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Géométrie des espaces riemanniens
No full textDans ce travail, nous présentons une méthode de résolution de l'équation de la courbe géodésique en utilisant le symbole de Christoffel. En effet, l'équation de la courbe géodésique contient une dérivée covariante
Les groupes cycliques discrets d'isométries du bidisque
No full textDans ce mémoire, on présente un espace de la géométrie hyperbolique, le bidisque. On y parle de la géométrie du bidisque et pour ce faire on expose en détail la géométrie du plan hyperbolique. Ensuite, on présente les groupes d’isométries du bidisque pour lesquels on décrit les groupes d’isométrie du plan hyperbolique. Enfin, on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que des sous-groupes cycliques d’isométries du bidisque soient discrets
Empilements de cercles et applications quasiconformes appliqués au cerveau humain
Get PDFDans ce mémoire, nous introduirons la théorie des empilements de cercles, qui a connu un énorme développement à partir du milieu des années 1980, entre autres grâce aux idées de Thurston et de Stephenson. Ensuite, nous étudierons la notion de quasiconformité, qui sera présentée sous deux différentes définitions, qui sont équivalentes entre elles. Nous verrons que cette théorie, développée entre autres par Grötzsch, Lavrentiev, Ahlfors et Teichmüller, est fortement liée à la théorie des surfaces de Riemann. Enfin, nous effectuerons une application de la théorie des empilements de cercles et de la quasiconformité à l'étude de certaines régions du cortex humain, dans l'optique de déceler des asymétries inter-individuelles. Une version de base de l'algorithme, qui était nécessaire à cette étude, sera disponible en annexe à ce mémoire
Les groupes cycliques discrets d'isométries du bidisque
Get PDFDans ce mémoire, on présente un espace de la géométrie hyperbolique, le bidisque. On y parle de la géométrie du bidisque et pour ce faire on expose en détail la géométrie du plan hyperbolique. Ensuite, on présente les groupes d’isométries du bidisque pour lesquels on décrit les groupes d’isométrie du plan hyperbolique. Enfin, on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que des sous-groupes cycliques d’isométries du bidisque soient discrets
Les surfaces croches de l'univers d'Einstein
Get PDFDans ce mémoire, on introduit l'univers d'Einstein et on présente plusieurs façons conceptuelles et paramétriques de représenter cet espace. On présente ensuite différents objets de l'univers d'Einstein. L'accent est mis sur la visualisation de ces objets en dimension deux et trois. Finalement, on décrit les surfaces croches. Les surfaces croches servent à borner des domaines fondamentaux, de la même façon que les surfaces équidistantes le font en géométrie euclidienne. Le but de ce mémoire est de présenter certaines propriétés des surfaces croches. En particulier, on montre qu'elles ont deux côtés. Si ce n'était pas le cas, il serait impossible de trouver des surfaces croches disjointes
Géométrie de Cartan et pré-géodésiques de type lumière
No full textAprès un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein
Les structures conformes du tore et les empilements de cercles
No full textSur une surface de Riemann, un empilement de cercles représente une collection de cercles respectant une certaine tangence. Il existe un théorème disant que si la surface est simplement connexe, alors il existe un empilement de cercles sur cette surface. On dit alors que la surface est empilable . Dans ce mémoire, nous nous intéressons à ces surfaces. Tout d'abord, je rappellerai des notions d'analyse complexe que nous utiliserons. Ensuite, au chapitre 2, nous allons aborder le thème des surfaces de Riemann. Plus particulièrement, nous verrons le théorème d'uniformisation de Poincaré. Au chapitre 3, nous allons introduire plus rigoureusement les empilements de cercles. Nous verrons la version discrète du théorème d'uniformisation. Enfin, pourquoi s'intéresser à la question? Parce que cette théorie est applicable dans le domaine de la santé, comme nous le verrons au chapitre 4
Métrique sur le fibré unitaire tangent au plan hyperbolique
No full textRÉSUMÉ: Toute variété différentiable admet une métrique dite métrique riemannienne.\\
En définissant , on peut munir de d'une métrique riemannienne .\\
Muni de cette métrique, est une variété riemannienne à la quelle on associe le fibré tangent, ainsi que le fibré unitaire tangent, . Les éléments de peuvent être exprimés, de façon bijective, en termes des éléments du groupe PSL(2,) dont l'action sur est transitive et libre.\\
La métrique définie sur (en particulier sur ) permet de définir sur (en particulier sur ) une métrique connue sous le nom de métrique de Sasaki
Espace de Siegel
Get PDFLe quotient de l’espace hyperbolique par un groupe modulaire est un espace bien
connu. Siegel a défini une famille d’espaces analogues en remplaçant les nombres complexes
par des matrices symétriques. La famille de groupes Sp(2n,Z) agit de façon analogue
au groupe modulaire sur ces espaces. L’objectif de ce mémoire est de calculer la
caractéristique d’Euler du quotient de ces espaces par ces groupes par le théorème de
Chern-Gauss-Bonnet et le calcul explicite d’une classe de Chern
Empilements de cercles et applications quasiconformes appliqués au cerveau humain
No full textDans ce mémoire, nous introduirons la théorie des empilements de cercles, qui a connu un énorme développement à partir du milieu des années 1980, entre autres grâce aux idées de Thurston et de Stephenson. Ensuite, nous étudierons la notion de quasiconformité, qui sera présentée sous deux différentes définitions, qui sont équivalentes entre elles. Nous verrons que cette théorie, développée entre autres par Grötzsch, Lavrentiev, Ahlfors et Teichmüller, est fortement liée à la théorie des surfaces de Riemann. Enfin, nous effectuerons une application de la théorie des empilements de cercles et de la quasiconformité à l'étude de certaines régions du cortex humain, dans l'optique de déceler des asymétries inter-individuelles. Une version de base de l'algorithme, qui était nécessaire à cette étude, sera disponible en annexe à ce mémoire
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