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Riesz bases of exponentials on unbounded multi-tiles
No full textWe prove the existence of Riesz bases of exponentials of L2(Ω), provided that Ω ⊂ ℝd is a measurable set of finite and positive measure, not necessarily bounded, that satisfies a multi-tiling condition and an arithmetic property that we call admissibility. This property is satisfied for any bounded domain, so our results extend the known case of bounded multi-tiles. We also extend known results for submulti-tiles and frames of exponentials to the unbounded case.Fil: Cabrelli, Carlos. Universidad de Buenos Aires; ArgentinaFil: Carbajal, Diana Agustina. Universidad de Buenos Aires; Argentin
Shift-modulation invariant spaces on LCA groups
No full textA (K,Λ) shift-modulation invariant space is a subspace of L2(G) that is invariant under translations along elements in K and modulations by elements in Λ. Here G is a locally compact abelian group, and K and Λ are closed subgroups of G and the dual group Gˆ, respectively. We provide a characterization of shift-modulation invariant spaces when K and Λ are uniform lattices. This extends previous results known for L2(Rd). We develop fiberization techniques and suitable range functions adapted to LCA groups needed to provide the desired characterization.Fil: Cabrelli, Carlos. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Paternostro, Victoria. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; Argentin
Riesz bases of exponentials and the Bohr topology
No full textWe provide a necessary and sufficient condition to ensure that a multi-tile Ω ⊂ Rd of positive measure (but not necessarily bounded) admits a structured Riesz basis of exponentials for L2(Ω). New examples are given and this characterization is generalized to abstract locally compact abelian groups.Fil: Cabrelli, Carlos. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; ArgentinaFil: Hare, Kathryn. University of Waterloo; CanadáFil: Molter, Ursula Maria. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; Argentin
Learning the model from the data
No full textThe task of approximating data with a concise model comprising only a few parameters is a key concern in many applications, particularly in signal processing. These models, typically subspaces belonging to a specific class, are carefully chosen based on the data at hand. In this survey, we review the latest research on data approximation using models with few parameters, with a specific emphasis on scenarios where the data is situated in finite-dimensional vector spaces, functional spaces such as L2(Rd), and other general situations. We highlight the invariant properties of these subspace-based models that make them suitable for diverse applications, particularly in the field of image processing.Fil: Cabrelli, Carlos. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Molter, Ursula Maria. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentin
Linear combinations of frame generators in systems of translates
No full textA finitely generated shift invariant space V is a closed subspace of L2(Rd) that can be generated by the integer translates of a finite number of functions. A set of frame generators for V is a set of functions whose integer translates form a frame for V . In this note we give necessary and sucient conditions in order that a minimal set of frame generators can be obtained by taking linear combinations of the given frame generators. Surprisingly the results are very dierent from the recently studied case when the property to be a frame is not required.Fil: Cabrelli, Carlos. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas ; ArgentinaFil: Mosquera, Carolina Alejandra. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas ; ArgentinaFil: Paternostro, Victoria. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas ; Argentin
¿Wavelets, Ondículas?: Una buena señal
No full textDistintas representaciones de un mismo objeto permiten descubrir o resaltar propiedades no visibles en otras representaciones. Decidir u obtener la representación adecuada para reconocer ciertas propiedades de un objeto, del cual se conoce solo una serie de mediciones, es una tarea común en procesamiento de señales. En esta nota se describen algunas de las principales ideas detrás de una nueva teoría matemática, la teoría de Wavelets, que revolucionó el campo de las aplicaciones en diversas arreas de la ciencia. Las wavelets permiten obtener representaciones compactas de señales e imágenes, descubrir propiedades geométricas y reconocer formas u objetos en imágenes naturales y en general realizar con más eficiencia, la mayoría de los procesos básicos en procesamiento de señales, necesarios en aplicaciones tecnológicas de punta.Fil: Cabrelli, Carlos. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Molter, Ursula Maria. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentin
Visible and Invisible Cantor Sets
No full textIn this chapter we study for which Cantor sets there exists a gauge-function h, such that the h−Hausdorff measure—is positive and finite. We show that the collection of sets for which this is true is dense in the set of all compact subsets of a Polish space X. More general, any generic Cantor set satisfies that there exists a translation-invariant measure μ for which the set has positive and finite μ-measure.In contrast, we generalize an example of Davies of dimensionless Cantor sets (i.e., a Cantor set for which any translation invariant measure is either 0 or non-σ-finite) that enables us to show that the collection of these sets is also dense in the set of all compact subsets of a Polish space X.Fil: Cabrelli, Carlos. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; ArgentinaFil: Darji, Udayan. University of Louisville; Estados UnidosFil: Molter, Ursula Maria. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentin
Subspaces with extra invariance nearest to observed data
No full textGiven an arbitrary finite set of data F = {f1, ..., fm} ⊂ L2(Rd) we prove the existence and show how to construct a “small shift invariant space” that is “closest” to the data F over certain class of closed subspaces of L2(Rd). The approximating subspace is required to have extra-invariance properties, that is to be invariant under translations by a prefixed additive subgroup of Rd containing Zd. This is important for example in situations where we need to deal with jitter error of the data. Here small means that our solution subspace should be generated by the integer translates of a small number of generators. An expression for the error in terms of the data is provided and we construct a Parseval frame for the optimal space. We also consider the problem of approximating F from generalized Paley–Wiener spaces of Rd that are generated by the integer translates of a finite number of functions. That is finitely generated shift invariant spaces that are translation invariant. We characterize these spaces in terms of multi-tile sets of Rd, and show the connections with recent results on Riesz basis of exponentials on bounded sets of Rd. Finally we study the discrete case for our approximation problem.Fil: Cabrelli, Carlos. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santalo". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santalo"; ArgentinaFil: Mosquera, Carolina Alejandra. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santalo". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santalo"; Argentin
Invariance of a Shift-Invariant Space in Several Variables
No full textIn this article we study invariance properties of shift-invariant spaces in higher dimensions. We state and prove several necessary and sufficient conditions for a shift-invariant space to be invariant under a given closed subgroup of Rd, and prove the existence of shift-invariant spaces that are exactly invariant for each given subgroup. As an application we relate the extra invariance to the size of support of the Fourier transform of the generators of the shift-invariant space. This work extends recent results obtained for the case of one variable to several variables.Fil: Anastasio, Magalí. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Cabrelli, Carlos. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Paternostro, Victoria. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ingenieria. Departamento de Matematicas; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentin
Multi-orbital frames through model spaces
No full textWe characterize the normal operators A on ℓ2 and the elements ai∈ ℓ2, with 1 ≤ i≤ m, such that the sequence {Ana1,…,Anam}n≥0is a frame. The characterization makes strong use of the pseudo-hyperbolic metric of D and is given in terms of the backward shift invariant subspaces of H2(D) associated to finite products of interpolating Blaschke products.Fil: Cabrelli, Carlos. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; ArgentinaFil: Molter, Ursula Maria. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; ArgentinaFil: Suárez, Daniel. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Saavedra 15. Instituto Argentino de Matemática Alberto Calderón; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; Argentin
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