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A Discontinuous Galerkin Method for Simulations of Transport Processes on the Pore Scale
No full textIn the simulation of pore scale processes a good approximation to the
geometrical shape of the solid phase is crucial to good quality of the
numerical results, while on the other hand interest often focuses on a
small number of unknowns.
I will present a new approach for solving PDEs in complex domains. It
is based on a Discontinuous Galerkin (DG) discretization on a
structured grid, where the minimal number of unknowns is independent
of the shape of the domain, while this new method still allows the
provision of fine structures of the domains shape, even if their size
is significantly smaller than the grid cell size. Its advantage for
flow and transport simulation on the pore scale is that the resolution
of the simulation can be chosen freely between very large
domains, perhaps the size of several REVs, and very small domains,
just the size of few sandcorns, without changing the discretization
and without neglecting details in the shape of your domain.
I give an overview of the new technique and exemplify this with the
numerical simulation of solute transport in a 3D pore scale
domain. This is intended only as an introduction and does not involve
productive computations. Future applications might involve multiphase
flow on the pore scale or even upscaling simulations.Presenters:
name: Engwer, Christian
affiliation: Ruprecht-Karls-University of Heidelber
An unfitted discontinuous Galerkin scheme for a phase-field approximation of pressurized fractures
No full textBei der Simulation von Rissen mit Hilfe von FEM muss das Gitter an propagierende Risse agepasst werden. Geometrieunabhängige Methoden wie UDG und X-FEM führen neue Basisfunktionen entlang von Rissen ein.
Phasenfeldansätze stellen Risse implizit dar und regularisieren sie im Sinne der Gamma-Konvergenz. Das ermöglicht den Umgang mit Topologieveränderungen und die exakte Bestimmung der Ausbreitungsrichtung
und -geschwindigkeit, benötigt aber eine feine Auflösung in der Umgebung von Rissen. Wir kombinieren ein Phasenfeld und die UDG Methode. Dabei wird die quasi-statische Entwicklung von flüssigkeitsgefüllten, unter Druck stehenden Rissen simuliert. Das Phasenfeld prognostiziert die Ausbreitung und behandelt topologische Änderungen. Eine explizite Darstellung der Risse wird als Skelett einer Niveaumenge des Phasenfeldes gewonnen. Die UDG Methode erlaubt Sprünge für die Verschiebung an Rissen. Wir zeigen Gamma-Konvergenz der Phasenfelddarstellung bei vorhandenen Drucktermen.When simulating fracture propagation, FEMs need remeshing whenever fractures propagate. Unfitted methods such as UDG and X-FEM introduce new basis functions along the crack. Phase-field approaches describe the crack implicitly and regularize it in the sense of Gamma-convergence. They deal with changes of topology automatically and predict the direction and velocity of a propagating crack, but they need a high resolution in the proximity of cracks. We combine a phase-field approach with the UDG method. Quasi-static evolution of fluid-filled, pressurized fractures is considered. The implicit representation of cracks predicts propagation and handles changes in the crack topology. An explicit representation of the crack is reconstructed as skeleton of a level set of the phase field. Applying the UDG method allows for jumps of the displacement along the cracks. We prove Gamma-convergence of the approximating functionals in the presence of additional pressure terms
New finite element methods for solving the MEG and the combined MEG/EEG forward problem
No full textDiese Arbeit umfasst zwei Hauptthemen. (1) Das Studium neuer Finite-Elemente-Methoden (FEMs), d.h. einer kontinuierlichen (CG-) und diskontinuierlichen (DG-) Galerkin-FEM, zur Lösung des Vorwärtsproblemes der Magnetoenzephalographie (MEG) und der Kombination von MEG und Elektroenzephalographie (EEG). Für die MEG/EEG-Quellenanalyse bietet DG-FEM eine interessante neue Alternative zur CG-FEM. (2) Die Analyse der MEG- und EEG-Sensitivität für kortikale und subkortikale Quellen durch Berechnung von Signal-Rausch-Verhältnis (SNR)-Mappings basierend auf der FEM. Unsere Ergebnisse zeigen, dass MEG für kortikale Quellen höhere SNR-Werte erreicht als EEG. Die MEG-SNR-Werte variieren allerdings stark mit der Ausrichtung. Tiefe tangentiale Quellen können sowohl vom MEG als auch vom EEG erkannt werden. Die neuen Methoden wurden in der Toolbox duneuro implementiert. Diese Promotion ist Teil des ChildBrain-Projekts: einer Horizon2020 Marie Skłodowska-Curie Action.This thesis covers two main topics. (1) The study of new finite element methods (FEMs), i.e., a continuous (CG-) and discontinuous (DG-) Galerkin FEM, to solve the magnetoencephalography(MEG) and the combined MEG/electroencephalography(EEG) forward problem, by validating them in both spherical and realistically shaped head models. For (combined) MEG/EEG source analysis, DG-FEM offers an interesting new alternative to CG-FEM. (2) The application of FEM to analyze MEG and EEG sensitivity to cortical and subcortical sources by computing signal-to-noise ratio (SNR) mappings. We conclude that: MEG SNR values are higher than the EEG ones for cortical sources; only MEG SNR values strongly vary with the orientation; deep tangential sources can be detected by both MEG/EEG. The newly implemented methods are in the duneuro toolbox. Finally, the PhD training is part of the ChildBrain project, a Horizon2020 Marie Skłodowska-Curie Action, and special emphasis was given to dissemination
CutFEM for EEG and MEG source analysis and optimized multi-channel transcranial direct current stimulation
No full textElektro- und Magnetoencephalography(EEG/MEG) messen die Generatoren neuronaler Aktivität. Die Rekonstruktion, wo die Generatoren gemessener Ströme liegen, wird als Quellenanalyse bezeichnet und besteht im Wesentlichen aus zwei Teilen: Vorwärts- und Inversproblem. Beim Vorwärtsproblem werden an verschiedenen Stellen im Gehirn Quellen platziert und die sich ergebenden Ströme werden simuliert. Das inverse Problem betrachtet wiederum tatsächlich gemessene Daten und sucht aus der Menge simulierter Quellen eine geeignete Konfiguration. Die vorliegende Arbeit hat zwei Foki. Zuerst wird das Vorwärtsproblem mittels einer Finiten-Elemente-Methode namens CutFEM gelöst. CutFEM ermöglicht eine akkuratere Repräsentation von Magnetresonanztomographie-basierten anatomischen Daten, kann die Gewebetypen des Kopfes also exakter darstellen. Nach der mathematischen Beschreibung von CutFEM und initialen Tests werden im zweiten Teil der Arbeit realistische Kopfmodelle mittels CutFEM erzeugt und mit gängigen Methoden verglichen. CutFEM-Kopfmodelle passen besser zu gemessenen Daten und bieten eine höhere Sensitivität zu quasi-radialen Quellen. Bei zwei Epilepsiepatienten werden Unterschiede im Zentimeterbereich zwischen den verschiedenen Kopfmodellen erkennbar
Fitted and unfitted finite element methods for solving the EEG forward problem
No full textDas Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung, Analyse und Validierung akkurater und effizienter Strategien zur Lösung des Elektroenzephalographie (EEG) Vorwärtsproblems. Für an die Geometrie angepasste Methoden, wie etwa die konforme Finite-Elemente Methode oder die unstetige Galerkin Methode, werden verschiedene Diskretisierungen des dipolaren Quellterms hergeleitet, erweitert und evaluiert. Insbesondere wird ein neuer Subtraktionsansatz vorgestellt und analysiert. Im zweiten Teil der Arbeit werden zwei Geometrie-unabhängige Finite-Elemente Methoden für die Lösung des EEG Vorwärtsproblems eingeführt. Die Berücksichtigung der Geometrie erfolgt implizit durch Einsatz der Level-Set Methode und führt zu einer einfacheren Simulations-Pipeline. Die Validierung dieser Verfahren erfolgt in Kugelmodellen sowie unter Nutzung realistischer Kopfmodelle. Im letzten Abschnitt wird die Software Toolbox duneuro präsentiert, welche erweiterbare Schnittstellen zur Vorwärtsmodellierung in Neurowissenschaften basierend auf der Dune Bibliothek bereitstellt.The aim of this thesis is the development, analysis and validation of accurate and efficient strategies for solving the electroencephalography (EEG) forward problem. For fitted methods, such as the conforming finite element method of the discontinuous Galerkin method, various discretizations of the dipolar source term are derived, extended and evaluated. In particular a new subtraction approach is introduced and analyzed. In the second part of this thesis, two unfitted finite element methods are presented for solving the EEG forward problem. The geometry is taken into account implicitly using the level-set method, which leads to a simpler simulation pipeline. The validation of these methods is performed using sphere model studies as well as realistic head models. In the last part, the software toolbox duneuro is introduced, which offers extendible interfaces for forward modeling in neuroscience based on the Dune framework.</p
A coupled bulk surface reaction diffusion advection model for cell polarization
No full textDiese Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Simulation der Zellpolarität, ein Prozess der grundlegend für verschiedene Zellfunktionen in unterschiedlichen Zelltypen ist. Basierend auf einem Modell das Polarität in der knospenden Hefe Saccharomyces cerevisiae beschreibt, wird ein generisches Modell zur Simulation der Zellpolarität hergeleitet. Das besondere und neue an diesem Modell ist die Berücksichtigung eines internen Transportmechanismus. Das System basiert zudem auf gekoppelten Oberflächen-Volumen Reaktions-Diffusions-Advektions-Gleichungen und ist damit auf unterschiedliche Geometrien anwendbar. Es werden numerische Ergebnisse in 2D und 3D präsentiert und mit experimentellen Daten verglichen. Mittels einer linearen Stabilitätsanalyse werden Bedingungen für eine transportgetriebene Instabilität hergeleitet und schließlich numerisch untermauert. Abschließend wird der kontinuierliche Ansatz zur Modellierung des Molekültransports mit einem stochastischen Modell verglichen.This thesis focuses on the mathematical simulation of cell polarity, a process fundamental to the function of many cell types. Based on a model that describes polarity in the budding yeast Saccharomyces cerevisiae, a generic model for the simulation of cell polarity is derived. Particularly, this model considers an internal active molecule transport. In addition, the system is based on coupled bulk-surface reaction-diffusion-advection equations and hence applicable to different geometries. Numerical results in 2D and 3D are presented and compared to experimental data. By a linear stability analysis, conditions for a transport-driven instability are derived and numerically verified. In order to conclude this work, the continuous approach for molecule movement is compared to a stochastic model
Data-aware methods for the simulation of glioblastoma multiforme
No full textDiese Arbeit behandelt, wie mathematische Methoden bei der Vorhersage und der Behandlung von Glioblastoma Multiforme helfen könnten. Wir beschreiben ein Finite-Volumen-Verfahren mit Matrix-Hölder-Mittel (HFVM). Das Hölder Mittel erlaubt es Informationen über die zugrunde liegenden Materialeigenschaften direkt in die numerische Diskretisierung einfließen zu lassen. Die numerischen Tests legen nahe, dass ein Matrix-Hölder-Mittel mit einer Log-Euklidischen Matrix interpolation die besten Ergebnisse erzielt. Der zweite Beitrag ist ein approximativer Modellierungsansatz, welcher es erlaubt das Invasionsprofil der Tumorzelldichte stationär zu berechnen. Die Ergebnisse legen nahe, dass der Stationalisierungsansatz in Anbetracht der schwierigen Parametrisierung und Validierung der Vorwärtsmodelle einen wichtigen Beitrag leisten könnte. Die Ergebnisse der stationären Problemformulierung enthalten qualitative Informationen welche direkt für die medizinische Therapie verwendet werden können.This work is about the how mathematics may help the treatment of malignant brain tumors called glioblastoma multiforme (GBM). We incorporated a matrix Hölder mean into a finite volume method. The optimal Hölder parameter for tumor simulation is found to be zero, resulting in a log-Euclidian matrix interpolation. The convergence of the method has been established numerically via inhomogeneous and anisotropic manufactured solutions. We also derived a nonlinear penalty term for the 1D Fisher-KPP equation which allows the formulation of a stationary PDE problem for the tumor invasion. This stationary formulation is aligned with datasets available at the time of diagnosis and makes quantifiable predictions that may aid medical treatment. The 3D results allow direct comparison of its predictions with the medical treatment planning volumes (GTV, PTV, CTV). The results show that the stationalization could provide medical practitioners with information for treatment radius delineation
Unfitted discontinuous Galerkin schemes for applications with PDEs on complex-shaped surfaces
No full textDie UDG-Methode ermöglicht konservative DG-Diskretisierungen partieller Differentialgleichungen (PDEs) auf der Basis von Cut-Cell-Gittern. Sie eignet sich daher besonders zur Lösung von Kontinuitätsgleichungen auf Gebieten mit komplizierten Rändern. In dieser Arbeit zeigen wir, wie sich die Methode auf PDEs auf gekrümmten Oberflächen übertragen lässt. Wir stellen UDG-Verfahren für eine biologisch motivierte Klasse von Modellproblemen vor, die Kontinuitätsgleichungen in einem potentiell zeitabhängigen Gebiet und auf dessen Oberfläche umfasst. Unsere Ansätze kombinieren höherdimensionale Erweiterungen von Oberflächen-PDEs mit Konzepten von Spur-Finite-Elemente-Methoden. Dies resultiert in Verfahren mit vorteilhaften Eigenschaften. Physikalische Erhaltungseigenschaften werden etwa im diskreten Sinne abgebildet und bestehende Implementierungen der UDG-Methode können wiederverwendet werden. Ein hohes Maß an geometrischer Flexibilität wird dabei durch den Einsatz der Level-Set-Methode erreicht. Mittels theoretischer und numerischer Studien zeigen wir, dass unsere Ansätze vielversprechende Verfahren für die betrachtete Klasse von Modellproblemen liefern.The UDG method allows for conservative DG discretizations of partial differential equations (PDEs) based on cut cell meshes. It is hence particularly suitable for solving continuity equations on complex-shaped bulk domains. In this thesis, we show how the method can be transferred to PDEs on curved surfaces. We introduce UDG schemes for a class of model problems that is biologically motivated and comprises continuity equations on a potentially time-dependent bulk domain and its surface. Our approaches combine ideas of methods that extend surface PDEs to higher-dimensional bulk domains with concepts of trace finite element methods. This results in schemes with favorable properties, such as the recovery of discrete analogues to conservation laws that are embedded in the PDEs, and the reusability of existing implementations of the UDG method. At the same time, a high degree of geometric flexibility is achieved by using a level set representation of the geometry. We present theoretical investigations and numerical results which demonstrate that our computational approaches to surface PDEs yield promising schemes for the considered class of model problems.</p
Fitted and unfitted finite element methods for solving the EEG forward problem
No full textDas Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung, Analyse und Validierung akkurater und effizienter Strategien zur Lösung des Elektroenzephalographie (EEG) Vorwärtsproblems. Für an die Geometrie angepasste Methoden, wie etwa die konforme Finite-Elemente Methode oder die unstetige Galerkin Methode, werden verschiedene Diskretisierungen des dipolaren Quellterms hergeleitet, erweitert und evaluiert. Insbesondere wird ein neuer Subtraktionsansatz vorgestellt und analysiert. Im zweiten Teil der Arbeit werden zwei Geometrie-unabhängige Finite-Elemente Methoden für die Lösung des EEG Vorwärtsproblems eingeführt. Die Berücksichtigung der Geometrie erfolgt implizit durch Einsatz der Level-Set Methode und führt zu einer einfacheren Simulations-Pipeline. Die Validierung dieser Verfahren erfolgt in Kugelmodellen sowie unter Nutzung realistischer Kopfmodelle. Im letzten Abschnitt wird die Software Toolbox duneuro präsentiert, welche erweiterbare Schnittstellen zur Vorwärtsmodellierung in Neurowissenschaften basierend auf der Dune Bibliothek bereitstellt.The aim of this thesis is the development, analysis and validation of accurate and efficient strategies for solving the electroencephalography (EEG) forward problem. For fitted methods, such as the conforming finite element method of the discontinuous Galerkin method, various discretizations of the dipolar source term are derived, extended and evaluated. In particular a new subtraction approach is introduced and analyzed. In the second part of this thesis, two unfitted finite element methods are presented for solving the EEG forward problem. The geometry is taken into account implicitly using the level-set method, which leads to a simpler simulation pipeline. The validation of these methods is performed using sphere model studies as well as realistic head models. In the last part, the software toolbox duneuro is introduced, which offers extendible interfaces for forward modeling in neuroscience based on the Dune framework.</p
Hardware-oriented Krylov methods for high-performance computing
No full textGegenstand dieser Dissertation ist die Formulierung von Krylovraumverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mehreren rechten Seiten, welche die Eigenschaften moderner Hardware berücksichtigen. Dazu untersuchen wir ein innovatives Blockkrylovraum-Framework, welches es ermöglicht die Berechnungs- und Datentransferkosten der Blockkrylovraummethode an die Hardware anzupassen. Darauf aufbauend formulieren wir mehrere Krylovraummethoden. Für die Block CG und Block BiCGStab Methoden entwickeln wir eine adaptive Stabilisierungsstrategie. Des Weiteren optimieren wir die Methoden bezüglich der Kommunikation auf Systemen mit verteiltem Speicher. Dazu stellen wir mehrere Varianten der Algorithmen vor, welche sich durch ihre Kommunikationseigenschaften unterscheiden. Außerdem entwickeln wir für die GMRes Methode optimierte Varianten der Orthonormalisierung. Für alle optimierten Varianten zeigen wir numerische Tests, welche die Verbesserungen demonstrieren.In this work, we develop Krylov subspace methods to solve linear systems with multiple right-hand sides, tailored to modern hardware in high-performance computing. To this end, we analyze an innovative block Krylov subspace framework that allows to balance the computational and data-transfer costs to the hardware. Based on the framework, we formulate commonly used Krylov methods. For the CG and BiCGStab methods, we introduce an adaptive stabilization approach as an alternative to a deflation strategy. In addition, we optimize the methods further for distributed memory systems and the communication overhead. For this we present several variants of the algorithms, which differ in their communication properties. For the Block GMRes algorithm, we present optimizations for the orthogonalization. For all optimized method, we present tests that show their superiority
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