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An effective representation for finitely generated free interior algebras
No full textWe give a representation of finitely generated free interior algebras and of the Heyting algebras of their open elements. By means of the representation we give a new and strengthened version of some earlier theorems of McKinsey-Tarski and Blok, etc. regarding such algebras. © 1985 Birkhäuser Verlag
Antianaireisis and greek harmonic theory [L'antanairesi e la teoria armonica greca]
No full textL'antanairesi, letteralmente "sottrazioni reciproche", è il metodo oggi conosciuto come Algoritmo Euclideo. Negli Elementi è applicato sia per la la ricerca del MCD di due numeri naturali sia per determinare la commensurabilità o meno di due grandezze. La più antica testimonianza di un processo antanairetico compare in un frammento di Filolao, ed è relativa alla definizione degli intervalli della scala musicale diatonica pitagorica. Poiché gli intervalli di ottava e di quinta, da cui l'antanairesi parte, sono tra loro incommensurabili, l'antanairesi risulta infinita. Le troncature di questa antanairesi, che corrispondono alle ridotte di una frazione continua, producono i vari temperamenti della scala pitagorica, il più significativo dei quali è il temperamento equabile, adottato a partire dal '600 dalla musica occidentale
Finitely generated free Heyting algebras
No full textThe aim of this paper is to give, using the Kripke semantics for intuitionism, a representation of finitely generated free Heyting algebras. By means of the representation we determine in a constructive way some set of “special elements” of such algebras. Furthermore, we show that many algebraic properties which are satisfied by the free algebra on one generator are not satisfied by free algebras on more than one generator
L'anamorfosi logaritmica degli intervalli pitagorici
No full textUn intervallo musicale è percepito come una distanza - dunque una differenza - tra due suoni, ma due intervalli sono ritenuti uguali quando ad essi corrispondono uguali rapporti, e non uguali differenze. Il lavoro analizza gli effetti che questa distorsione anamorfica, unitamente all'assenza dello strumento idoneo a risolverla (i logaritmi), ha avuto sulla teoria pitagorica delle proporzioni e più in generale sulla termonologia della nascente matematica greca
Post complete and 0-axiomatizable modal logics
No full textThe study of dual spaces of finitely generated free algebras over equational classes of modal algebras or Heyting algebras provides a tool which permits the resolution in a uniform way of a considerable number of otherwise disconnected problems, which concern normal modal logics and intermediate logics (see, as regards the former, [8] and [2], and, as regards the latter, [3] and [4]). In the present paper we study the O-canonical models for the propositional normal modal logics, which are, up to isomorphism, the dual spaces of the free algebras without generators over the equational classes of modal algebras. This analysis allows us, via a result due to Makinson-Segerberg, to determine in a rather visualizable way the Post numbers of all the propositional normal modal logics which are standard in the literature; moreover it allows us to solve the problem of finding, for each cardinal number (Y such that 1s (YG 2%, the cardinality of the set of logics whose Post number is CY. Finally, we investigate the lattice A’(K) of the modal logics which are axiomatizable by means of formulas without propositional variables; among other things, we show that A’(K) is not dually strongly atomic and contains a sublattice isomorphic to (R , S) . All these results strengthen the impression of the great complexity of the lattice A(K) of all normal modal logics
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