneurs de type décomposition de domaine. La conception, l’implémentation et l’analyse des deux méthodes sont assez difficiles pour les équations de Maxwell. Les éléments finis adaptés à l’approximation du champ électrique sont les éléments finis H(rot)-conformes ou d’arête. Ici nous revisitons les degrés de liberté classiques définis par Nédélec, afin d’obtenir une expression plus pratique par rapport aux fonctions de base d’ordre élevé choisies. De plus, nous proposons une technique pour restaurer la dualité entre les fonctions de base et les degrés de liberté. Nous décrivons explicitement une stratégie d’implémentation qui a été appliquée dans le langage open source FreeFem++. Ensuite, nous nous concentrons sur les techniques de préconditionnement du système linéaire résultant de la discrétisation par éléments finis. Nous commençons par la validation numérique d’un préconditionneur à un niveau, de type Schwarz avec recouvrement, avec des conditions de transmission d’impédance entre les sous-domaines. Enfin, nous étudions comment des préconditionneurs à deux niveaux, analysés récemment pour l’équation de Helmholtz, se comportent pour les équations de Maxwell, des points de vue théorique et numérique. Nous appliquons ces méthodes à un problème à grande échelle qui découle de la modélisation d’un système d’imagerie micro-onde, pour la détection et le suivi des accidents vasculaires cérébraux. La précision et la vitesse de calcul sont essentielles dans cette application.The time-harmonic Maxwell’s equations present several difficulties when the frequency is large, such as the sign-indefiniteness of the variational formulation, the pollution effect and the problematic construction of iterative solvers. We propose a precise and efficient solution strategy that couples high order finite element (FE) discretizations with domain decomposition (DD) preconditioners. High order FE methods make it possible for a given precision to reduce significantly the number of unknowns of the linear system to be solved. DD methods are then used as preconditioners for the iterative solver: the problem defined on the global domain is decomposed into smaller problems on subdomains, which can be solved concurrently and using robust direct solvers. The design, implementation and analysis of both these methods are particularly challenging for Maxwell’s equations. FEs suited for the approximation of the electric field are the curl-conforming or edge finite elements. Here, we revisit the classical degrees of freedom (dofs) defined by Nédélec to obtain a new more friendly expression in terms of the chosen high order basis functions. Moreover, we propose a general technique to restore duality between dofs and basis functions. We explicitly describe an implementation strategy, which we embedded in the open source language FreeFem++. Then we focus on the preconditioning of the linear system, starting with a numerical validation of a one-level overlapping Schwarz preconditioner, with impedance transmission conditions between subdomains. Finally, we investigate how two-level preconditioners recently analyzed for the Helmholtz equation work in the Maxwell case, both from the theoretical and numerical points of view. We apply these methods to the large scale problem arising from the modeling of a microwave imaging system, for the detection and monitoring of brain strokes. In this application accuracy and computing speed are indeed of paramount importance
Une méthode volume fini implicite en maillages non-structurés pour les équations de Maxwell 3D en domaine temporel
Full text linkExisting numerical methods for the solution of the time domain Maxwell equations often rely on explicit time integration schemes and are therefore constrained by a stability condition that can be very restrictive on highly refined or unstructured meshes. The present study aims at investigating the applicability of an implicit time integration scheme in conjunction with a finite volume approximation method on unstructured meshes. If one wants to achieve at least second-order accuracy in time, then the most natural choice for the implicit time integration of the semi-discrete Maxwell equations is the Crank-Nicolson scheme. In the first part of the paper, we study some of the mathematical properties of the resulting Implicit Finite Volume Time Domain (IFVTD) method in the one dimensional case using different boundary conditions (metallic, periodic and absorbing boundary conditions). We prove that the IFVTD method globally conserves a discrete form of the electromagnetic energy if the initial boundary value problem is based on metallic or periodic boundary conditions. If an absorbing boundary condition is used then we show that the discrete electromagnetic energy is decreasing. In this one dimensional study, we also prove that the matrix operator characterizing the IFVTD method is invertible. In the second part of the paper, we extend the results of the one dimensional analysis to the three dimensional Maxwell equations. We conclude with preliminary numerical results on a simple academic test case in order to validate the proposed method
Multitrace formulations and Dirichlet-Neumann algorithms
Full text linkMultitrace formulations (MTF) for boundary integral equations (BIE) were developed over the last few years in [4] and [1, 2] for the simulation of electromagnetic problems in piecewise constant media, see also [3] for associated boundary integral methods. The MTFs are naturally adapted to the developments of new block preconditioners, as indicated in [5], but very little is known so far about such associated iterative solvers. The goal of our presentation is to give an elementary introduction to MTFs, and also to establish a natural connection with the more classical Dirichlet-Neumann algorithms that are well understood in the domain decomposition literature, see for example [6, 7]. We present for a model problem a convergence analysis for a naturally arising block iterative method associated with the MTF, and also first numerical results to illustrate what performance one can expect from such an iterative solver
Why Classical Schwarz Methods Applied to Certain Hyperbolic Systems Can Converge even Without Overlap
No full textOverlap is essential for the classical Schwarz method to be convergent when solving elliptic problems. Over the last decade, it was however observed that when solving systems of hyperbolic partial differential equations, the classical Schwarz method can be convergent even without overlap. We show that the classical Schwarz method without overlap applied to the Cauchy-Riemann equations which represent the discretization in time of such a system, is equivalent to an optimized Schwarz method for a related elliptic problem, and thus must be convergent, since optimized Schwarz methods are well known to be convergent without overlap
Why Classical Schwarz Methods Applied to Certain Hyperbolic Systems Can Converge even Without Overlap
Full text linkOverlap is essential for the classical Schwarz method to be convergent when solving elliptic problems. Over the last decade, it was however observed that when solving systems of hyperbolic partial differential equations, the classical Schwarz method can be convergent even without overlap. We show that the classical Schwarz method without overlap applied to the Cauchy-Riemann equations which represent the discretization in time of such a system, is equivalent to an optimized Schwarz method for a related elliptic problem, and thus must be convergent, since optimized Schwarz methods are well known to be convergent without overlap
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