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Emaranhadores, estados quânticos e uma contribuição à conjectura de Lehmer
Get PDFEste trabalho apresenta alguns problemas matemáticos ligados à Mecânica Quântica e à Teoria de Números; mais precisamente, este trabalho apresenta três problemas: dois deles no contexto da Mecânica Quântica e o terceiro no âmbito da Teoria de Números. O primeiro problema, dentro do contexto da Mecânica Quântica, trata de determinar a geometria dos estados da esfera de Bloch que representem estados fisicamente realizáveis. Tal geometria herda uma simetria que é preservada por transformacões isoespectrais que compõem um grupo abeliano; nesse sentido, obtivemos os mesmos resultados de Mendas, em [14], e Kimura, em [10] e [11], mas por um método diferente. Em [10] e [11] o problema é abordado inteiramente em coordenadas esféricas, o que conduz a uma formulação ligeiramente diferente na obtenção dos autolavores do operador densidade. Em [14], a mesma ideia de [10] e [11] é abordada mas em dimensão d = 4. Em ambas as referências o ponto principal foi tomar interseção da esfera de Bloch com hiperplanos especiais do espaço, isso permitiu aos autores utilizar métodos computacionais e ilustrar regiões de interesse na tentativa de compreender melhor a geometria do problema. Já o segundo problema trata de descobrir propriedades de sistemas dinâmicos quânticos, como convergência e velocidade de convergência de produto de matrizes unitárias sorteadas aleatoriamente para emaranhadores universais. Conseguimos um resultado interessante que garante a convergência com velocidade exponencial, mesmo sob condições relativamente gerais. Tal resultado é importante devido ao interesse da comunidade acadêmica em entender melhor emaranhadores universais e usá-los em aplicações da computação quântica. Mais especificamente, nosso resultado garante que dado um número finito de elementos u1, ... un ∈... U (n) escolhidos ao acaso, então o produto de elementos aleatoriamente sorteados na vizinhança dos elementos u1, ..., un converge fraco-estrela para um emaranhador universal na medida de Haar em U(n). Tal resultado pode auxiliar no entendimento de propriedades de emaranhadores universais e em aplicações da computação quântica, tópicos que vêm sendo bastante estudados pela comunidade acadêmica. Finalmente, o terceiro problema, pertencente à área de Teoria de Números. É uma conjectura que encontra-se sem solução desde 1932, quando foi formulada por Derrick Henry Lehmer. Uma nova abordagem na tentativa de resolver este problema é apresentada.This thesis presents some mathematical problems related to Quantum Mechanics and Number Theory; more precisely, this thesis presents three problems not correlated to each other, two of them on the field of Quantum Mechanics, and one on the field of Number Theory. The first problem deals with geometric aspects of the Bloch Sphere that represent physically achievable states. Such geometry inherits a symmetry that is preserved by isospectral transformations that compose an abelian group. The second deals with aspects of quantum dynamical systems, such as convergence and speed of convergence, which try to approximate universal entanglers through successive applications of unitary operators, randomly chosen. We have achieved an interesting result that guarantees convergence with exponential speed even under relatively general conditions, which is important because of the interest of the academic community to better understand universal entanglers and use them in applications of quantum computation. The third problem belongs to the field of Number Theory and deals with a conjecture that has been unsolved since 1932, when it was formulated by Derrick Henry Lehmer. A new approach in trying to solve this problem is presented
Convergência da convolução de probabilidades invariantes pelo deslocamento
Get PDFEssa tese foi inspirada no artigo [10] de Lindenstrauss et al. e remete ao trabalho fundamental de Furstenberg [5]. Sejam (Z=pZ)N o produto cartesiano unlilateral de in nitas cópias de Z=pZ e a função shift em (Z=pZ)N.This thesis was inspired by the Lindenstrauss' article [10] and the fundamental work of Furstenberg [5]. Let (Z=pZ)N be the compact group which is the cartesian product of in nite copies of the nite group Z=pZ and be the shift function on (Z=pZ)N
Contribuições para a teoria de dimensão média métrica e para a teoria de dimensão de Hausdorff média
Get PDFEste trabalho tem por objetivo contribuir com a teoria de dimensão média métrica (LINDENSTRAUSS; WEISS, 2000) e a teoria de dimensão de Hausdorff média (LINDENSTRAUSS; TSUKAMOTO, 2019). Nesse sentido, esta investigação aborda cinco pontos, são eles: 1) a definição da aplicação shift t-modificado e sua exploração quanto a sua dimensão média métrica em diferentes contextos; 2) a definição do conceito de existência de ponto de dimensão média métrica e a constatação que dinâmicas não-autônomas localmente homeomorfas possuem tal ponto; 3) a demonstração que aplicações contínuas definidas em espaços de Banach, que gozam da propriedade de especificação geral, têm dimensão média métrica positiva; 4) a investigação do conceito de dimensão de Hausdorff média quanto a suas propriedades; 5) a exploração do comportamento da dimensão média métrica e da dimensão de Hausdorff média quanto a variação da métrica do espaço.This work aims to contribute to the theory of metric mean dimension (LINDENSTRAUSS; WEISS, 2000) and the theory of mean Hausdor dimension (LINDENSTRAUSS; TSUKAMOTO, 2019). In this sense, this investigation approches ve points: 1) the de nition of the t-modi ed shift map and its exploration about its metric mean dimension in di erent contexts; 2) the de nition of the concept of point of the metric mean dimention and the nding that non-autonomous dynamics locally homeomorphic have this point; 3) the demonstration that continuous maps de ned in Banach spaces, that enjoy general speci - cation property, have positive metric mean dimension; 4) the investigation of the concept of mean Hausdor dimension about its properties; 5) the exploration of the behavior of metric mean dimension and of mean Hausdor dimension about the variation of metric in the space
S-convolução e o operador de transferência generalizado
Get PDFNesta tese apresentamos uma variação do conceito de convolução de medidas. Tratase da S-convolução, uma operação derivada da convolução usual, porém não-associativa e não-comutativa. Exploramos suas principais propriedades e suas relações com caracteres do grupo (Z=pZ)N. Utilizando tais relações, diagonalizamos algumas matrizes Bloco-Hankel. Na segunda parte da tese, de nimos o operador de transferência generalizado, inspirados na de nição de subshift generalizado desenvolvida, por exemplo, nos trabalhos de Gromov em [5] e de Friedland em [3]. Nesse contexto, provamos o Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius.In this thesis we present a variation of concept of the convolution measure. This is a S-convolution, a derived operation of the usual convolution, but noncommutative and nonassociative. We have explored its main properties and its relationship with characters of the (Z=pZ)N group. Using such relations, we have diagonalized some Bloco-Hankel matrices. In the second part of this thesis, we have de ned a generalized transfer operator, inspired by the de nition of the generalized subshift developed, for example, in the works of Gromov in [5] and Friedland in [3]. In this context, we have proved the Ruelle-Perron-Frobenius Theorem
Deslocamentos em Z² : equação cohomológica e operadores de transferência
Get PDFNosso objetivo nesse trabalho é estudar o comportamento dos operadores de transferência em f0, 1gN2 , um associado ao deslocamento horizontal (se1 ) e outro associado ao deslocamento vertical (se2 ). Construímos uma equação cohomológica para fins de ampliar a gama de funções às quais os operadores de transferência se aplicam. Estudamos também o comportamento do operador de transferência obtido pela composição dos dois operadores citados e, em condições de comutatividade, encontramos um autovalor e uma autofunção associada, ambos estritamente positivos, e uma automedida para o operador dual, associada ao mesmo autovalor. Tal automedida é um estado de equilíbrio. Além disso, estudamos algumas propriedades ergódicas de transformações de blocos.In this work we study the behavior of the transfer operators in f0, 1gN2 , one associated with horizontal shift (se1 ) and other associated with vertical shift (se2 ). We build a cohomological equation for the purpose of expanding the range of functions to which the transfer operators apply. We also study the behavior of the transfer operator obtained by the composition of the two cited operators and, in the conditions of commutativity, we find an eigenvalue and an associated eigenfunction, both strictly positive, and an eigen measuse for the dual operator, associated with the same eigenvalue. This eigen measure is an equilibrium state. Furthermore, we study some ergodic properties of block transformations
Dimensão métrica média de deslocamentos de tipo finito em alfabetos compactos
Get PDFDeslocamentos de tipo finito são uma classe de sistemas, com entropia topológica conhecida, definidos em determinados subespaços invariantes de {1,... d}k, onde K = N ou Z. No presente texto, substituimos o alfabeto finito por um métrico compacto X para estudar deslocamentos com transições dadas por um conjunto fechado Γ C X x X. Em geral, tais deslocamentos terão entropia infinita, conduzindo ao estudo da sua dimensão métrica média. Provamos que a dimensão de sistemas unilaterais e bilaterais induzidos por um mesmo T coincidem, como é o caso da entropia, calculamos explicitamente o seu valor em uma classe de exemplos e mostramos uma aplicação do modelo em ações de semi-grupos finitamente gerados. Para mostrar tais resultados, antes obtemos uma prova simples e análoga ao caso da entropia de que para qualquer f : X -> X contínua num métrico compacto, sua restrição a \1 n=0fn(X) tem dimensão métrica média total. Os resultados originais do texto são: Corolário 5.6, Teorema 6.2, Teorema 6.5, Corol ario 6.6 e o Teorema 7.2.Subshifts of nite type are a class of systems, with known topological entropy, de ned on certain invariant subspaces of {1,...d}k, where K= N or Z. In the present text, we replace the nite alphabet by a compact metric one X in order to study subshifts with transitions described by a closed subset Γ C X x X. In general, such systems will have in nite topological entropy, leaning towards the study of its metric mean dimension. We prove that the dimension of unilateral and bilateral systems induced by the same Γ coincide, as it is the case of entropy, calculate its value explicitly on a class of examples and show an application of the model to nitely generated semi-group actions. To show such results, before we obtain a simple proof, analogous to the entropy case, that for any continuous f : X -> X on a compact metric space, its restriction to \1 n=0fn(X) has full metric mean dimension. The original results of the text are Corollary 5.6, Theorem 6.2, Theorem 6.5, Corollary 6.6 and Theorem 7.2
Cociclos de funções homogêneas e espaço simbólico com longa memória
No full textO presente trabalho apresenta dois resultados, cada um deles de uma área distinta dos sistemas dinâmicos. No primeiro deles, propomos uma nova classe de cociclos gerados por funções homogêneas. Definimos o maior e o menor expoentes de Lyapunov associados a tal classe de cociclos e provamos um resultado sobre aproximação periódica para os expoentes em termos da norma num contexto de dimensão infinita. Como aplicação dessa aproximação periódica, mostramos que a taxa de crescimento exponencial em termos da norma e a distorção quase conforme de um cociclo homogêneo, podem ser dados em termos de pontos periódicos. No segundo deles, construímos um novo subconjunto de {0,1}N, que será chamado de frequency shift, o qual possui longa memória. Mostramos que esse conjunto não é um espaço subshift do tipo finito e ainda, conseguimos obter uma cota inferior para a entropia topológica, garantindo assim, que a mesma seja positiva.It presents two results, each one of them from a di erent area inside the dynammical systems. In the rst part, we discuss a new class of cocycles generated by homogeneous functions. We de ne the biggest and smallest Lyapunov exponents associated with this class of cocycles and we prove a result about periodic approximation of exponents, in terms of norms, in a context of in nite dimension. As application of periodic approximation, we show that the rate of exponencial and quasiconformal increase are given in terms of periodic points. In the second part, we construct new sets of subshifts in f0; 1gN, which will be called frequency shift, that has a long memory. We show that these subshifts are not nite type and we obtain a condition for that the sets have positive topological entropy
Medidas que maximizam a entropia no Deslocamento de Haydn
Get PDFNeste trabalho é abordado o exemplo proposto por Nicolai Haydn, no qual é dado um exemplo de um deslocamento onde é possível construir in nitas medidas de máxima entropia, além de in nitos estados de equilíbrio.In this work, we present the example shown by Nicolai Haydn, which is given by subshift where is possible to show in nity measures of maximal entropy, besides in nitely many distinct equilibrium states
Variações sobre o shift de Haydn e propriedades do shift em alfabetos gerais
Get PDFNeste trabalho faremos um apanhado de resultados sobre dinâmica simbólica, principalmente em alfabetos infinitos compactos.In this paper we will make a collection of results about symbolic dynamics, mainly in compact in nite alphabets
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