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«An agreed principle in geometry: a magnitude consists of parts infinitely divisibile» (In pr. Eucl., p. 278, ll. 11-12). Proclus’ reception of the Pseudo-aristotelian work "On the Indivisibile Lines"
No full textIn many passages of his writings Proclus refers to the theory of "atomoi grammai", attributing it to Plato’s scholar Xenocrates of Chalcedon (i.e. In Tim. II, p. 246, l. 1 ff.; p. 165, l. 8 ff.; In Rem Publ. II, p. 27, l. 4 ff.; p. 48, l. 5 ff.; In Parm., p. 888, ll. 17-36; Instit. Phys. I, sect. 14 ll. 2-17; sect. 17, l. 10 ff.). The most relevant of these passages is to be found in his Commentary on the first Book of Euclid’s Elements (In pr. Eucl., Part I, Prop. X), where he recalls arguments focussing on the «incommensurability among magnitudes» (p. 278, l. 20), that can be read in the Pseudo-aristotelian work On the Indivisibile Lines (968 b 5-22). In this Opusculum (preserved and transmitted inside the Corpus Aristotelicum, but probably spurious) the Author presents a series of “proofs” of the existence of atomoi grammai (968 a 2-b 22), before moving against them “counter-proofs” (968 b 22-969 b 28) and many different arguments, which defend the character of continuity (syneches) of lines and magnitudes (969 b 28-972 34). Proclus’ passage about the same controversy was never thouroghly analysed (for example, only a few number of footnotes are devoted to it by G. Morrow in his translation, Princeton 1970, 19922; stimulating but not systematic comments are made on it by O. Apelt, Beiträge zur Geschichte der griechischen Philosophie, Leipzig 1891, p. 267 ff. and M. Timpanaro-Cardini, Pseudo-Aristotele, De lineis insecabilibus, Milano-Varese 1970, pp. 34-37). I’d like to comment it line by line in order to throw light on two main points: 1. Proclus’ sources and the way he uses them – with particular regard to Geminus (p. 278, l. 12); 2. the position he attributes to Euclid (p. 279, l. 1 ff.) and the one he assumes himself in the ancient debate about continuity or discontinuity of geometrical magnitudes: the divisibility of every continuum (whose definition is given at p. 278, ll. 15-16) is according to Proclus an «axiom» (ivi, l. 24); that every continuum is divisible to infinity is neither an axiom, nor a «hypothesis» (278, l. 2), but it can be demonstrated by geometers «from appropriate principles» (ivi, l. 19)
“Geometria Physica”. L’analisi geometrica degli elementi fisico-chimici nel “Timeo” come immagine dell’ambiguità della matematica e del suo potere di mediazione
No full textAlessandro di Afrodisia, Commento al libro M della "Metafisica"; Commento al libro N della "Metafisica"
No full textViene presentato per la prima volta in traduzione introdotta e annotata il commento attribuito ad Alessandro di Afrodisia – ma scritto da uno pseudo-Alessandro (probabilmente Michele di Efeso) – agli ultimi due libri della “Metafisica” di Aristotele (la stessa versione latina di Sepulveda termina al libro "Lambda"). Come indicato nelle Introduzioni e nelle note alla traduzione, si tratta di un testo che contiene le informazioni più importanti a noi pervenute sulle filosofie della matematica di Platone, degli Accademici Antichi, di Aristotele, e di parte dei Pitagorici. Ma il modo in cui l’Autore ci informa è significativo, perché “trasforma” dal punto di vista terminologico e concettuale la pagina aristotelica sotto un indubbio influsso neo-platonico, che emerge specialmente a proposito della cosiddetta teoria dell’“astrazione matematica”.Ps. Alexander’s (probably Michael of Ephesus’) Commentary of the two last books (M-N) of Aristotle’s “Metaphysics” is for the first time translated (even Sepulveda's latin version of the Commetary stops at Metaph. "Lambda"). As explained in the Introductions and Notes to the translation, its pages give us many of the most important information we can have about Pythagoreans’, Plato’s, Old Academicians’ and Aristotle’s philosophies of mathematics. But the strong point of the work is the way in which the Author “transformes” Aristotle’s arguments, presenting their terminology and concepts under an evident neo-platonic influence, that becomes especially clear in the passages where he mentions or discusses mathematical “abstraction”
Sognare il numero, il pari, il dispari. Una “matematica-fantasma” nel "Parmenide" di Platone
No full text1.L’intervento si concentra sull’ultimo passo del Parmenide in cui compaiono arithmos, pari e dispari (164 c 8-165 e 1). Si tratta di un numero, di un pari e di un dispari, di cui «si opina» (165 e 1) o «appare» senza corrispondere a verità (164 e 3), «come sognando in un sogno» (164 d 3), l’appartenenza ad onkoi, ossia “agglomerati” (164 d 1); a ciascun onkos spetta, fra le altre proprietà che se ne ricordano, solo un «simulacro di uguaglianza» (165 a 5: phantasma isotetos): l’uno, infatti, che sembra costituirlo, ma «non è», appare istantaneamente uno e infinitamente molteplice, piccolissimo e immenso (p. es. 164 d 2-4); esso stesso può sembrare qualcosa di unitario, ma allorché venga «colto con il pensiero» (165 a 8, b 6) di fatto si frantuma in una pluralità illimitata, come quando si osserva da vicino qualcosa che si vedeva da lontano (cfr. 165 a 5-c 5); di per sé e in relazione agli altri, esso appare simile e dissimile, identico e diverso, in contatto e separato, immobile e in movimento, come le figure dipinte in prospettiva (165 c 6-e 1). 2. Il passo ha uno sfondo non solo “fisicofenomenista”, ma anche matematico. È già stato rilevato dagli interpreti (p. es. Migliori, Sayre, Graeser, Coxon) il suo nesso con argomenti che possono risalire a Zenone, a Democrito e a Protagora (in linea con Tim. 54 d e Theaet. 152 d); si può tuttavia riscontrare più di un legame con alcuni tratti della aritmetike e della logistike, condivisi anche dalla geometria, descritti in Resp. VI-VII(cfr. Resp. VII, 533 b 6). 3. L’aspetto “fenomenico” della matematica si può riscontrare anche in punti precedenti del dialogo (p. es. 144 a 6-7; 158 b 8-c 5), nei quali si prospetta un numero svincolato sia dall’essere, sia dall’uno. Questi numeri “fantasma” funzionano come una sorta di contro-modello rispetto a tutte le multiformi apparizioni di arithmos, pari e dispari, o di singoli arithmoi, nel corso del dialogo, dove i numeri, intesi sia come numeri-oggetto (insiemi di unità; membri di una serie), sia come proprietà numeriche (143 d 1 ss.), di cose sensibili e di forme (130 a 2, 135 e 3-4), presentano sempre un rapporto, complicato ma essenziale, con l’essere e con l’uno
Apologie des défenseurs des lignes insécables
No full textSi presenta un commento analitico della prima parte del trattato pseudo-aristotelico "De lineis insecabilibus", nel tentativo di enucleare le ragioni teoriche che possono aver spinto alcuni Accademici (intorno a Senocrate) a difendere l'esistenza di "atomoi grammai"
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