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A note on boundary layer effects in periodic homogenization with dirichlet boundary conditions
No full textThis paper focus on the properties of boundary layers in periodic homogenization of Dirichlet boundary value problems. We consider here the case of Dirichlet problems in rectangular domains which have an oscillating boundary, emphasizing the influence of boundary layers on interior error estimates
Semicontinuità e Rilassamento
No full textQuesto quaderno raccoglie gli appunti utilizzati per le
lezioni di un corso di 20/25 ore, svoltosi nell'a.a. 2003/2004,
nell'ambito del Dottorato di Modelli e Metodi Matematici per la Tecnologia e la Società, presso il Dipartimento Me.Mo.Mat. della Facoltà di Ingegneria dell'Università ``La Sapienza" di Roma.
L'argomento trattato costituisce un primo approccio allo studio
dei problemi di minimo per funzionali integrali tramite i Metodi Diretti del Calcolo delle Variazioni. Questi metodi sono stati sviluppati in tempi relativamente recenti, cioè a partire dall'inizio del XX secolo, da Hilbert e Lebesgue, in connessione con lo studio
dell'integrale di Dirichlet, e sono stati poi generalizzati da Tonelli.
L'approccio con i Metodi Diretti si basa sostanzialmente sul classico Teorema di Weierstrass. Si tratta, cioè, di trovare delle successioni minimizzanti compatte (dalle quali sia quindi possibile estrarre sottosuccessioni convergenti) e sfruttare poi la continuità (o meglio la s.c.i.) del funzionale per ottenere che i punti limite sono in realtà punti di minimo per il funzionale considerato.
Il quaderno è suddiviso in tre capitoli.
Nel primo capitolo, vengono richiamate, molto sommariamente, alcune nozioni di analisi funzionale (spazi di Sobolev, convergenza debole, teoremi di immersione) preliminari ed indispensabili alla comprensione del corso stesso.
Nel secondo capitolo vengono introdotti ed analizzati i
principali temi dell'analisi convessa (definizioni e proprietà delle funzioni semicontinue inferiormente e convesse,
trasformata di Legendre o funzione polare, sottodifferenziale,
differenziabilità secondo Gâteaux e Fréchet).
Infine nell'ultimo capitolo si introducono i Metodi Diretti del Calcolo delle Variazioni per lo studio dei problemi di minimo (definizione di coercività teorema di esistenza di un punto di minimo, applicazioni ai funzionali integrali, rilassamento)
Homogenization of a heat conduction problem involving tangential operators
No full textWe present a model for the heat conduction in a composite having a microscopic
structure arranged in a periodic array made by two phases separated by a
thermally active membrane. The thermal behavior of the membrane is described by a
parabolic equation involving the Laplace–Beltrami operator. Such interface equation
furnishes the contact temperature of the two diffusive phases in terms of the jump of
the heat fluxes at the interface. We obtain the macroscopic behavior of the material
via an homogenization procedure based on the unfolding technique, providing the
equation satisfied by the effective temperature. We are also able to prove an error
estimate on the rate of convergence of the sequence of approximating solutions to the
homogenized solution.
These results are part of a joint research with R. Gianni
Two-scale convergence and homogenization on BV(Omega)
No full textWe extend the notion of two-scale convergence introduced by G. Nguetseng and G. Allaire to the case of sequences of bounded Radon measures. We prove a compactness result for two-scale convergence. We then apply it to the study of the asymptotic behaviour of sequences of positively 1-homogeneus and periodically oscillating functionals with linear growth, defined on the space BV of the functions with bounded total variation
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