1,720,973 research outputs found
On some generalizations of almost periodic functions and their applications
Full text linkWydział Matematyki i InformatykiGłównym celem rozprawy jest zbadanie rozwiązań równania różniczkowego liniowego y’(x)=λy(x)+f(x), (λ≠0), gdzie f jest funkcją prawie okresową w uogólnionym sensie. Rozważamy dwie klasy uogólnionych funkcji prawie okresowych - klasę funkcji prawie okresowych względem miary Lebesgue'a (w skrócie: μ-p.o.) oraz klasę funkcji prawie okresowych w sensie Lewitana (w skrócie: LAP). Dla obu klas podajemy warunki, które gwarantują odpowiednio istnienie oraz nieistnienie uogólnionego rozwiązania prawie okresowego. Ponieważ rozwiązania powyższego równania zazwyczaj można wyrazić za pomocą splotu z pewną funkcją z przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a, więc szczególna uwaga jest poświęcona operatorowi splotu. Ponadto w niniejszej rozprawie rozważamy tak zwany model ,,leaky-integrate-and-fire''. Model ten jest określony dla tego samego równania różniczkowego liniowego (λ ≤ 0). W modelu tym badamy własności tak zwanego ,,firing map'', ,,displacement map'' oraz liczby obrotu. Ponadto w rozprawie porównujemy klasę ciągłych funkcji μ-p.o. z klasą funkcji LAP. Jednocześnie, podajemy odpowiedź na pewien otwarty problem dotyczący funkcji prawie automorficznych.The main goal of this thesis is to examine solutions of linear differential equation y’(x)=λy(x)+f(x), (λ≠0), where f is almost periodic function in a generalized sense. We consider two classes of generalized almost periodic functions - the class of almost periodic functions in view of the Lebesgue measure (briefly: μ-a.p.) and the class of almost periodic functions in the Levitan sense (briefly: LAP). For both classes we give conditions which guarantee respectively an existence and a nonexistence generalized almost periodic solution. Since a solution of above equation usually can be expressed by means of the convolution with some function from the space Lebesgue integrable functions, so a special attention is devoted by the convolution operator. Moreover, in this dissertation we consider so-called ,,leaky-integrate-and-fire'' model. This model is defined for the same linear differential equation (λ ≤ 0). I this model we investigate properties of the so-called ,,firing map'', ,,displacement map'' and ,,rotation number''. Moreover, in this thesis we compare the class of continuous μ-a.p. functions with the class of LAP functions. Simultaneously, we give an answer to the some open question concerning almost automorphic functions
Fixed point theorems for certain classes of nonlinear operators with applications
Full text linkWydział Matematyki i InformatykiCelem rozprawy jest udowodnienie pewnych twierdzeń o punktach stałych dla wybranych operatorów nieliniowych. Wśród uzyskanych wyników należy wymienić: twierdzenia dla odwzorowań słabo F-kontrakcyjnych oraz silnie F-rozszerzających, twierdzenie typu Möncha, twierdzenia typu Leggetta-Williamsa dla odwzorowań dodatnich określonych w częściowo uporządkowanych przestrzeniach Banacha, a także twierdzenia typu Lovelady'ego dla odwzorowań powstających jako złożenie odwzorowania lipschitzowskiego z odwzorowaniem wyższego rzędu. Odwzorowania wyższego rzędu stanowią temat oddzielnego rozdziału pracy. Omówiono w nim ogólne własności takich odwzorowań, jak również szczegółowo przebadano operatory superpozycji oraz nieliniowe operatory całkowe Hammersteina określone w przestrzeniach funkcji o ograniczonej wariacji oraz w przestrzeniach funkcji prawie okresowych. W rozprawie prezentujemy także zastosowania udowodnionych wyników, w tym również nowych wyników dotyczących pewnych klas funkcji prawie okresowych, do teorii równań całkowych oraz różniczkowych, głównie w przestrzeni funkcji
o ograniczonej φ-wariacji oraz w przestrzeniach funkcji prawie okresowych. Rozważamy zagadnienia istnienia oraz jedyności rozwiązania m.in. dla uogólnionego równania Fredholma, mieszanego równania Volterry-Fredholma i nieliniowego równania całkowego Hammersteina z oraz bez zaburzenia.The main goal of the PhD thesis is to prove certain fixed point theorems for nonlinear operators; among the discussed results are: theorems for weakly F-contractive and strongly F-expansive mappings, a Mönch type theorem, Leggett-Williams type theorems for positive mappings acting in partially ordered Banach spaces as well as Lovelady type theorems for mappings which can be represented as a superposition of a Lipschitzian mapping and a mapping of higher order. A chapter of the thesis is devoted to the detailed study of mappings of higher order. General properties of such mappings as well as some results concerning superpostion operators and nonlinear Hammerstein integral operators acting in the spaces of functions of bounded variation and in the spaces of almost periodic functions of various kinds are established. Some new applications of the obtained results (including the new results concerning certain classes of almost periodic functions) to the theory of nonlinear equations, mainly in the space of functions of bounded φ-variation and in the spaces of almost periodic functions, are indicated. The existence and uniqueness of solutions to generalized Fredholm integral equations, mixed Volterra-Fredholm equations as well as Hammerstein nonlinear integral equations with and without perturbation is discussed
Non-linear superposition operators in the space of functions of bounded variation
Full text linkWydział Matematyki i InformatykiW pracy zajmujemy się operatorami superpozycji działającymi na przestrzeni funkcji o ograniczonej wariacji w sensie Jordana (BV). Podajemy warunki konieczne i dostateczne na to, aby nieautonomiczny operator superpozycji przekształcał przestrzeń BV w siebie. Pokazujemy, że jeśli operator nieautonomiczny , generowany przez funkcję lokalnie ograniczoną, przekształca przestrzeń BV w siebie, to jest automatycznie operatorem ograniczonym na BV. Ponadto podajemy dowód ciągłości autonomicznego superpozycji , o ile przekształcająca on przestrzeń BV w siebie. Pokazujemy też, że jeśli nieautonomiczny operator superpozycji jest generowany przez funkcję klasy C1, to jest on jednostajnie ciągły na zbiorach ograniczonych przestrzeni BV. Podajemy również warunki konieczne i dostateczne na to, by nieautonomiczny operator superpozycji przekształcający przestrzeń BV w siebie był na niej ciągły.In this work we deal with superposition operators working on the space of functions of bounded variation in the sense of Jordan (the BV space). We provide necessary and sufficient conditions for the nonautonomous superposition operator to transform the BV space into itself. We show that if a nonautonomous operator, generated by a locally bounded function, transforms the BV space into itself, then it is automatically a locally bounded operator on the BV space. In addition, we provide a proof of the continuity of autonomous superposition operator, if it transforms the BV space into itself. We also show that if a non-autonomous superposition operator is generated by a function of C1-class, then it is uniformly continuous on bounded subsets of the BV space. We also provide necessary and sufficient conditions for the non-autonomous superposition operator to continuously transform the BV space into itself
On Some Metric Spaces, Their Properties And Applications
No full textIn 1956 Aronszajn and Panitchpakdi found that the necessary and sufficient condition which guarantees the extension of a uniformly continuous mapping T (with a subadditive modulus of continuity) between two metric spaces is that the range of T has to be hyperconvex. Since then these spaces have played an important role among metric spaces. Also the Kuratowski measure of noncompactness introduced in 1930 has important applications in various areas of mathematics, for instance, in nonlinear differential equations in Banach spaces and fixed point theory. In this thesis, we will define some new metrics on the plane R2 and we will study the properties of the space R2 with these metrics from the point of view of hyperconvexity, measure of noncompactness and completeness. We will also give the solution of an open problem concerning hyperconvexity of a space via the measure of noncompactness of bounded sets in such a metric space
On a Construction of Some Class of Metric Spaces
Full text linkIn this talk we are going to describe Sz´az’s construction of some class of metric spaces. Most of all we will analyze topological properties of metric spaces obtained by using Sz´az’s construction. In particular, we provide necessary and sufficient conditions for completeness of metric spaces obtained in this way. Moreover, we will discuss the relation between Sz´az’s construction and the “linking construction”. A particular attention will be drawn to the “floor” metric, the analysis of which provides some interesting observations
On The Convolution Operator And Applications To Differential And Integral Equations
No full textWe take an in-depth look at conditions which ensure the pseudo almost periodicity, asymptotic almost periodicity and the almost automorphy of the convolution of f with h denoted by f * h where f is pseudo almost periodic, asymptotically almost periodic or almost automorphic and h is a Lebesgue integrable function. We make extensive use of these conditions to investigate the pseudo almost periodic, asymptotically almost periodic and almost automorphic solutions of some differential and integral equations
On the existence of weak solutions of integral equations in Banach spaces
Full text linksummary:In this paper we investigate weakly continuous solutions of some integral equations in Banach spaces. Moreover, we prove a fixed point theorem which is very useful in our considerations
On the Volterra integral equation and axiomatic measures of weak noncompactness
Full text linksummary:We prove that a set of weak solutions of the nonlinear Volterra integral equation has the Kneser property. The main condition in our result is formulated in terms of axiomatic measures of weak noncompactness
- …
