147 research outputs found
Multiphysics modelling in the context of generative programming
Full text linkIm Rahmen der vorliegenden Arbeit wird eine in hohem Grade generische Programmierumgebung für die Finite Elemente Methode behandelt, die auf einer früheren Arbeit des Autors aufbaut. Zuerst wird eine allgemeine Gebietszerlegungsstrategie vorgestellt, die von den nachfolgenden Finite-Element-Algorithmen vollständig entkoppelt ist.Danach wird eine allgemeine Nummerierungsstrategie eingeführt, die eine automatische Erzeugung von Basisfunktionen beliebigen Grades erlaubt.Die analytische Berechnung der auftretenden Basisfunktionsintegrale bei partiellen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auf Simplexgebieten während des Kompiliervorgangs führt zu einer hervorragenden Laufzeiteffizienz bei höhergradigen Basisfunktionen, während gleichzeitig die vollkommene Flexibilität bei der Spezifizierung des mathematischen Problems erhalten bleibt. Dar Lösungsprozess der resultierenden linearen Gleichungssysteme wird darüber hinaus von Mehrgitter-Fähigkeiten der Programmierumgebung unterstützt.Die Anwendbarkeit auf reale Multiphysikprobleme wird anhand von drei ausgewählten Fragestellungen im Rahmen der Mikroelektronik demonstriert:Zuerst wird das Segregationsmodell, welches zur Beschreibung von Materialtransport an Grenzflächen eingesetzt wird, untersucht. Die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der beschreibenden partiellen Differentialgleichung wird bewiesen.Als Zweites werden durch Elektromigration hervorgerufene Fehlstellenverteilungen an Kupferkorngrenzen in Verbindungsleitungen untersucht. Die Korngrenzen werden dabei durch das Segregationsmodell beschrieben.Das Verbiegen eines Kragbalkens als Antwort auf eine anfängliche mechanische Spannungsverteilung wird im dritten Anwendungsfall untersucht und zeigt die Skalierungsprobleme mikroelektromechanischer Systeme auf.A highly generic programming framework for the finite element method is presented in this work, building on top of former results from a previous work of the author. At first, a general domain decomposition strategy is presented that is fully decoupled from finite element algorithms. After that, a general mapping strategy allows the automatic construction of basis functions of arbitrary degree from the underlying geometry. For partial differential equations with constant coefficients, an analytical integration of local basis function integrals during compile time on simplex domains leads to excellent run time performance for higher order basis functions while full flexibility in the specification of the mathematical problem is preserved. The solution process for the resulting systems of linear equations is supported by multigrid capabilities of the framework. The applicability of the framework to multi-physics problems is shown at hand of three selected examples from the field of microelectronics:The first example covers the segregation model, which is used for material transport at interfaces. Existence and uniqueness of a solution of the underlying partial differential equation is shown.The second example investigates vacancy distributions at copper grain boundaries in interconnects during electromigration. For the modelling of grain goundaries, the segregation model was used.The deflection of a cantilever beam due to intrinsic strain is considered in the third example and readily shows the scaling difficulties of microelectromechanical systems
Electromigration in Gold: Challenges and Possibilities (Invited)
No full textA comprehensive understanding of electromigration at a fundamental level has enabled its application in processing silicon surfaces and forming silicon nanowires. This paper presents state-of-the-art models currently used to enhance the electromigration reliability of metallic interconnects and introduces a novel approach to leveraging these models to study the movement and morphological transformation of gold droplets on silicon substrates. Electromigration-driven gold droplets act as agents in the formation of surface features on silicon, which can be utilized for silicon nanowire processing. The impact of gold droplet size and shape, as well as the applied electrical current density, are accurately predicted by simulations, as demonstrated through comparison with experimental results
Mechanical Reliability of open through silicon via structures for integrated circuits
Full text linkRecently, the semiconductor industry has been investing significant effort towards introducing more functionality to applications beyond memory and logic, referred to as "More-than-Moore" integration. This type of integration, commonly associated with three dimensional (3D) die/wafer stacking, is realized using a through-silicon via (TSV) technology, which allows for a vertical electrical contact between systems, enabling low power consumption, dense device packing, and reduced RC delays. The implementation and fabrication of the 3D structure results in many challenging reliability issues. Therefore, the reliability of every component of the device must be thoroughly analyzed. In this work the reliability related to the mechanical stability of lined (open) TSVs, based on the W metalization technology, is considered. The different aspects which impact the mechanical stability of the TSV interconnects are examined and new models are implemented. The finite element method (FEM) is a numerical method frequently used in semiconductor modeling to support the development of new devices and processes. The mechanical analysis of open TSVs is implemented in a commercial FEM software, where different simulation schemes, materials, and mechanical models are employed. During 3D integrated circuit (IC) stacking devices such as open TSVs can be subjected to unintentional extra forces leading to a failure of the structure. By simulating an external force acting on an open TSV critical areas can be identified, where a mechanical failure is most likely. The highest probability of a failure due to material cracking or delamination is found at the corner of the TSV bottom. Subsequently the critical areas are localized and a delamination analysis is performed for the material interfaces of the multilayer structure at the TSV bottom. Delamination prediction is formulated by using the energy release rate generated during delamination propagation. If the energy release rate exceeds a critical value delamination propagates. Conditions such as the thicknesses of the layers, applied forces, and residual stresses of the involved material layers are varied to investigate which factor increase the probability of delamination propagation. SiO2/W is found to be the most critical interface; when the W layer is assumed to carry a large value of intrinsic tensile stress, high values of energy release rate are obtained. Thin metal films, deposited using complementary metal-oxide-semiconductor (CMOS) fabrication techniques, usually contain residual stresses, which affect the performance and reliability of the IC. High values of intrinsic stress, in particular in the W conducting layer of the open TSV, increase the probability of delamination-induced failure. Therefore, a model is implemented to predict the stress build-up in thin metal film during the deposition process. The model is calibrated by using measured data for several materials and is used to investigate the film stress evolution during film growth on a scalloped surface. During TSV fabrication, due to the deep reactive ion etching process used, a scalloped surface is formed along the TSV sidewall. Thin films grown on a scalloped surface develop a smaller intrinsic stress when compared to flat samples. Therefore, by controlling the process parameters during etching the intrinsic stress in the film can be minimized
Electromigration Induced Voiding and Resistance Change in Three-Dimensional Copper through Silicon Vias
No full textSimulative Prediction of the Resistance Change due to Electromigration Induced Void Evolution
No full textNumerical techniques in modern TCAD
Full text linkModeling and simulation are a crucial aid for reducing development cycle time and costs in modern semiconductor technology. New modeling concepts increasingly require long-term research performed in an interdisciplinary manner, and new numerical methods and algorithms are needed to implement these concepts.The manifold of physical phenomena inherent in manufacturing processes and the complex electromagnetics phenomena of interconnect structures require a large diversity of mathematical formulations.In this thesis I consider the numerical methods for solving the partial differential equations (PDEs) appearing in advanced diffusion and interconnect reliability models.Starting from the general finite element method I present discretization and linearization methods for non-linear PDE equation systems.Since the finite element method closely depends on the properties of the underlying mesh and used time step control strategy, their connections are investigated and solutions are proposed.All discussed algorithms are eligible for the simulation in arbitrary three-dimensional domains. The capabilities of the presented numerical schemes are presented by simulation examples which at the same time motivate the three-dimensional approach. That is the case for the diffusion simulation in the presence of surface reactions and boundary conditions defined on explicit three-dimensional interfaces. The surface dynamics of the point defects has a strong impact on their overall behavior thus retarding or enhancing diffusion of dopants and determining the junction formation. The material transport induced by electromigration and accompanying driving forces is, due to the structure and composition of modern interconnect layouts, a three-dimensional phenomenon. The barrier layers, applied in the contemporary interconnect copper based technology, determine the material flux and promote or prevent electromigration. Three-dimensional mechanical stress distribution, having its source in thermal mismatch between layout materials or local vacancy dynamics, plays a significant role too.Apart from the simplistic and restrictive design rules, advanced, physically based simulation of electromigration phenomena, gives the opportunity to bring the ``driving forces'' to work, thus enhancing the reliability of the given interconnect structure. A special focus of this thesis is the careful derivation and analysis of the numerical schemes for the PDEs describing relevant physical phenomena and determining appropriate mesh and time step controlling rules. In this work complex diffusion models are handled by using advanced, finite element based, numerical methods. Algorithms for solving of these diffusion models are constructed and implemented in a software tool FEDO (Finite Element Diffusion and Oxidation Simulator).The applied discretization and linearizations schemes are well mathematically founded. Interface reactions are modeled with the contemporary models which are integrated in the simulator in a rigorous way. Three-dimensional simulations have been performed for several diffusion process steps relevant for the processing of state-of-the-art semiconductor devices. The simulation results demonstrate the physical plausibility of the applied models and numerical methods as well as the necessity of three-dimensional simulations. In this thesis I discuss different models and approaches dealing with electromigration reliability problems in modern interconnect layouts.Generally, a two stage approach for the electromigration simulation is adopted.The physics of the time period until the void nucleation is modeled as dynamic bulk vacancy phenomena and subsequent void evolution as void/metal interface material transport phenomenon.The numerical schemes to handle of the governing equations are presented together with appropriate mesh adaptation schemes. The predictive capability of the considered models is demonstrated by simulations which are carried out on different realistic interconnect structures.Modellierung und Simulation ermöglichen eine Verkürzung der Entwicklungszeiten und eine Reduktion der Kosten in der modernen Halbleitertechnologie.Neue Modellierungskonzepte benötigen eine längerfristige interdisziplinäre Forschung und neue numerische Methoden fr die Implementierung dieser Konzepte.Die Mannigfaltigkeit von physikalischen Phänomenen in Herstellungsprozessen und die Komplexität von elektromagnetischen Phänomenen benötigen eine Vielfalt an mathematischen Formulierungen.In dieser Arbeit betrachte ich die numerischen Methoden für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen, die in fortgeschrittenen Diffusion- und Verfügbarkeitsmodellen auftreten.Ausgehend von der allgemeinen Finite Elemente Methode präsentiere ich Diskretisierungs- und Linearisierungsmethoden für solche Systeme von Differentialgleichungen.Wegen der stark ausgeprägten Abhängigkeit der Finite Elemente Methode von den Eigenschaften der verwendeten Gitter sowie der gewählten Zeitschrittsteuerung werden die Zusammenhänge untersucht und Lösungen vorgeschlagen.Alle vorgestellten und diskutierten Algorithmen sind für die Simulationen von beliebigen dreidimensionalen Gebieten geeignet.Das Leistungsvermögen der präsentierten Algorithmen wird an Hand von Simulationsbeispielen veranschaulicht, die grundsätzlich einen dreidimensionalen Ansatz benötigen.Die Notwendigkeit von dreidimensionalen Simulationen wird auch für den Fall von Rand- und Grenzflächenbedingungen in dreidimensionalen Gebieten demonstriert.Die Oberflächendynamik von Punktdeffekten beeinflusst wesentlich das Gesamtverhalten der Diffusion von Dopanden. Auf diese Weise wird die Dopandendiffusion gefördert oder gebremst und somit die Form der Sperrschichtfläche bestimmt. Der Materialtransport, der durch Elektromigration und begleitende Antriebskräfte hervorgerufen wird, ist auf Grund der Ausführung moderner Leiterbahnen ein dreidimensionales Phänomen.Die Barrieren, die in den heutigen kupferbasierten Leiterbahntechnologien benötigt werden, begünstigen oder unterdrücken diesen Materialtransport. Die dreidimensionale Verteilung von mechanischen Spanungen, die durch die thermische Unausgeglichenheit oder lokale Vakanzendynamik entsteht, übt zusätzlich einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss aus. Im Unterschied zu den einfachen und einschränkenden Leiterbahnentwurfregeln, unterstützt eine fortgeschrittene und physikalisch basierte Elektromigrationssimulation die Möglichkeit der Optimierung des Leiterbahnentwurfs. Damit können die Elektromigrationskräfte kontrolliert und auch die Haltbarkeit von Leiterbahnstrukturen erhöht werden.Einer der Schwerpunkte dieser Arbeit ist die sorgfältige Herleitung und Analyse des numerischen Schemas für die partielle Differentialgleichungen, die für die Beschreibung der physikalischen Phänomene verwendet werden, sowie die optimal Bestimmung der Gitterpunkte in Zusammenhang mit der Zeitschrittsteuerung. Diese Arbeit behandelt komplexe Diffusionsmodelle unter Zuhilfenahme von Finite Elemente basierten numerischen Methoden.Die Algorithmen für die Lösung dieser Diffusionsmodelle wurden entworfen und sind in das Computerprogramm FEDOS (Finite Element Diffusion and Oxidation Simulator) implementiert.Die verwendeten Diskretisierungs- und Linearisierungsschemata beruhen auf einem soliden mathematischen Fundament.Für die Schnittstellenreaktionen werden aktuelle physikalische Modelle verwendet, die vollständig in die Gesamtsimulation integriert sind.Die dreidimensionele Simulationen wichtiger Herstellungsprozesschritte für die moderne Halbleiterbauelementetechnologie sind durchgeführt.Die Simulationsergebnisse demonstrieren die physikalische Plausibilität der verwendeten Modelle und numerischen Methoden sowie die Notwendigkeit einer dreidimensionalen Simulation. In dieser Arbeit diskutiere ich verschiedene Modelle und Ansätze zur Handhabung des Problems der Elektromigration in modernen Leiterbahnstrukturen.Allgemein wird ein zweistufiger Simulationsansatz für die Elektromigrationssimulation verwendet.Die Physik bis zum Zeitpunkt von Hohlraumkeimbildung wird auf der Basis der Leerstellendynamik und darauffolgender Hohlraumentwicklung als Hohlraum/Metall Schnittstelle Materialtransportphänomen modelliert. Die numerischen Schemata für die Handhabung von Modellgleichungen werden zusammen mit entsprechenden Gitterkontrollmechanismen präsentiert.Die Prognosefähigkeit der verwendeten Modelle wird mittels Simulationen demonstriert, die an unterschiedlichen realistischen Leiterbahnstrukturen durchgeführt werden.<br /
- …
